人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆测试题

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1、定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，
这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．
2、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在．
二、椭圆标准方程的推导：
1、怎样建立适当的直角坐标系？
以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1.
2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？
设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.
焦点的坐标分别是，
图1
又设M与的距离的和等于常数.
由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}
因为，
所以
3、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？
即
两边平方得
整理得
再平方并整理得
两边同除以得
考虑,应有，故设，就有
三、椭圆的标准方程对比
四、椭圆的焦点三角形
1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，
建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，
采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题
（设∠F1AF2为θ）
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c
∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
题型一 对椭圆的定义的理解与辨析
【例1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆
【答案】AC
【解析】对A，∵|F1F2|＝8，∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确，对B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误，
对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确，对于D，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误．故选：AC
【变式1-1】曲线的方程是，则曲线的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
【答案】B
【解析】方程表示动点到两定点的距离之和为4．而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆．故选：B．
【变式1-2】点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
【答案】D
【解析】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，故故选：D
【变式1-3】椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【解析】椭圆，所以，即，设上焦点为，下焦点为，则，
因为，所以，即点到下焦点的距离为；故选：A
【变式1-4】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点M是椭圆C上一点，点N是线段的中点，O为坐标原点，若，则__________.
【答案】2
【解析】由得，由椭圆方程得，故，由于是的中位线，故.
故答案为：2.
【变式1-5】已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上第一象限内的点，且，则______.
【答案】
【解析】由椭圆的定义，①，又，②，
①②联立得，解得，又点是椭圆上第一象限内的点，
有，.故答案为：.
题型二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1），，焦点在y轴上；
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点
（3）经过两点
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由，，得，
焦点在y轴上，其标准方程为.
（2）椭圆的焦点坐标为，
椭圆过点，，，
椭圆的标准方程为.
（3）设所求的椭圆方程为.把两点代入，
得：，解得，椭圆方程为.
【变式2-1】中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（ ）.
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为焦距为8，所以，即又因为椭圆的焦点在轴上，且过点（3，0），
所以 ，所以椭圆的方程为.故选：B
【变式2-2】过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆，∴焦点坐标为：（ ，0），（-，0），c=，
∵椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，设椭圆的方程为：=1，
∴椭圆的半焦距c=，即a2-b2=5，结合，解得：a2=15，b2=10
∴椭圆的标准方程为 ，故选A．
【变式2-3】分别求适合下列条件的方程：
（1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
（2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程
【答案】（1）；（2）或（3）
【解析】（1）由已知条件可得，可得，，
因此，所求椭圆的标准方程为；
（2）易知椭圆的离心率．
当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．
又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
（2）因设椭圆的标准方程为，
因为点在椭圆上，所以，所以椭圆的标准方程为．
此椭圆的标准方程是或.
题型三 根据方程表示椭圆求参数的范围
【例3】如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆
则有：解得：，故选：A
【变式3-1】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，，解得：．故选：D．
【变式3-2】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】焦点在轴上，，即，，即，故选：C．
【变式3-3】“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示椭圆，则，，
“”是“方程表示椭圆”的必要条件；
反过来，当时，如，或，方程表示圆，
“”不是方程“表示椭圆”的充分条件．
综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：A．
题型四 椭圆的焦点三角形问题
【例4】已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴故选：C
【变式4-1】椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____．
【答案】
【解析】因为M,O,N分别为的中点，所以，则四边形OMPN是平行四边形，所以，由四边形OMPN的周长为4可知，，即，则，于是的周长是.故答案为：.
【变式4-2】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，又，解得，
.故选：A.
【变式4-3】椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易得．设，，则．在中，由余弦定理得，即，则，
所以．设点到轴的距离为，则，
故，解得．故选：C．
【变式4-4】已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
【答案】B
【解析】由椭圆定义可知：，，
，
即∴ 故选：B
【变式4-5】椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即，又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个，故选：A.
【变式4-6】设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大，∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时，此时，，即，又，∴，解得，又，∴.故选：A.
题型五 椭圆的轨迹问题
【例5】在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设动点P的坐标为，则由条件得．即．所以动点P的轨迹C的方程为．故选：B．
【变式5-1】已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
，，故点的轨迹方程为.故选：B.
【变式5-2】已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切，设动圆的半径为，则圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设动圆与圆内切于点，
因为，
所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，所以，
所以轨迹方程为：，故选：B.
【变式5-3】已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设线段的中点，，所以，解得，
又点在圆上，则，即.故选：A
题型六 椭圆上的点到焦点和定点距离的和差最值
【例6】设，分别为椭圆C：的左，右焦点，过垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且；为C内一点，Q为C上任意一点，求的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】连接，由椭圆方程可得，
故在椭圆方程，令，则，因为，故，解得，故椭圆方程为：.
