人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆课后练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆课后练习题，文件包含人教A版选择性必修一高二数学上册同步考点归纳讲与练312椭圆的简单几何性质原卷版docx、人教A版选择性必修一高二数学上册同步考点归纳讲与练312椭圆的简单几何性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
二、点与椭圆的位置关系
三、直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出根与系数的关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；
（5）代入求解．
四、直线与椭圆相交的弦长公式
1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2、求弦长的方法
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：
五、解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
题型一 由椭圆方程研究其几何性质
【例1】求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
（1）； （2）．
【答案】（1）长轴长为6，短轴长为2，离心率为，
焦点坐标为与，顶点坐标为，，，
（2）长轴长为，短轴长为4，离心率为，
焦点坐标为，顶点坐标为.
【解析】（1）整理为：，焦点在x轴上，则，，，
所以长轴长为，短轴长为，离心率，
焦点为与，顶点坐标为，，，
（2），整理为：，焦点在y轴上，则，，
所以，长轴长为，短轴长为，离心率，
焦点为，顶点坐标为
【变式1-1】已知椭圆E，焦点F到长轴的两个顶点的距离分别为1和9，则椭圆E的短轴长等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【解析】设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c.由题意可得：，解得：.所以.故椭圆E的短轴长为.故选：D
【变式1-2】已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的圆心是，所以椭圆的一个焦点是，即c=3，又椭圆的短轴长为8，即b=4，所以椭圆的长半轴长为，
所以椭圆的左顶点为，故选：D
【变式1-3】若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等
【答案】B
【解析：椭圆，可知，，，长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．椭圆中，，，，
长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．
椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．故选：B．
题型二 由椭圆几何性质求标准方程
【例2】焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3所以，即，所以，因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是.故选：A
【变式2-1】焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，故选：D
【变式2-2】求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；
（2）椭圆过点，离心率；
（3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；
（4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）.
【解析】（1）由题意，可知，，得，，从而，
又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为．
（2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以，
此时椭圆的标准方程为，
若焦点在y轴上，则，由，得，
此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或．
（3）分析知，，故椭圆的标准方程为．
（4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为，
故可设所求椭圆的方程为，则，又，即，所以，
则所求椭圆的标准方程为．
【变式2-3】过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率，可设所求椭圆的方程为，又由椭圆过点，代入椭圆的方程，可得，解得，即所求椭圆的方程为，即.故选：D.
题型三 求椭圆离心率的值
【例3】椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知椭圆中，，，，故离心率．故选：A．
【变式3-1】已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知：，因为，所以，整理得，所以，得，.故选：A
【变式3-2】过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】图所示，易知，．
由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．故选：A.
【变式3-3】已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，所以，，由椭圆的定义可知，所以，所以，，，，由椭圆的定义可知，
在中，，所以,在中， ，所以所以.所以的离心率是.故选：D.
题型四 求椭圆离心率的范围
【例4】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，即，即，
则，即.故选：D．
【变式4-1】已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，设，则，，
因为，所以，即，即，因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为，所以，所以，即，所以，故选：B．
【变式4-2】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，如图，
若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，即，因为，解得：．
，即，而，，即．故选：D．
【变式4-3】设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，，解得：，，
因为，所以，即，亦即，
所以．故选：A．
题型五 点与椭圆的位置关系判断
【例5】已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是_______.
【答案】点在椭圆外
【解析】因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.故答案为：点在椭圆外.
【变式5-1】点P(4csα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外
【答案】D
【解析】把点P(2csα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋＝4（cs2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D.
【变式5-2】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.
【变式5-3】已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆经过点，所以，所以，则．因为椭圆经过点，所以，即，
故的取值范围是．故选：D．
题型六 直线与椭圆的位置关系判断
【例6】设直线，椭圆．
（1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是______．
（2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是______．
（3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是______．
【答案】；；或
【解析】由消去并化简得，
.
（1）当，即时，直线与椭圆有一个公共点.
（2）当，即时，直线与椭圆有两个公共点.
（3）当，即或时，直线与椭圆没有公共点.
故答案为：；；或
【变式6-1】直线：，椭圆C：，直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与m的取值有关
【答案】A
【解析】，所以直线恒过，因为，所以点在椭圆内部，因此直线与椭圆的位置关系是相交，故选：A
【变式6-2】（多选）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（ ）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
【答案】AB
【解析】由椭圆的定义知，，设，则，
则，，而，即有，解得，
又的周长为20，则有，解得，，
因为，即，解得，则，
椭圆C的方程为，显然，即点在椭圆上，
所以经过点的直线与椭圆C相交或相切.故选：AB
【变式6-3】如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】由题知直线l：过定点，因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点，所以点在椭圆上或椭圆内，所以，由于，所以，
所以实数a的取值范围是.
