初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）2.1 平方根精品达标测试

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知识点01 算术平方根
算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的算术平方根。的算术平方根记为 ，读作：根号。
规定：0的算术平方根是 0 ，即。
【即学即练】
1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）“的算术平方根”用数学符号表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：的算术平方根为，故选：A．
2．（2025·江苏南京·二模）36的算术平方根是 ．
【答案】 6
【详解】解：36的算术平方根是，故答案为：6．
3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【详解】解：，∴4的算术平方根是，即的算术平方根是，故选：A
4．（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（ ）
A．m为有理数，n为无理数B．m为无理数，n为有理数
C．m，n都为有理数D．m，n都为无理数
【答案】A
【详解】解：由题意，，，∴，，
∴m为有理数，n为无理数，故选：A．
知识点02 平方根
平方根的定义：如果一个数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的平方根，也叫做二次方根 。
一个正数有 两个 平方根，这两个平方根互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。
如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负平方根是。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方和平方互为逆运算。
平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位 。如：，，，.
【即学即练】
1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根
【答案】A
【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意；
、的平方根是，该选项说法错误，不合题意；
、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意；
、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意；故选：．
2．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）的平方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：的平方根为，故选：D．
3．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个数的一个平方根是，则这个数是
【答案】6
【详解】解：∵，∴这个数是6．故答案为：6．
4．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ．
【答案】
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴，∴，∴，∴这个正数是，故答案为：．
5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）方程的解为 ．
【答案】或
【详解】解：
，
∴，
∴或；
故答案为：或．
知识点03 平方根与算术平方根的区别与联系
1.平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。
2.平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含 算术 平方根；（2）被开方数都是 非负数 ；（3）0的平方根和算术平方根均为 0 。
算术平方根的核心作用是‌将平方关系还原为线性关系‌，应用场景需满足以下条件：已知平方量（如面积、方差、平方和等）。通过上述方法，可系统解决几何、物理统计等领域的实际问题。
算术平方根的性质：
【即学即练】
1．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）若x是25的平方根，y是的算术平方根，则的值为 ．
【答案】125或
【详解】解：∵x是25的平方根，∴．∵y是的算术平方根，∴．
当时，；当时，；
综上所述，的值为：125或．故答案为：125或．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（ ）
A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是
【答案】C
【详解】解：∵方程的解分别为a，b，且，∴，，
∴5的平方根是，故A，B错误，5的算术平方根是，故C正确，D错误．故选：C．
3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知一个数的算术平方根为，平方根为，则这个数是 ．
【答案】16
【详解】解：根据题意，得，且，解得，
∴，∴这个数是:．故答案为：16．
4.（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知a，b是有理数，且满足．那么 ， ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，解得：，，故答案为：，．
5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．
(1)表格中________，________．(2)①已知，则________；
②已知，，求m的值．
【答案】(1)0.1，10(2)①0.245；②600
【详解】（1）根据算术平方根的定义得，故答案为：0.1，10；
（2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，所以由可知，故答案为：0.245；
②∵，
∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64，
∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m，
解得，，所以的值为600．
题型01 求已知数的算术平方根
【典例1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）9的算术平方根是 ．
【答案】3
【详解】解：9的算术平方根是，故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习） ．
