高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册圆的一般方程评优课课件ppt

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2.圆的一般方程当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程,表示以 为圆心,  为半径的圆.　　说明:①当D2+E2-4F0.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示半径为m的圆.(　    )
当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示半径为|m|的圆.
2.方程x2+y2+Dx+Ey-1=0表示的图形一定是圆. (　    )
3.点(m+1,m+2)在圆(x-1)2+(y-2)2=m2的外部.　     (　    )
4.若圆的方程为(2x-1)2+(2y+1)2=1,则其圆心坐标为(1,-1). (　    )
5.若圆的方程为2x2+2y2-x-2y-5=0,则其半径等于 . (　    )
1.几何法　　利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆的标准方程.相关几何性质如下:①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;②圆心到切线的距离等于圆的半径;③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;④圆的弦的垂直平分线过圆心;⑤已知过圆心的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l的交点即为圆心.
2.待定系数法(1)根据题意设所求圆的方程;(2)根据已知条件建立关于参数的方程组;(3)解方程组,求出参数的值;(4)将参数的值代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.
典例 求符合下列条件的圆的方程:(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5);(3)经过A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三点.
解析    (1)解法一:由题意知,圆的半径为 = ,又圆心是(4,-1),故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10.解法二:设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=10.(2)解法一:设圆心为C.因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).由于圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即 = ,解得a=-2,因此圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题意得 解得 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法三:易得线段AB的中点坐标为(0,-4),kAB= = ,所以弦AB的垂直平分线的斜率为-2,所以弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0.由 解得 所以圆心坐标为(-1,-2),因此圆的半径r= = ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为点A,B,C在圆上,所以 解得 故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3.因为kAB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形,其外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),其外接圆半径r= BC=5.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
与圆有关的轨迹问题的求解方法(1)直接法:根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
典例 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.