选择性必修 第一册椭圆课时练习

这是一份选择性必修 第一册椭圆课时练习，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习311椭圆及其标准方程原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步学案+分层练习311椭圆及其标准方程答案版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
3.1.1 椭圆及其标准方程
【学习目标】
【自主学习】
一．椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2．
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|．
4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|．
思考1:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
思考2：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
二．椭圆的标准方程
思考3：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．( )
(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．( )
(3)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．( )
(4)方程eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1 (a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．( )
2.设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【经典例题】
题型一 求椭圆的标准方程
点拨：用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
1.定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
2.设方程：根据上述判断设方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
3.找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq \r(2))；
(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－eq \r(2))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))的椭圆的标准方程．
【跟踪训练】1求与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq \r(15))的椭圆的标准方程．
题型二 已知椭圆的标准方程求参数
点拨：根据椭圆方程求参数的取值范围
1.给出方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，其表示椭圆的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,n＞0，,m≠n，))其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0．
2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式eq \f(x2,\f(C,A))＋eq \f(y2,\f(C,B))＝1，再研究其焦点的位置等情况．
例2 若方程eq \f(x2,25－m)＋eq \f(y2,m＋9)＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞)
【跟踪训练】2 若方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a－12)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ．
题型三 求椭圆轨迹方程
方法1:直接法
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；
例3-1 点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－eq \f(1,2)，求点M的轨迹方程．
方法2：定义法
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可。
例3-2 如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
方法3：代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
例3-3已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP中点Q的轨迹方程．
题型四 椭圆中的焦点三角形问题
点拨：焦点三角形的常用公式
1.焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
2.焦点三角形的面积S△F1MF2＝eq \f(1,2)|MF1||MF2|sin θ,可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用余弦定理|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cs θ＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|－2|MF1||MF2|cs θ求出|MF1|·|MF2|．
3.此外，焦点三角形的面积S△F1MF2＝b2tan eq \f(θ,2)．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
例4 如图所示，P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
【跟踪训练】3 已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
【当堂达标】
1.椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是( )
A.2 B．1 C．0.5 D．0.3
4.若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
5.设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．
6.一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【参考答案】
【自主学习】
一．常数 2a ＞
二．eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2
思考1：点的轨迹是线段F1F2.
思考2：当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
思考3：能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.D
【经典例题】
例1 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因为所求椭圆过点(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1.
(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
【跟踪训练】1 解：因为所求椭圆与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.
又点(3，eq \r(15))在所求椭圆上，所以eq \f(32,a2)＋eq \f(\r(15)2,b2)＝1，即eq \f(9,a2)＋eq \f(15,b2)＝1 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
例2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1.
【跟踪训练】2 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y.))
∵Q(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq \f(2x－12,4)＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋4y2＝1.
例2 B 解析：依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(25－m＞0，,m＋9＞0，,m＋9≠25－m，))解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．
【跟踪训练】2 －4＜a＜0或0＜a＜3 解析：方程化为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,12－a)＝1，
依题意应有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．
例3-1 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝eq \f(y－1,x)(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝eq \f(y＋1,x)(x≠0)．
由已知有eq \f(y－1,x)·eq \f(y＋1,x)＝－eq \f(1,2)，化简，得点M的轨迹方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1(x≠0)．
例3-2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1.
例3-3 解：设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(xP,2)，,y＝\f(yP,2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xP＝2x，,yP＝2y，))
又点P在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上，所以eq \f(（2x）2,4)＋eq \f(（2y）2,8)＝1，
即x2＋eq \f(y2,2)＝1.
例4 解：由已知a＝2，b＝eq \r(3)，得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs 60°.
∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝4.
∴Seq \a\vs4\al(△PF1F2)＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
【跟踪训练】3 8 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
【当堂达标】
1.D 解析：根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.
2. B 解析：椭圆方程可化为x2＋eq \f(y2,\f(4,k))＝1，由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))解得k＝2.
3.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴eq \f(2,k)>2，故0b>0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
5.若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．
6.椭圆的焦点坐标为______．
7.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
8.已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
能 力 练
综合应用 核心素养
9.(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
10.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
11.设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于 ( )
A．5 B．4 C．3D．1
12．“10，,3－m>0，,m－1≠3－m，))所以1