苏科版（2024）八年级上册（2024）2.3 实数精品练习题

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知识点01 无理数
1.有理数与无理数
1） 小数和 小数都称为有理数。
2） 小数又叫无理数。
注意：因为分数可以转化为有限小数或无限循环小数，所以无理数 写成分数形式（m、n为整数）。
3）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….。
估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ ”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
【即学即练】
1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）在实数，3.1415926，，1.3030030003⋯（两个3之间依次多一个0）中，无理数有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的说法错误的是 （ ）
A．圆周率是一个无限小数B．圆周率是一个实数
C．圆周率可以在数轴上表示出来D．圆周率是一个有理数
3．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是 ．（要求：精确到十分位）
5．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
设，与是互质的两个整数，且，则，即 ① ．
因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数．
设（是整数，且），则．所以 ② ．
所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数．
【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数．
知识点02 实数及其分类
1）实数： 和 统称为实数。
2）实数的分类
实数 实数
实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用 上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 。故实数与数轴上的点 对应。
【即学即练】
1．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
① ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①②B．②③C．③④D．②③④
3．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）无理数a在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
知识点03 用计算器进行实数运算
1、实数的性质：
有理数的绝对值、倒数、相反数的意义、有理数的运算法则在 范围内仍然使适用。
2.使用计算器进行实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）的基本操作步骤：
1）‌开机准备（按‌ON）；2）‌输入第一个数字；3）选择运算符；4）输入第二个数字；5）执行计算（即按“=”）并得出结果；6）计算完成后。
注意：
1）2ndF键相当于SHIFT键‌，用于激活按键的第二功能。如：使用立方根就需要先SHIFT键或2ndF键。
2）若需输入平方根，则需要先按根号键，再按具体数字；若需输入立方根，则需要先SHIFT键，再按根号键，最后按具体数字即可。
【即学即练】
1．（24-25八年级上·成都·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）的相反数是 ，绝对值是 ；（3）若，则 ．
3．（2025七年级上·浙江·专题练习）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（ ）
A．3.2B．4.0C．4.2D．4.4
5．（23-24九年级下·山东淄博·期末）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5B．2.6C．2.7D．2.8
题型01 无理数的相关概念与识别
【典例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列说法正确的是（ ）
A．所有的无限小数都是无理数B．带根号的数都是无理数
C．是最小的无理数D．有理数能用分数表示，而无理数不能
【变式1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在实数，，，π中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A．B．C．3.14D．
【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在实数，，，，…，，中，无理数有 个．
【变式4】（24-25七年级下·山东·期中）有理数和无理数的区别在于（ ）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的D．有理数是整数，无理数是分数
题型02 实数的概念及实数的分类
【典例1】（2025七年级下·贵州·期中）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
(1)正无理数集合：{____________…}；(2)负无理数集合：{____________…}；
(3)整数集合：{____________…}；(4)正实数集合：{____________…}；(5)负实数集合：{____________…}．
【变式1】（2025七年级下·贵州·专题练习）将下列各数填入相应的集合中：
有理数集合：{____________……}； 无理数集合：{____________ ……}；
整数集合：{____________……}； 分数集合：{____________……}．
【变式2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上（只需填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦0.111．
分数：__________________________； 无理数：_________________________．
【变式3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列数中：①②，③，，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨（每两个2之间依次多一个0）（请填序号）
无理数是___________ 整数是___________ 分数是___________
题型03 实数的性质
【典例1】（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ．
【变式1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征：
学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；
学生：它是一个无理数；
学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1．
老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）实数的倒数是（ ）
A．2B．C．D．
【变式3】（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数．
(1)； (2)； (3)； (4)．
题型04 实数的估算
【典例1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为
【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
【变式2】（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式3】（2024八年级上·成都·专题练习）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数．设面积为的圆的半径为a．
(1)a是有理数吗？说说你的理由；(2)估计a的值（结果精确到0.1），并利用计算器验证你估计的结果；
(3)如果结果精确到0.01呢？
【变式4】（23-24七年级下·山西大同·期中）阅读下面材料，并完成相应任务．
用夹值法估计无理数的大小
通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小．
例：探究的大小．
解：∵，，而，∴．
∵，，而，∴．
∵，，而，∴．……
如此进行下去，可以得到的更精确的近似值．
任务：(1)根据下表回答问题：
①的平方根是______；②______（精确到0.1）；
③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间．
(2)请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）．
题型05 实数的大小比较
【典例1】（2025·安徽淮北·一模）据说，正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数，比较大小：
【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）比较大小： 9．（填“”、“ ”或“”
【变式2】（24-25八年级下·辽宁本溪·开学考试）比较实数的大小： 3（填“”，“”或“”）．
【变式3】（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ．
【变式4】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
题型06 实数与数轴
【典例1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）下列命题：①数轴上的点与实数是一一对应关系；②数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数；③两个无理数的和一定是无理数；④有理数和无理数的和一定是无理数．其中对以上四个命题判断正确的是（ ）
A．只有①②正确 B．只有③错误 C．①②③④都正确D．只有②④正确
【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ．
【变式3】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
题型07 用计算器进行实数的相关运算
【典例1】（23-24八年级上·江苏·课后作业）用计算器进行计算，依次按键 的结果是 ．
【变式1】（2025八年级下·湖北·专题练习）如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a．
(1)求a的值；(2)求的算术平方根；
(3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______．
【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（ ）
A．1.2B．2.0C．2.2D．2.3
【变式3】（24-25八年级上·广东·课后作业）利用计算器，比较下列各组数的大小：
（1），； （2），．
【变式4】（2025·山东·校考一模）在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点可以是（ ）
A．点B．点C．点D．点
题型08 实数的混合运算
【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
【变式1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）计算：
(1)； (2)．
【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期中） ．
【变式3】（24-25七年级下·广西南宁·期中）计算：．
【变式4】（24-25七年级下·天津南开·期中）计算：(1) (2)
题型09 程序设计与实数运算
【典例1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A．B．C．2D．8
【变式1】（24-25七年级下·山东·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ）
A．1B．C．D．2
【变式2】（24-25七年级下·广东·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为64时，输出y的值是 ．
题型10 实数运算的实际应用
【典例1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径 ．
【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？