【答案】4
【详解】解：，故答案为：4．
【变式2】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】解： ，2的算术平方根为：，故选：D．
【变式3】（23-24七年级上·山东烟台·期末）下列结论正确的是（ ）
A．没有算术平方根B．的算术平方根是
C．一个数的算术平方根一定是正数D．算术平方根等于本身的数是1
【答案】B
【详解】解：A、有算术平方根为2，说法错误，不符合题意；
B、的的算术平方根是，说法正确，符合题意；
C、一个数的算术平方根一定是正数或零，说法错误，不符合题意；
D、算术平方根等于本身的数为1，0，说法错误，不符合题意．故选：B．
题型02 平方根的相关概念理解
【典例1】（24-25七年级下·广东·期中）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（ ）
A．小丁和小刘B．小丁和小张C．小张和小刘D．不能确定
【答案】C
【详解】解：当时，没有平方根，小丁说法错误；
当为正数时，没有平方根，小张说法正确；
因为，所以一定有平方根，小刘说法正确；故选：C．
【变式1】（24-25·成都市八年级期中）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D
【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列各数，没有平方根的是（ ）
A．B．0C．3D．9
【答案】A
【详解】解：∵非负数都有平方根，负数没有平方根，∴四个数中只有没有平方根，故选：A．
【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根 C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
【答案】D
【详解】解：A、当时，有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、只有正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意；
C、正数的平方根有两个，它们互为相反数，原说法错误，不符合题意；
D、的平方根为，原说法正确，符合题意；故选：D．
题型03 求一个数的平方根
【典例1】（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的平方根是6 D．的平方根是
【答案】D
【详解】解：A、 4的平方根是，结论错误，不符合题意；
B、的平方根是，结论错误，不符合题意；
C、没有平方根，结论错误，不符合题意；
D、的平方根是，结论正确，符合题意．故选：D．
【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）81的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴81的平方根是，故答案为：．
【变式2】（23-24八年级上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3B．C．D．9
【答案】B
【详解】解：，故选：B
【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是
【答案】B
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、是的平方根，故此选项正确，符合题意；
C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意；
D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意；故选：B．
题型04 已知平方根求数
【典例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
【答案】25
【详解】解：根据题意得，，解得，
，∴这个正数是，故答案为： 25．
【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知：，，，故答案为：．
【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ．
【答案】4
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与，∴解得：，
∴∴这个正数是．故答案为：4．
题型05 利用平方根解方程
【典例1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)； (2)； （3）
【答案】(1) (2)或 （3）
【详解】（1）解：；
，
，
（2）解：
或
解得：或．
（3）解：
．
【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)或
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
【变式2】（24-25七年级下·浙江·期中）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)或(3)(4)或
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得或；
（3）解：
解得
（4）解：
解得或．
题型06 算术平方根的非负性
【典例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知m、n满足等式，则的值为 ．
【答案】6
【详解】解：因为，且m、n满足等式，
且，，
，，故答案为：6.
【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果x，y为实数，且满足，那么的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，
∴，∴．故答案为：．
【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案为：．
【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ．
【答案】
【详解】解：∵，a，b均为正整数，∴
∴当b取最大值时，即时，，∴，解得，故答案为：4．
题型07 与算术平方根有关的规律问题
【典例1】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）根据以下表格里的数据：
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵∴故选：A．
【变式1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A．3.142B．31.42C．314.2D．
【答案】C
【详解】解：，故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行

