高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆一课一练

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知识点1 椭圆的简单几何性质
注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．
(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
拓展：用离心率e＝eq \f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，记e＝eq \f(c,a)，则00)，则c＝eq \r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为
x2＋eq \f(y2,6)＝1.故选B
【即学即练7】若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
【解析】∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
【即学即练8】椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题可知，即，所以椭圆的离心率.
故选：A.
【即学即练9】已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
知识点2 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上
【解析】D
【即学即练11】已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2
C．2D．0
【解析】因为直线过定点(3，－1)且eq \f(32,25)＋eq \f(－12,36)＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．故选C
知识点3 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δb>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(5),5)， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
【解析】∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，
∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,5)，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(5y2,4a2)＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴eq \f(25,a2)＋eq \f(5×16,4a2)＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1.
答案：eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1
变式2：若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，
根据题意可得，，故可得，
故所求椭圆方程为：.
故选：C.
变式4：已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（ ）
A． + = 1B． + = 1
C． + = 1D． + = 1
【解析】依题意，
所以椭圆方程为.
故选：C
考点三 点与椭圆的位置关系
解题方略：
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
（一）点和椭圆位置关系的判断
【例3-1】点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
【解析】，可知点在椭圆内．故选：B.
（二）根据点和椭圆位置关系求参数
【例3-2】点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,
故选：B.
变式1：若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，所以，故选：B.
（三）点和椭圆位置关系的应用
【例3-3】若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【解析】因为直线和圆没有交点，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
即点在圆内，
又因为圆内切于椭圆，
所以点在椭圆内，
即过点的直线与椭圆有两个交点.
故选：C.
变式1：已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为椭圆经过点，所以，所以，
则．
因为椭圆经过点，所以，即，
故的取值范围是．
故选：D．
考点四 求椭圆的离心率
解题方略：
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
（一）求椭圆的离心率
【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4)D.eq \f(\r(6),4)
【解析】如图，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2)，故选A.
变式1：若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(16,17)B.eq \f(4\r(17),17)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(2\r(5),5)
【解析】依题意得eq \f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq \f(5,3)，∴c＝2b，∴a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r(5)b)＝eq \f(2\r(5),5).故选D.
变式2：已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,2)
【解析】如图，∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝eq \f(1,2).故选D
变式3：已知椭圆E：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于( )
A.eq \f(\r(3),6)B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(3),2)
【解析】不妨设点B在第一象限，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)，b))，由题意知OB的倾斜角是60°，所以eq \f(b,\f(bc,a))＝eq \f(a,c)＝eq \r(3)，则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).故选C.
变式4：F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2)B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
【解析】如图所示，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，
∴eq \f(c,a)＝eq \f(m,b)，①
又∵P(－c，m)在椭圆上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1，②
将①代入②得eq \f(2c2,a2)＝1，
即e2＝eq \f(1,2)，∴e＝eq \f(\r(2),2)，故选A.
变式5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，
可得：.如图示：
.
设，则.
由椭圆的定义可得：，即，解得：.
所以在中，，所以.
在中，，所以.
所以，即，所以，所以（舍去）.
故选：D
变式6：椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
变式7：已知直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】直线：过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
所以，
又是的中点，是的中点，所以，
又，所以，又，所以是等边三角形，
所以，又在椭圆上，所以，
所以，所以离心率为，
故选：．
（二）求椭圆的离心率的取值范围
【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________．
【解析】依题意可得2c≥2b，即c≥b.
所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，
即2c2≥a2，e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，所以e≥eq \f(\r(2),2).
又因为00)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
【解析】设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2.
∴y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝eq \f(ab2,a2－b2)，又00)，
将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，
解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，
即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
4、若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(4,5)B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5)D.eq \f(1,5)
【解析】由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2,3a2－2ac－5c2＝0,5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq \f(3,5)(负值舍去)．故选B
5、已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为椭圆的离心率为，
所以，解得，
则椭圆的离心率.
故选：C.
6、圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.
【解析】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，
所以曲线为椭圆，且，
所以，
解得，
故答案为：
7、直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
8、已知椭圆与坐标轴依次交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为_____.
【解析】由题意，椭圆，可得，可得，
所以椭圆与坐标轴的交点分别为，
此时构成的四边形为菱形，则面积为.
故答案为：.
9、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2)，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
【解析】设椭圆C的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由e＝eq \f(\r(2),2)知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，从而eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)，eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
题组B 能力提升练
10、(多选)已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为( )
A．4B.eq \r(34)
C．6D.eq \r(33)
【解析】∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq \r(34).综上可知，实数m的值为4或eq \r(34).