1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东·二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级下·江苏·期中）关于实数和，下列判断中，正确的是（ ）
A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数
4．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（ ）
A．B．C．3D．
5．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数
C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点
6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
7．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）

A．B．C．D．
8．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ．
10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．
11．（24-25七年级下·广东·期中）若为整数，且，是的小数部分，则 ．
12．（24-25七年级下·广东广州·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明 将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
13．（2025七年级下·重庆·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ．
14．（24-25七年级下·广西河池·期中）定义为不大于x的最大整数，如，，．若，则m能取得的最大整数为 ．
15．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中．
(1)有理数集合：（ ……）(2)无理数集合：（ ……）(3)负实数集合：（ ……）
16．（24-25七年级下·广东阳江·期中）计算：（1）．（2）．
17．（24-25七年级下·河北唐山·期中）计算：(1) (2)
18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：(1)_________，_________；(2)求的值．
19．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．
阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．
假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，
于是，则a是2的倍数．
再设，其中m是整数，就有：，也就是：，
所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．
解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，
两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，
因为：______________，所以：是一个无理数．
20．（24-25七年级下·广东珠海·期中）阅读下面的文字，解答问题：
是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
(1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，求．
21．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）．
22．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
教学目标
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类、实数与数轴上的点一一对应；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小，培养估算意识；
4、会用计算器求平方根和立方根，熟练使用计算器进行实数运算。
教学重难点
1.重点
（1）理解用“无限逼近或两端逼近”的思想确定无理数的取值范围；
（2）运用有理数的相关性质和运算顺序，解决实数的相关运算，体会运算的一致性。
2.难点
（1）熟练运用估算相关知识比较两个数的大小；
（2）熟练运用实数的相关运算工具解决生活中的实际问题。
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