数学选择性必修 第一册直线与圆、圆与圆的位置习题

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【学习目标】
【自主学习】
一．直线与圆的三种位置关系
二．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
思考：几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )
(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )
(4)过不在圆内的一点一定能做两条切线.( )
2.直线 QUOTE 3x＋4y－5＝0与圆M：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
【经典例题】
题型一 直线与圆的位置关系
点拨：直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．
【跟踪训练】1 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.
题型二 圆的切线方程
点拨：
1.求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.求圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
例2 （1）求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程。
求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程。
【跟踪训练】2 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________．
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A.1 B.2eq \r(2) C.eq \r(7) D.3
题型三 直线与圆相交
点拨：求直线与圆相交时的弦长有三种方法
交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝x1−x22+y1−y22求解.
②弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1−x22+y1−y22＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).
③几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq \r(r2－d2).
通常采用几何法较为简便.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
【跟踪训练】3 圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2eq \r(2)的圆的方程为______________.
【当堂达标】
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2.(多选)已知直线和圆，则（ ）
A.直线l恒过定点
B.存在k使得直线l与直线垂直
C.直线l与圆O相交
D.若，直线l被圆O截得的弦长为4
3.已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
5.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为 ．
6.已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－eq \r(3))，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))的直线l截圆所得弦长为2eq \r(3)，求直线l的方程．
【参考答案】
【自主学习】
两个 一个 没有 两个 一个 零个 d＜r d＝r d＞r Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
思考：“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
【小试牛刀】
1.× √ √ ×
2.B
【经典例题】
例1 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)当Δ>0时，即m>0或m