11、已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意知，
，消去y，得，
则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，
所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.
故选：B
12、过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线被椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1所截线段的中点坐标为________．
【解析】过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线l方程为y＝eq \f(4,5)(x－3)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,5)x－3，,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1))得x2－3x－8＝0.
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝3，y1＋y2＝eq \f(4,5)(x1＋x2)－eq \f(24,5)＝－eq \f(12,5)，
∴直线被椭圆所截线段的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5)))
13、已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点F在正方形的外面，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设，则，
∴，
可得，
，即，又
解得.
故选：C.
14、椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆＝1，则焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)．
①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，
＝AB•5＝×5＝10，不符合题意；
②可设直线AB的方程y＝kx，
由，可得(4+9k2)x2＝180，
∴xA＝6，yA＝，
∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，
∴k＝±．
故选：A．
15、若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则eq \f(y,x－2)的最小值为( )
A．1B．－1
C．－eq \f(2\r(3),3)D．以上都不对
【解析】设eq \f(y,x－2)＝k，则y＝k(x－2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x2＋y2＝4，,y＝kx－2))消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±eq \f(2\r(3),3)，∴kmin＝－eq \f(2\r(3),3).选C.
16、过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A．B．C．D．
【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
17、已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为eq \f(2\r(10),5)，求直线的方程．
【解析】把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，
解得－eq \f(\r(5),2)＜m＜eq \f(\r(5),2).
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝－eq \f(2m,5)，x1x2＝eq \f(m2－1,5).
根据弦长公式，得
eq \r(1＋12)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,5)))2－4×\f(m2－1,5))＝eq \f(2\r(10),5)，解得m＝0.
因此，所求直线的方程为y＝x.
18、已知点P(4,2)是直线l被椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
【解析】(法一：根与系数关系法)
由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(8k4k－2,4k2＋1)＝8，解得k＝－eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
(法二：点差法)
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋4y\\al(2,1)－36＝0，,x\\al(2,2)＋4y\\al(2,2)－36＝0.))
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，
即k＝－eq \f(1,2).所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
题组C 培优拔尖练
19、椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图在中，
，即①
，即②
且，
故①+②得：，即.
所以 ，代入到中，整理得：
，故两边除以得：
解得：或，又，所以.
即椭圆C的离心率为.
故选：D.
20、已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【解析】设，，则．
∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．
∴，即．
∴．当且仅当时取“=”．
故选：B．
21、已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【解析】
由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则
设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2
故选：B
22、如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(1,3)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))的最大值是12，求椭圆的方程．
【解析】设F(－c,0)．∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，∴a＝3c.
设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.
又eq \(PF,\s\up7(―→))＝(－c－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up7(―→))＝(a－x0，－y0)，
∴eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)
＝－ac＋cx0－ax0＋xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)
＝－ac＋cx0－ax0＋xeq \\al(2,0)＋b2－eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,0)
＝eq \f(c2,a2)xeq \\al(2,0)－(a－c)x0＋b2－ac
＝eq \f(1,9)xeq \\al(2,0)－(a－c)x0＋a2－c2－ac
＝eq \f(1,9)xeq \\al(2,0)－2cx0＋5c2
＝eq \f(1,9)(x0－9c)2－4c2.
∴当x0＝－3c时，eq \(PF,\s\up7(―→))·eq \(PA,\s\up7(―→))有最大值，最大值为12c2＝12.
∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
∴所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
23、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))？此时|AB|的值是多少．
【解析】(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝eq \r(22－\r(3)2)＝1.
故曲线C的方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＋4x2＝4.))
消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
由根与系数的关系得
x1＋x2＝－eq \f(2k,k2＋4)，x1x2＝－eq \f(3,k2＋4).
若eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，则x1x2＋y1y2＝0.
因为y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
所以x1x2＋y1y2＝－eq \f(3,k2＋4)－eq \f(3k2,k2＋4)－eq \f(2k2,k2＋4)＋1
＝－eq \f(4k2－1,k2＋4)＝0，所以k＝±eq \f(1,2).
当k＝±eq \f(1,2)时，x1＋x2＝∓eq \f(4,17)，x1x2＝－eq \f(12,17).
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝ eq \r(\f(5,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(4,17)))2＋4×\f(12,17))))＝eq \f(4\r(65),17).
24、已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【解析】（1）由线段RS长度的最小值为，得，
又，所以，解得
所以C的标准方程为．
（2）由，
可知PF平分，∴．
设直线AB的方程为，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴当时，上式恒为0，
即直线l恒过定点．课程标准
核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
直观想象
数学运算
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0