初中数学北师大版（2024）八年级上册用二元一次方程组确定一次函数表达式第2课时教学设计及反思

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课标摘录
体会一次函数与二元一次方程的关系。
素养目标
1.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系。
2.从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。
教学重难点
重点:掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式,进一步理解方程与函数的联系。
难点:从具体情境中寻找确定一次函数表达式的条件。
教学策略
本节课先通过创设情境,回顾二元一次方程组与一次函数的关系,从而引入新课。然后用三种不同的方法解决实际问题,通过这样设计,了解解决实际问题时从不同角度思考问题,就会得到不一样的方法,从而拓展自己的思维。接下来,讲解例题,加深用待定系数法确定一次函数表达式的理解,最后,通过一系列的练习来巩固本节课所学的知识点。
情境导入
在某地,人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系,下面是蟋蟀1分钟所叫次数与温度变化情况对照表:
蟋蟀1分钟所叫次数
…
84
98
119
…
温度(℃)
…
15
17
20
…
(1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗?
(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次,那么该地当时的温度约为多少?
新知初探
探究一 用二元一次方程确定一次函数表达式
活动:A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行。假设他们都匀速骑行,则他们各自与A地之间的距离s(单位:km)都是骑行时间t(单位:h)的一次函数。骑行1 h乙距离A地 80 km;骑行2 h甲距离A地30 km。
问:经过多长时间两人相遇?说出你的方法,并与同学们交流。
小亮:可以分别画出两人s与t之间关系的图象,找出交点的横坐标就行了!
小明:对于乙,s是t的一次函数,可设s=kt+b。当t=0时,s=100;当t=1时 s=80。将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,即可以求出乙的s与t之间的函数表达式为s=-20t+100。同样可以求出甲的s与t之间的关系式,再联立这两个关系式,求解方程组就行了!
答:因为甲为正比例函数,设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30,即30=2k,k=15,所以s=15t。
联立,得s=-20t+100,s=15t,解得s=3007,t=207。
所以,经过207 h后两人相遇。
小颖:骑行1 h乙距离A地80 km,即乙的速度是20 km/h,骑行2 h甲距离A地30 km,即甲的速度是15 km/h,设经过t h后两人相遇,则15t+20t=100,
所以t=207,即经过207 h后两人相遇。
探究交流
在以上的解题过程中你受到什么启发?
小亮:用图象法可以解决问题。
小明:用列方程组的方法可以解决问题。
小颖:用一元一次方程的方法可以解决问题。
用画图象的方法可以直观地获得结果,但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果,我们一般用代数方法。
意图说明
通过交流讨论,培养学生独立思考问题、解决问题的能力,培养学生思维的严密性和灵活性。通过实际问题情境,进一步加强函数与方程的联系,让学生体会画图象的方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫,同时也认识到知识之间有着广泛的联系。
探究二 例题讲解
例题 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,超过该质量需购买行李票,且行李费y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数。已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元。
(1)写出y与x之间的关系式;
(2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李?
解:(1)设y=kx+b,根据题意,得5=60k+b,10=90k+b。
解这个方程组,得k=16,b=-5。
所以y=16x-5。
(2)令y=0时,即16x-5=0,解得x=30;
当x>30时,y>0。
所以,每名乘客最多可免费携带30 kg的行李。
归纳总结:像这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫作待定系数法。
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤
1.设:用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b。
2.代:将已知条件代入上述表达式中得到关于k,b的二元一次方程组。
3.解:解这个二元一次方程组得k,b。
4.求:代入k,b的值,求出一次函数的表达式。
意图说明
通过对例题的探索,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法;在设计本例题时,考虑到两种基本类型的题目:一种是利用文字提供的信息,一种是利用图象提供的信息。前面已解决了图象信息的题目,本例题主要解决文字信息的题目,进一步强化学生数形结合的思想。
当堂达标

课堂小结

板书设计
用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.二元一次方程与一次函数的关系
2.图象方法与代数方法各自的特点
3.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤
教学反思