题型七 直线与椭圆相切应用
【例7】经过点且与椭圆相切的直线方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得，，
得到直线与椭圆相切，故，即解得所以切线方程为，故本题选A．
【变式7-1】过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，
即.故选：
【变式7-2】椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，
则所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A
【变式7-3】直线：与椭圆相交于、两点，点是椭圆上的一点，若三角形的面积为12，则满足条件的点的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由已知可得，，，由，可得到的距离．作与平行的直线，使与椭圆相切，设直线的方程为，把的方程代入椭圆方程化简可得，由△，，或，故直线的方程为，或．因为 与的距离为，与的距离为．故这样的点共有 2个，故选：．
题型八 直线与椭圆相交弦长问题
【例8】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.
【变式8-1】斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设两点的坐标分别为，，直线l的方程为，
由消去y得，则，.
∴，
∴当时，取得最大值，故选:D.
【变式8-2】已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为______．
【答案】
【解析】∵，则, ∴椭圆T：，左焦点F
设直线：，，联立方程：消去y得：
∴可得：∴椭圆T：
故答案为：．
【变式8-3】已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.
（1）求点的轨迹.
（2）点为轨迹与轴正半轴交点，过点的直线交轨迹于两点，且弦的长为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，，化简得：，即点的轨迹为；
（2）易得，当直线斜率不存在时，易得，则，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，联立得：，设，
易得，则，解得，则直线.
题型九 椭圆的中点弦与点差法
【例9】已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.
【变式9-1】椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点、，由已知可得，，
上述两个等式相乘得由已知可得，两式作差得，所以，.故选：D.
【变式9-2】过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，
经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A
【变式9-3】已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设，则，所以，
又AB的中点为，所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，代入并整理得，因为为线段AB的中点，所以，整理得，所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.
题型十 椭圆中的定点定值与最值问题
【例10】已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.
（1）若求圆心的轨迹的方程.
（2）若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）设动圆的半径为，依题意有，，．
所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，
当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．
（2）设，，联立直线与椭圆的方程，可得，
所以，，，得，设原点到直线的距离为，
所以，所以，
令，则，所以，当且仅当时，等号成立，
即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．
【变式10-1】设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，则有，，，，由题意可得，解得或（舍去），
所以，所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）得，设的方程为，代入，
消元整理得，设、，则，，
所以，设的中点为，则，
因为，所以，即，所以，所以，
因为直线不与坐标轴垂直，所以，所以，解得．
【变式10-2】给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，
【答案】（1）椭圆C的方程为，其“准圆”方程为；（2）
【解析】（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．
（2）由题意，可设、，
则有，又点坐标为，所以，，
所以，
又，所以，所以的取值范围是．
【变式10-3】已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
（1）求的方程；
（2）过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，
过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；
过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，
又，解得，所以的方程为.
（2）设，则.①
设过点与椭圆相切的直线方程为，
联立得，
则，
整理得.②
由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.
又因为，所以，所以为定值．
【变式10-4】已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是，定点
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．又，
所以直线AD的方程可化为，
即，所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，所以直线AD的方程可化为
，此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
3.1.2 椭圆的简单几何性质
【题组1 由椭圆方程研究其几何性质】
1、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．
【解析】（1）由得，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
（2）由得，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
（3）由得，，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
2、已知椭圆，则它的短轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B
3、已知椭圆的离心率．
（1）求m的值；
（2）求椭圆的焦点坐标，顶点坐标．
【答案】（1）；（2）焦点坐标为：，顶点坐标为：
【解析】（1）由题意，
由于，故，即椭圆的焦点在轴上，即
，即又，故
（2）由（1）椭圆方程为：，故，故焦点坐标为：
顶点坐标为：
4、下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；
对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；
故答案为：D.
5、已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】D
【解析】将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，则，所以．将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，则，所以，故选:D．
【题组2 由椭圆几何性质求标准方程】
1、焦点在x轴上的椭圆过点，离心率，则其标准方程是_________．
【答案】
【解析】设椭圆的标准方程为，则有，解得，
所以椭圆的标准方程为.故答案为：.
