高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程练习

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【自主学习】
一．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，
1.当D2＋E2－4F＞0时，方程表示圆，圆心为 ，半径为 ．
2.当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 ．
3.当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
思考1：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
二．圆的一般方程
1.方程：当 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2.本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
思考2：如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( )
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )
2.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
【经典例题】
题型一 圆的一般方程的认识
点拨：二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
1.计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．
2.将该方程配方为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，根据圆的标准方程来判断．
例1 若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
【跟踪训练】1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．
①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.
题型二 求圆的一般方程
点拨：圆的方程的求法
1.求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
【跟踪训练】2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．
题型三 与圆有关的轨迹问题
点拨：求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：
一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；
二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．
例3 已知等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形．
【跟踪训练】3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)求BP的中点E的轨迹方程．
【当堂达标】
1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A．m＜eq \f(1,2) B．m≤eq \f(1,2) C．m＜2 D．m≤2
2.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A.8π B.4π C.2π D.π
4.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
5.（多选）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．0
5.已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．
6.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
2.4.2 圆的一般方程
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在( )
A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定
3.若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.R B.(－∞，0) ∪(0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
4. （多选）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
5.（多选）已知曲线（ ）
A.若，则C是圆
B.若，，则C是圆
C.若，，则C是直线
D.若，，则C是抛物线
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是________．
7.若方程表示圆，则的取值范围为______．
8．已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.（多选）圆（ ）
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.关于直线对称 D.关于直线对称
10.若圆关于直线对称，则（ ）．
A．B．C． D．
11.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A.(x＋3)2＋y2＝4 B.(x－3)2＋y2＝1
C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1
12.若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．无法确定
13.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
14．已知D(8，0)，点P在圆x2＋y2＝4上运动时，线段 PD的中点M的轨迹方程是________．
15.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的一般方程.
16.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程．
课程标准
学科素养
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)
2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)
1、数学运算
2、数形结合