数学选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀学案及答案

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1.根据创设的情景，理解椭圆的定义.
2.理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力.
3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
重点难点
1.重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
2.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用.
课前预习 自主梳理
知识梳理
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点，
叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值．
(2)定值必须大于两定点间的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
知识梳理
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．( )
(2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．( )
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．( )
(4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.( )
2.已知椭圆的左右焦点为，，是椭圆上的点，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3.若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
4.“方程表示椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．且
5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．或
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，
问题1：椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
环节二 观察分析，感知概念
问题2:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
问题3：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
问题4：应该如何完善刚才对椭圆的定义？
我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．这两个定点叫做椭圆的焦点（fcus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（fcusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．
环节三 抽象概括，形成概念
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程．
问题5：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图3.1-2所示．
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为，．根据椭圆的定义，设点与焦点，的距离的和等于．
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
．
设为能为问题研究带来方便．
因为，．
所以． ①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
= 2 \* GB3 ②
对方程 = 2 \* GB3 ②两边平方，得
整理，得
= 3 \* GB3 ③
对方程 = 3 \* GB3 ③两边平方，得
整理，得
= 4 \* GB3 ④
将方程 = 4 \* GB3 ④两边同除以，得
= 5 \* GB3 ⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以．
问题6：观察图3.1-3，你能从中找出表示，，的线段吗？
由图3.1-3可知，，，．令，那么方程⑤就是
⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形．这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点，的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上．我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里．
环节四 辨析理解 深化概念
问题7：如图3.1-4，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为，，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
容易知道，此时椭圆的方程是．
这个方程也是椭圆的标准方程．
例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
例2如图3.1-5，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么?为什么?
思考
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例3 如图3.1-6，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．
结论：已知椭圆方程为，，，为椭圆上任一点，则
．
推广：已知椭圆方程为，点，是椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上任一点，则．
环节六 归纳总结,反思提升
问题8请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
（1）本节课学习的主要知识是什么?
（2）求椭圆标准方程常用方法是什么？
（3）本节课涉及到了哪些数学思想方法？
知识总结：
活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善.
一动二定求和常：两个方程大对焦；
三个字母勾股弦；四个想法留心间：
求美，求简，定义，待定系数法
【设计意图】归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第109页 练习 第1，2，3,4题
第115 页 习题3.1 第1,2,5,6,9，10题
备用练习
1.“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）
A．7B．10C．12D．14
4.若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ）
A．6B．7C．8D．9
过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为 ．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1( ,0)，F2( ,0)
F1(0， )，F2(0， )
a，b，c的关系
b2＝