2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
（2）经过点，且离心率；
（3）经过点，且与椭圆有相同的焦点．
【答案】（1）或；（2）或；（3）．
【解析】（1）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题意可知，结合可解得a＝5，b＝4，c＝3．
因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．
（2）①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为，
由题意，得，因为，所以，从而，
所以所求椭圆的标准方程为；
②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为，
由题意，得，因为，解得，从而，
所以所求椭圆的标准方程为．综上，所求椭圆的标准方程为或．
（3）设所求椭圆的方程为，将点M的坐标代入可得，解得舍去．故所求椭圆的标准方程为．
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2；
（2）一个焦点坐标为，短轴长为2；
（3）离心率为，短轴长为4．
【答案】(1)；(2)；(3)或.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴设椭圆的方程为，
长轴长为4，焦距为2，，∴a＝2，c＝1，，
椭圆的方程为；
（2）焦点坐标为，短轴长为2，∴设椭圆的方程为，
，，椭圆的方程为；
（3）由题意有：，解得，椭圆的方程为或.
4、经过点，且与椭圆有相同的离心率的椭圆的标准方程为__________．
【答案】或
【解析】设所求椭圆的方程为或，
将点N的坐标代入可得或，即，，
故所求椭圆的标准方程为或，即或．
故答案为或
【题型3 求椭圆离心率的值】
1、已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，，则，所以，则离心率．故选：C.
2、已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，解得，则椭圆的离心率.故选：C.
3、已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得：，，所以， 由得：所以，所以由得：，所以，故选：C
4、已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，则，由椭圆定义可知：，
所以，即，所以，
又，所以，即故E的离心率为.故选：C.
5、已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的离心率.故选：C
6、（多选）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，
分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；
②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；
③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；
④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，故选：AB.
【题组4 求椭圆离心率的范围】
1、已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．
【答案】
【解析】设，由椭圆的定义得:, 由余弦定理，
得:．又，当且仅当时，取最大值，于是，
所以且，．
故答案为: .
2、如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，所以，所以．
又，所以，即，解得或，
因为，所以，故答案为：．
3、已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得：，所以故选：A．
4、已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
在椭圆上，，，
两边都乘以化简后得：，，
，
又因为椭圆离心率，.故选：A.
5、已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，
设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，
∴，即，又，∴，
连接，则，∴．又是上任意一点，则，
又，∴，则由，得，又，∴．故选：C．
6、已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点，，
因为，所以，即，结合可得，
所以.故选：B.
【题组5 点与椭圆的位置关系判断】
1、已知点(1,2)在椭圆eq \f(y2,n)＋eq \f(x2,m)＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
【答案】 9
【解析】依题意得，eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝1，而m＋n＝(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝1＋eq \f(4m,n)＋eq \f(n,m)＋4＝5＋eq \f(4m,n)＋eq \f(n,m)≥5＋2eq \r(\f(4m,n)·\f(n,m))＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
2、若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在椭圆的外部，所以，即，解得或.故选：B.
3、若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵点在椭圆的内部，∴，整理得，解得．
故答案为：
4、已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】B
【解析】因为点在椭圆的外部，所以，即，则圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故选：B
【题组6 直线与椭圆的位置关系判断】
1、直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__．
【答案】相离
【解析】直线：，椭圆，联立可得，，方程组无实数解，即直线与椭圆无交点，故直线和椭圆相离．故答案为：相离
2、已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
【答案】A
【解析】由，则，则直线，恒过定点，
由，则点，在椭圆1内部，∴直线与椭圆相交．故选：A
3、已知，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能
【答案】A
【解析】因为，所以直线可化为，
所以，直线过定点，因为点在椭圆内部，
所以，直线与椭圆的位置关系是相交.故选：A
4、若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．故选：B
5、直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意, 可得 过点 ，要使直线与椭圆 总有公共点，只需使点 在椭圆内部或椭圆上, 则有 ，又由椭圆 的焦点在轴上，则有；综合可得 ，故答案为：.
6、已知椭圆与过点、的直线l有且只有一个公共点，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的方程为______．
【答案】
【解析】依题意，所以椭圆方程为，即.直线的方程为，即，由消去并化简得，由于直线与椭圆只有一个公共点，所以，所以椭圆方程为.
故答案为：
【题组7 直线与椭圆相切应用】
1、设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程______.
【答案】
【解析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，将代入中得，，化简整理得，
令，化简整理得，即，解得，所以切线方程为，即，故答案为：
2、已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．
【答案】
【解析】当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，设切线的方程为：，，由于过点可得：，①联立直线与椭圆的方程，整理可得：，则，可得②，
由①②可得：，，所以切线方程为：；
可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得，即切点，
所以直线的方程为：，切点的坐标．故答案为：
3、已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线与椭圆相切，由得，
∴，，切线方程为和，与距离较规远的是，∴所求最大距离为．故选：A.
