高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线同步测试题

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1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.
2、焦点：两个定点、
3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为.
4、双曲线就是下列点的集合：．
5、要点注意：
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
二、双曲线的标准方程
三、待定系数法求双曲线标准方程的方法
四、由双曲线标准方程求参数范围
1、对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
2、对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线.
3、已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
五、求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，
这一结论适用于选择或选择题。
题型一 对双曲线定义的理解
【例1】设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义且P在第一象限，所以|PF1|−|PF2|=2a=10故选：A
【变式1-1】已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】B
【解析】点的坐标满足,即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，即 ,且 ，故动点P的轨迹是双曲线的一支，故选：B
【变式1-2】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．5 B．1 C．3 D．1或5
【答案】A
【解析】依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以，故选:A．
【变式1-3】双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.
【答案】17
【解析】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，
故点与另一个焦点的距离为，故答案为：.
【变式1-4】已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于､两点，若，则等于___________.
【答案】
【解析】根据题意画图如下：
由双曲线定义可得：，，
，又已知，
，得.故答案为：.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.
【变式2-1】已知双曲线经过点，，则其标准方程为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】设双曲线方程为则，解的
所以双曲线的方程为，故选：A
【变式2-2】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可得，，，，因此，双曲线的方程为.故选：C.
【变式2-3】已知双曲线的左，右焦点分别为（，0），（3，0），为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在轴上，
所以双曲线的方程为：．故选：A．
【变式2-4】已知双曲线的左､右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：双曲线的焦距为，，，.，不妨设，，
由双曲线的定义可得：，，，由勾股定理可得：，解得：，，双曲线方程为.故选：C.
题型三 由双曲线标准方程求参数范围
【例3】“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由双曲线的焦点在x轴上可知，.于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件.故选：A.
【变式3-1】已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或5
【答案】C
【解析】若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得．故选：C.
【变式3-2】若方程表示双曲线，则实数m满足（ ）
A．m≠1且m≠－3 B．m＞1 C．或 D．－3＜m＜1
【答案】C
【解析】因为方程表示双曲线，而恒成立，所以，解得或，故选：C．
【变式3-3】对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】可整理成，当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，即，则必要性成立，故选：C
题型四 双曲线的焦点三角形问题
【例4】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，
所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．
由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，又，
所以的周长为．故选：C.
【变式4-1】设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
【解析】由，可得，又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则
则的面积等于，故选：A
【变式4-2】双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
【答案】A
【解析】根据、为双曲线的两焦点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，根据余弦定理可得，整理得①，根据点P在双曲线上可得，
则②，①-②得，，
则面积为.故选：A.
【变式4-3】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【解析】由，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，可得：.
由双曲线的定义可得：，而，解得：.由余弦定理得：所以90°，故选：D
【变式4-4】已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，
所以，，，因为，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得，
如图，设的内切圆与边相切于点，则，，所以，所以故选：A
题型五 双曲线的轨迹问题
【例5】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设动点，则，则，，，直线与直线的斜率之积为定值，，化简可得，，故点的轨迹方程为.故选：C.
【变式5-1】已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5.而圆与定圆都内切，所以，，则.于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为.故选：A.
【变式5-2】已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
【答案】A
【解析】由题意及图可知，，
因为O、M分别为的中点，所以，
所以
故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线.故选：A
【变式5-3】已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．射线 D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】，即，其中 ，，，
所以，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支.故选：D
题型六 双曲线中距离和差的最值问题
【例6】如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设双由线的右焦点为，连接，因为双由线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，所以.故选：C.
【变式6-1】如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，因为双曲线上的点与，关于轴对称，
所以，，又双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义可得
.故答案为：.
【变式6-2】已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______．
【答案】##
【解析】双曲线的方程为，则，双曲线焦点为、，
， 圆心为，半径为，
则，当、、共线时，等号成立；又，当、、共线时，等号成立，的最小值为，故答案为:．
【变式6-3】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
【答案】B
【解析】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，
根据题意，作图如下：
则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；
，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，
故可得，故的最大值为：.故选：B.
3.2.1 双曲线及其标准方程
【题组1 对双曲线定义的理解】
1、在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
【答案】B
【解析】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足，
所以动点P的轨迹是一条射线.如图所示，在线段的延长线上. 故选：B
2、已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
【答案】D
【解析】表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D
3、双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于（ ）
A．9 B．17 C．18 D．34
【答案】B
【解析】由，得，设点P与双曲线另一个焦点的距离为，由定义，得，故选：B.
4、已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（ ）
A．13 B．16 C．1或13 D．3或16
【答案】A
【解析】由双曲线可得，.因为，所以点P在双曲线C的左支上，所以，则.故选：A
5、若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知，，．若，则；解得（0舍去）
若；则， 或18．故“”是“”的充分不必要条件．故选：A
6、已知双曲线的焦点为，，过右焦点的直线交双曲线右支于A､B两点，若，则等于___________.
【答案】8
【解析】根据题意得，，由双曲线定义，知，，
因此，又因，所以.故答案为：8.
【题组2 求双曲线的标准方程】
1、经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线的方程为，
则解得故双曲线的标准方程为．故选：B．
2、若双曲线的一个焦点坐标为，且经过点（－5，2），则双曲线的标准方程为______.
【答案】
【解析】设双曲线的标准方程为，因为双曲线的一个焦点坐标为，且经过点，所以得，b＝1，所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
3、已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.故选：A．
4、若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将代入解得点坐标分别为，因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.故选：B.
5、已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是___．
【答案】
【解析】因为双曲线的两个焦点分别为，，，，所以双曲线的焦点在轴上，且，由于三角形为直角三角形，故，
所以，由双曲线定义得，即，故，
所以双曲线方程为．故答案为：．
【题组3 由双曲线标准方程求参数范围】
1、“实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，因此；若，当时，此时双曲线的焦点在轴上；当，此时双曲线的焦点在轴上；因此“”是“曲线是焦点在轴上的双曲线”的必要而不充分条件.
2、若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得，所以实数m的取值范围为.故选：D
3、“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由方程表示双曲线，知：，∴，
故它的一个必要不充分条件为.故选：A.
4、若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得，故选：A
5、“k