数学北师大版（2024）4 一次函数的应用第1课时教案

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第1课时 确定一次函数的表达式
教学设计
课 题
第1课时 确定一次函数的表达式
授课人
教学目标
1理解待定系数法的意义。
2.学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式。
3.进一步培养学生观察、思考、归纳、数形结合的能力以及准确画出一次函数草图的能力。
教学重点
根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式。
教学难点
在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式。培养学生画图和识图能力。
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
复习导入
学生回顾一次函数相关知识，温故而知新。
探究新知
确定正比例函数的表达式
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（单位：m/s）与其下滑时间 t (单位：s)的关系如图所示：
问题：从图象中你能得到什么条件？
过原点的射线→正比例函数的表达式v＝kt
从形到数
(1)请写出 v 与 t 的关系式。
解：设 v＝kt,
∵（2，5）在函数图像上，
∴ 将（2，5）代入 v＝kt 中，
有 2k＝5，
解得：k＝2.5
∴ v 与 t 的关系式为：v＝2.5t 。
(2)下滑 3 s 时物体的速度是多少？
解：当 t＝3时，v＝2.5×3＝7.5(m/s)。
针对练习
1.已知一个正比例函数的图象如图所示。
(1)求该函数的表达式；
(2)若点(－3，m)也在该函数图象上，求 m 的值。
解：(1)设该正比例函数的表达式为 y＝kx(k≠0)。
由图象，得该正比例函数经过(1，2)，则有 k＝2。
所以该函数的表达式为 y＝2x。
(2)∵ 点(－3，m)在该函数图象上，
∴ m＝2×(－3)＝－6。
2.确定一次函数的表达式
探究
如图，已知一次函数的图象经过 P (0，－1)，Q (1，1) 两点。怎样确定这个一次函数的解析式呢？
因为一次函数的一般形式是 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值(即待定系数)。
解：∵ P (0，-1)和 Q (1，1)都在该函数图象上，
∴它们的坐标都满足 y＝kx＋b ，将这两点坐标代入该式中，得 b＝-1，k＋b＝1，
解这个方程组，得 k＝2，b＝-1。
∴ 这个一次函数的解析式为 y＝2x－1。
教师归纳
待定系数法求一次函数解析式的步骤：
(1)设：设一次函数的一般形式 y = kx + b (k ≠ 0) ；
(2)列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式；
(3)解：解方程得 k，b；
(4)写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式。
数学的基本思想方法：数形结合
思考 确定正比例函数的表达式需要几个条件？
答：一个(求出 k 的值)。
确定一次函数的表达式呢？
答：两个(求出 k 和 b 的值)。
（链接例1、例2）
思考
某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y (单位：cm)是燃烧时间 x (单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm。
(1)写出 y 与 x 之间的关系式；
(2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间?
解：（1）设 y＝kx＋b(k、b为常数)。
由题意，得30＝b, ①
12＝2k＋30。 ②
将①代入②，得 k＝-9。
∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝-9x＋30。
（2）当蜡烛燃烧完时，剩下长度 y＝0,
则 0＝-9x＋30。
解得 x＝103。
∴这根蜡烛最多能燃烧 103 小时。
利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件。
在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量。由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确定。
典例精析
【例1(教材P95例1)】在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm。请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度。
【解析】“不挂物体时长 14.5 cm”可表示为x＝0，y＝14.5；
“当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm”可表示为x＝3，y＝16。
【解】设 y＝kx＋b(k≠0)
由题意得：14.5＝b,16＝3k＋b,
解得：b＝14.5 ; k＝0.5.
所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5.
当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。
故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 16.5 cm。
【例2】若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y＝-x＋3 平行，求其解析式。
【解】设这个一次函数的解析式为 y＝kx＋b。
由题意得k＝-1，2k＋b＝0，
解得k＝-1，b＝2。
∴ y＝- x＋2。
让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型。
随堂检测
1.某正此例函数的图象如图所示，则这个
函数的表达式为( B )
A.y＝x B.y＝－x
C.y＝－3x D.y＝－x3
2.过点(0,0)和点(2,3)的正比例函数的表达式为（ A ）
A.y＝32x B.y＝23x C.－y＝32x D.－y＝23x
3.已知直线 y＝kx＋b 经过 A(0,2)和 B(3,0)两点，那么 y 与 x 之间的函数表达式为（ B ）
A.y＝2x＋3 B.y＝－23x＋2 C.y＝3x＋2 D.y＝x＋1
4.已知正比例函数 y＝kx,当 x＝2时，y＝4，若这个正比例函数的图像经过点(3，m)，则 m＝ 6 。
5.若一次函数 y＝kx－3 的图像过点(－1，3)，则 k＝ -6 。
6.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3。
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？
（3）当 y＝4 时，x 的值是多少？
解：(1)根据题意，设 y＋2＝kx。
把 x＝5，y＝3 代入，得 3＋2＝5k，解得 k＝1。
所以 y＋2＝x，
即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x－2。
(2)把 x＝－1 代入 y＝x－2，得 y＝－3。
(3)把 y＝4 代入 y＝x－2，得 4＝x－2,解得 x＝6。
旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程。
课堂小结
通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？
巩固所学知识，加深对本节知识的理解。
作业布置
板书设计
第1课时 确定一次函数的表达式
教学反思