根据数阵规律，第八行十三个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：第一行
第二行
第三行
第四行

由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：，
∴第八行共有个数，末尾数为，
∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D．
【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知，，，，则的值约是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
题型08 算术平方根的实际应用
【典例1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．
【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中
【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得，或（负值舍去）．
∵正方形卡片的面积为，∴正方形卡片的边长为．
∵，∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
【变式1】（2024·广东珠海·三模）如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ）
A．面积不变，周长变小B．面积不变，周长变大
C．面积变小，周长不变D．面积不变，周长不变
【答案】B
【详解】解；正方形面积为，则边长为，周长为．
将其分为个全等的等腰直角三角形后，直角边为，其面积不变，而周长为，因为，所以周长变大．故选B．
【变式2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是 ．
【答案】
【详解】解：由题意图2中正方形的面积为，
∴图2中正方形的边长为．故答案为：．
【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【答案】4s
【详解】解：将代入公式，得：
答：落到地面所用时间为．
【变式4】（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂．
【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成．
如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量．
【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量．
如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由．

【答案】（1）（2），理由见解析；
【详解】（1）设秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，，解得．
答：秤盘中物体的质量为．
（2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得，
，两式相乘得， ， ．
答：物体的真实质量为．

1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）若数a的平方等于，那么数a可能是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵的平方等于，∴为的平方根，∵的平方根为，∴，故选：C．
2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）9的算术平方根和25的平方根的和是（ ）
A．8B．C．8或D．或2
【答案】C
【详解】解；9的算术平方根为3，25的平方根为，
∴9的算术平方根和25的平方根的和是或，故选：C．
3.（24-25浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5B．﹣aC．a+1D．a2+1
【答案】D
【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．
C、a+1有可能小于，故C不符合题意．D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．
4．（2024八年级上·江苏无锡·培优）的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，的平方根是．故选：D．
5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：A、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项不符合题意；
D、，故该项符合题意；故选：D．
6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵较大数的算术平方根是，∴较大数为，
又这两个数是连续两个正整数，∴较小数为，∴较小数的算术平方根是，故选：D．
7．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵“T”字型图形由五个面积均为2的小正方形组成，
∴“T”字型图形面积为10，∴大正方形的面积是10，∴大正方形的边长是，故选：C．
8．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）若一个正方形的面积扩大3倍，则它的边长要扩大的倍数是（ ）
A．3B．C．D．9
【答案】B
【详解】解：设该正方形的边长为a，则其面积是，其面积的3倍是，
∴变化后正方形的边长为，∴，∴它的边长扩大为原来的倍．故选：B．
9．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列关于的描述错误的是（ ）
A．面积为15的正方形的边长B．15的算术平方根
C．在整数3和4之间D．方程中未知数x的值
【答案】D
【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，故正确，不符合题意；
B、15的算术平方根为，故正确，不符合题意；
C、，故在整数3和4之间，故正确，不符合题意；
D、，则，故D错误，符合题意；故选：D．
10．（2025·江苏徐州·三模）2的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：2的平方根是，故答案为：．
11．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴的平方根是，即平方根是的是．故答案为：
12．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是 ．
【答案】2或
【详解】解：设输入的数为x，
由题意得：，
或，
解得或，
故答案为：2或．
13．（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米．

【答案】
【详解】解：由题意可得：边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为，
∴拼成的大正方形的面积为34，∴大正方形的边长为，故答案为：
14．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，故答案为：．
15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知满足，则的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，，
，，
，的平方根是．故答案为：．
16．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ．
【答案】4
【详解】解：由题意得，，解得：，故答案为：4．
17．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）求下列各式中x的值：
(1)；(2)．(3)；
【答案】(1)；(2)或；(3)；
【详解】（1）解：，
移项得，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
（3）解：，
整理得，
∴，
即；
18．（24-25七年级下·云南楚雄·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？
【答案】另一块木板的边长为1.2米
【详解】解：设另一块木板的边长为米，则：
，即：， 解得：，（舍去），
∴另一块木板的边长为1.2米，
答：另一块木板的边长为1.2米．
19．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是．
(1)求的值；(2)求这个正数的值及的平方根．
【答案】(1)(2)，的平方根是
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，；
（2），的平方根是，，的平方根是．
20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7．
(1)求a、b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7，
∴，，∴，；
（2）解：，∴的算术平方根为．
21．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________；(2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm；(3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)能，理由见详解
【详解】（1）解：∵，∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
∴大正方形的边长为；故答案为：；
（2）解：∵，∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
∴大正方形的边长为；故答案为：；
（3）解：能，理由如下：设长方形纸片的长为，宽为，则有：，解得，，
∵为长方形的长，∴，∴，则长为，∵，
∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为．
22．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
(2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值．
【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，见解析 (2)
【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，
理由如下：，，，且6，3，2都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，这两个数的乘积为576，
当时，则，
，，
，，此时符合题意；
当时，则不符合题意；．
教学目标
1、了解算术平方根与平方根的概念，会表示一个非负数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个非负数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个非负数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
4、能用算术平方根解决一些简单的实际问题，培养学生的抽象和应用意识。
教学重难点
1.重点
（1）能运用（算术）平方根求参数或解方程；
（2）应用算术平方根解决一些实际问题。
2.难点
（1）理解掌握算术平方根的双重非负性；
（2）探究（算术）平方根相关的规律问题。

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课题
某景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明
正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为．
结果
判断
请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．