而，因为，故，当且仅当三点共线且在中间时等号成立，故即的最小值为3.故选：A.
【变式6-1】已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为________
【答案】1
【解析】如图所示，设椭圆的右焦点为．
由题意可得：，，．由椭圆的定义可得：，连接并延长交椭圆于点，则（当且仅当三点，，共线时，即运动到图中点取等号）．故答案为：1．
【变式6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得，
因此，，
当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，所以的最小值为1.故答案为：1
【变式6-3】已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，
所以，
当且仅当M､D､A共线时取等号.故答案为：.
3.1.1 椭圆及其标准方程
【题型1 对椭圆的定义的理解与辨析】
1、若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.因为，所以.故选：D
2、设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的长半轴长为3，由椭圆的定义可知，
由，可得．故选：C
3、已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由，，得：，，∴.故选：B.
4、如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【解析】因为椭圆，，
所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.故选：A.
5、（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【答案】AC
【解析】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.故选：AC
6、已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【解析】因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；当 时，，此时动点 的轨迹是线段．故选：C．
【题型2 求椭圆的标准方程】
1、与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______．
【答案】
【解析】不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为，
由已知条件可知， ①，将代入可得， ②，
联立①②可得，，，故所求椭圆方程为：.故答案为：.
2、焦点在坐标轴上，且经过点和两点的椭圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】设椭圆方程为：，由得：，椭圆的标准方程为：.故答案为：.
3、椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．
【答案】或
【解析】由题意可设椭圆的标准方程为 或，
由题意可得 ， ，故 ，
故椭圆的标准方程为：或，故答案为：或
4、已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由对称性，又，
则，所以，，
又，则，椭圆标准方程为．故选：B．
5、求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）过点，且与椭圆有公共的焦点；
（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）方法一 ：设所求椭圆的标准方程为（）
由，得，即．①
又点在所求椭圆上，所以，②
由①②得，，即所求椭圆的标准方程是．
方法二 ：设所求椭圆的方程为．
因为点在所求椭圆上，所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．
依题意有，得．由知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．
依题意有，得．所以所求椭圆的标准方程为．
方法二： 设椭圆的方程为（，，）．
依题意有，解得．
所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为
【题型3 根据方程表示椭圆求参数的范围】
1、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D．
【答案】A
【解析】由题设，，可得.故选：A
2、“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则；所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.故选：A.
3、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将方程化为，因为是焦点在y轴上的椭圆，可得，解得.故选：B.
4、方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.
5、“方程表示椭圆”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若方程表示椭圆，则解得或．对比选项，A符合题意.故选：A．
6、“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵方程表示椭圆，∴解得或，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
1、已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D
2、已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
【答案】B
【解析】由椭圆方程知，所以，．故选：B．
3、已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的方程可得，，，则，
因为，则，即，
即，解得，因此，.故选：D.
4、已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】因为，
因为，所以，又
记，则，
②2-①整理得：，所以故选：A
5、已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，椭圆方程，可得，所以焦点，又由椭圆的定义，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故选:C．
6、设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【答案】D
【解析】设，由题意.易知，，
则，，于是由余弦定理可得，即.故选：D.
【题型5 椭圆的轨迹问题】
1、若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，
所以椭圆方程为.故选：A
2、已知为圆M上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径MP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为4．
依题意知：，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，
所求点的轨迹方程为．故选：．
3、P为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得：，因为，，
所以，所以动点Q的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
故动点Q的轨迹方程为.故选：B.
4、一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，和，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆，且焦点坐标为和，其中, ，所以，
故椭圆轨迹方程为: ，故选：A.
5、已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，化简得到，整理得到，其中.故选：B.
【题型6 椭圆上的点到焦点和定点距离的和差最值】
1、是椭圆的左焦点是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的，
如图，设椭圆的右焦点为 ，则 ；
；
由图形知，当在直线上时，，
当不在直线 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，，当在 的延长线上时， 取得最小值，的最小值为．故选：C．
2、已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
【答案】B
【解析】因为椭圆，所以，，
则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，故选：B.
3、已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（ ）
A． B．13 C．3 D．5
【答案】B
【解析】如图所示：
，故选：B
4、已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，点为椭圆的左焦点，∴．∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图，
设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆定义知，．∵，
∴，当在线段上时，等号成立.即要求的最大值为，故选：D．
5、已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值是__________．
【答案】6
【解析】椭圆的标准方程为，，，设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可知，当取得最大值时，最大，如图所示：
因为，当且仅当，A，三点共线，且在线段上时，等号成立，所以的最大值为．故答案为：．
6、已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值．
【答案】（1）最大值为，最小值为（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）由椭圆可知，，，则，，
则，当且仅当、、三点共线时成立，所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
（2），，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．