4、在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
【答案】
【解析】令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.故答案为：
5、已知是椭圆：，直线l：，点P是椭圆上一点，则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】设直线：与椭圆相切，联立，得，整理得，则该方程有且只有一个解，由，得或，所以的方程为或，易知直线与直线l的距离为，
直线与直线l的距离为，所以在直线l的右侧有两个符合条件的P点，
在直线l的左侧不存在符合条件的P点，故符合条件的点P有2个．故选：C．
6、已知点是椭圆上一点是椭圆的两焦点，且满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求过与椭圆相切的直线方程．
【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）直线方程为
【解析】（1）∵椭圆上的点A满足．∴，解得，
∴椭圆的方程为，把代入得．，解得，
∴椭圆方程的标准方程为．
（2）解法1：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过的直线方程，由，消去y得关于x的方程：．令，解得，
故所求的切线方程为： ．
解法2：改写直线的方程为一般式，
相切时： ，得到，化简得，
故所求的切线方程为： ．
【题组8 直线与椭圆相交弦长问题】
1、一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】设过原点的直线的方程为：，直线与椭圆的一个两个交点分别设为，则根据对称性可知两点关于原点对称，即，
而直线被椭圆截得的弦长为,所以.故选：B.
2、过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
【答案】
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，
∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，
得．设，，可得，，
∴，因此，．故答案为:．
3、若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】若过原点的直线斜率不存在时，则直线为，将代入椭圆得，此时；若过原点的直线斜率存在时，设直线的斜率为，方程可设为，
联立直线与椭圆方程：化简得：，设，则，
因为，所以，所以，所以，综上所述，的最大值为，故答案为：
4、已知斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点且，求直线l的方程．
【答案】
【解析】设直线方程：，，联立，消去得：，由韦达定理得：，，
则，解得：满足
故直线l的方程为：.
5、已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当求此时直线的方程；
【答案】（1）；（2）或为.
【解析（1），，即，，又经过点1)，
，解得，所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，即直线的方程，此时，
直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，设，
联立方程组可得消可得，其判别式，
，
，
整理可得，解得即此时直线方程为或为.
【题组9 椭圆的中点弦与点差法】
1、已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两个端点分别为，，
则，①﹣②得：，即，
所以．故以点为中点的弦所在的直线方程为y，整理得：.故选：C.
2、椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，即，设弦为，，则，
两式相减并化简得，，
所以弦所在直线方程为.故选：B
3、已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设，，则，，
两式相减，得，即，
，关于直线对称，，又线段中点的纵坐标为，线段中点的横坐标为，所以，解得．故选：A．
4、已知椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线过点，所以，设，由两式相减并化简得，即，所以，所以椭圆的方程为.故选：B
5、已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点，依题意，，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.故选：A
【题组10 椭圆中的定点定值与最值问题】
1、已知椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，知，即．
又离心率，所以，可得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为．
由，得．由，得．
设，，则，，
所以．
点到直线AB的距离，所以．
令，则，所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，所以的面积的最大值为．
2、已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点， ，可得，，所以，
又，则，所以，，故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知过的直线l斜率存在且，
可设其方程为，，，则，
由得：，则，
所以
，当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
3、已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）依题意，又，所以，
所以，所以椭圆方程为.
（2）证明：设，，，
因为，所以四边形为平行四边形，
且，所以，即，
又，，所以，
若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，
则，所以，所以，
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入椭圆方程整理得，
所以，，，
所以
所以，整理得，
又，
又原点到的距离，所以，
将代入得，所以，
综上可得，四边形的面积为定值.
4、已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）依题意，
又，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设点，而，且，，
当时，直线AP：，点，，
直线BP：，点，，
，
当时，，，，所以
所以是定值.
5、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题设，又，，
若内切圆半径为，则外接圆半径为，所以，即，
，而，即，
综上，，即，可得，
所以，，则.
（2）当直线斜率都存在时，令为，联立，
整理得：，且，
所以，则，故，
由，即，故为，联立，
所以，有，
则，故，
所以，则为，
整理得，所以过定点；
当一条直线斜率不存在时对应，故即为x轴，也过定点；
综上，直线过定点．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
对称性
关于轴、原点对称
轴长
长轴长：；短轴长：
长轴长：；短轴长：
顶点
离心率
离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
焦点在x轴上
焦点在y轴上
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
位置关系
解的个数
的取值
相交
两解
>0
相切
一解
=0
相离
无解