人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优质课件ppt

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直线有其显著的特征，我们的椭圆又有哪些几何特征呢？
椭圆的对称性、范围、顶点
我们根据椭圆方程 和它的图象（如图）来研究椭圆的简单几何性质.
1. 对称性 对于椭圆标准方程 ，把 x 换成―x，或把 y 换成―y，或把 x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆 是以 x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．
【例1】已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 ，求椭圆的方程．
解：椭圆的长轴长为6， ，所以点 A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以 |OF| = c， ， ，所以c = 2，b2 = 32－22 = 5.故椭圆的方程为 或 ．
离心率 ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 ． ② 因为 a＞c＞0，所以 e 的取值范围是 0＜e＜1．e 越接近1，则 c 就越接近 a，从而 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当 a = b 时，c = 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 + y2 = a2．
【例2】（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为 的两段，求其离心率； （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率．
解：（1）由题意得 ，即 ， 解得 ．
（2）由题意得 ，解得 ，故离心率 ．
求椭圆的离心率通常有两种方法： ①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c 的值，利用公式 直接求解； ②若椭圆的方程未知，则根据条件建立 a、b、c、e 满足的关系式，化为关于 a、c 的齐次方程，再将方程两边同除以 a 的最高次幂，得到 e 的方程，解方程求得 e．
【例3】 已知椭圆 ，求过点 且被 P 平分的弦所在的直线方程．
解：法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为 ．代入椭圆方程，并整理得 由韦达定理得 ．∵P 是弦中点，∴x1＋x2 ＝ 1．故得 ．所以所求直线方程为 2x＋4y－ 3＝0．
解：法二：设过 的直线与椭圆交于A(x1, y1)、B(x2, y2) ，则由题意得
①－②得 ⑤将③、④代入⑤得 ，即直线的斜率为 ．所求直线方程为2x＋4y－ 3＝0 ．