数学沪科版（2024）一元一次方程及其解法随堂练习题

这是一份数学沪科版（2024）一元一次方程及其解法随堂练习题，共15页。试卷主要包含了一元一次方程的概念，一元一次方程的标准形式等内容，欢迎下载使用。

知识点01 一元一次方程
1.一元一次方程的概念
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
细节剖析：
判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
2.一元一次方程的标准形式
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【即学即练】1.下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ．
知识点02 一元一次方程的解法
1.移项
把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。移项的依据是等式的基本性质1.
2.解一元一次方程的一般步骤
【即学即练】1．（2025·安徽淮南·二模）解方程：．
2．解方程：
3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解方程，并写出检验：．
4．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程：．
5．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）解方程：．
题型01 一元一次方程解得应用
【例1-1】（解与待定字母有关问题）（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（步骤解错问题）（23-24七年级上·安徽宿州·期末）老师在黑板上出了一通解方程的还：，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：
，①
，②
，③
，④
，⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第________步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
【例1-3】（缺少题干问题）（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两名学生根据算式“”在“□”内填一个数字，做填数的游戏．
(1)若甲填的数字是，求甲所得的算式P的值．
(2)若乙填入数字后，使得算式P的值的相反数等于它本身的值，求出乙填入的数字．
【变式1-1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值．
【变式1-3】小明在解关于的方程时，由于粗心大意，误将抄成，由此求得方程的解为．
(1)求的值．
(2)求出该方程正确的解．
【变式1-4】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值．
【变式1-5】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小聪在解方程时，步骤如下：
①去分母，得．
②去括号，得．
③移项，得．
④合并同类项，得．
⑤系数化为1，得．
(1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）；
(2)请写出正确的解答过程．
题型02 巧解一元一次方程
【例2-1】（利用换元法巧解一元一次方程）阅读下面材料：解方程：，
解：设，则原方程可变形为，解得：
所以，解得：，
以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程：
【例2-2】（用整体思想解一元一次方程）用整体思想解方程：
【例2-3】（巧用拆项法解一元一次方程）解一元一次方程：．
【变式2-1】阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【变式2-2】(1)；
(2)．
【变式2-3】解方程
题型03 含绝对值符号的方程
【例3】（24-25七年级上·安徽宿州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得或，所以或．
根据以上材料解决下列问题：
解方程：．
【变式3-1】阅读下面例题的解题方法．
解方程：|x﹣2|＝1
解：根据绝对值的意义，原方程可化解为 x﹣2＝1…①
或x﹣2＝﹣1…②．
解方程①得x＝3，
解方程②得x＝1，
所以原方程的解是x＝3或x＝1．
请仿照上面例题的解题方法，解方程：|2x+1|＝5．
【变式3-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题：
(1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为________；
②若数轴上表示点的数满足，那么________．
(2)拓展探究：①若数轴上表示点的数满足，则________；
②是否存在的值，使得等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
题型04 一元一次方程的新定义题
【例4-1】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于有理数a、b定义一种新运算，规定．
(1)求的值；
【例4-2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）阅读材料：对于任何数，我们规定符号“的意义是．例如：．
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，当时，求的值．
【例4-3】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”．
(1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值；
(2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【变式4-1】阅读下列材料：
让我们来定义一种运算：，例如：，再如：．
按照这种运算的规定，请解答下列问题．
(1)______（只填最后结果）；
(2)求的值，使（写出解题过程）．
【变式4-2】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
(1)判断是否为和解方程；
(2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值．
【变式4-3】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值；
(3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，利用整体思想，求关于的一元一次方程的解．
【变式4-4】（2022秋·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）一般情况下，对于数和，（“≠”不等号），但是对于某些特殊的数和，．我们把这些特殊的数和，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”．
（1）如果是“理想数对”，那么 ；
（2）若是“理想数对”，则：的值为 ．

一、单选题
1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若a，b，c为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．7D．
4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若关于x的一元一次方程的解是，则a的值是（ ）
A．17B．3C．1D．
5．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如果的值与互为相反数，那么等于（）
A．6B．4C．D．
6．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）方程去分母后，可化为（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）关于的方程与的解相同，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
8．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如方程和方程互为“和谐方程”．若无论取何值时，关于的方程（，为常数）与方程都是互为“和谐方程”，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．7
二、填空题
10．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ．
11．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）若关于x的方程的解是，则k的值是
12．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于x的方程的解是 ．
13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ．
14．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ．
15．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为13，则符合条件的的值为 ．
三、解答题
16．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）解方程：
17．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）解方程：
(1) (2)
18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值．
19．（24-25七年级上·安徽·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下：
解：原方程可变形为，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
参考小明的解题过程，解方程：．
20．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）课堂上，老师设计了“接力游戏”用合作的方式完成解方程，规则：一列同学每人只能看到前一人给的式子，并只完成解方程的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出方程．请根据下面的“接力游戏”回答问题．
(1)在“接力游戏”中，乙同学是根据______进行变形的．（填序号）
①等式的性质 ②乘法分配律
(2)在“接力游戏”中，自己负责的一步出现错误的是______．
(3)请写出正确的求解过程．
21．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察与发现】用火柴棒以下图中的方式按规律搭图形：
【归纳与应用】
(1)直接填写：___________．
(2)第n个图形需要的火柴棒的根数是___________．
(3)若搭第n个图形恰好需要97根火柴棒，求n的值．
22．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知多项式．请解答下列问题，
(1)当时，二次项系数等于___________，常数项是___________．
(2)当是关于x的一元一次方程时．
①求m的值；
②若m，n满足，求n的值．
23．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定：若，则称x与y是一对“相关数”，例如，5与是一对“相关数”．
(1)若与是一对“相关数”，求a的值．
(2)已知．
①求；
②如果A与B是一对“相关数”，那么___________（直接填写结果）．
教学目标
1.了解一元一次方程、方程的解的概念。
2.掌握解一元一次方程的基本方法，能熟练地解一元一次方程。
教学重难点
教学重点：一元一次方程的概念理解；一元一次方程的解法步骤（标准化流程）
教学难点：解方程步骤中的 “细节易错点”：去分母漏乘与分子括号问题；移项变号与 “同侧项不变号” 的区分；含 “多层括号” 或 “分母为小数” 的复杂方程解法。
步骤名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒
接力游戏
老师：．
甲：．
乙：．
丙：．
丁：．
戊：．
图形编号
①
②
③
④
……
火柴棒根数
5
9
13
……