高中数学2.3.2 圆的一般方程图片ppt课件

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1.掌握圆的一般方程及其特点;2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程;3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小;4.能根据某些具体条件,用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题;5.了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
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圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是　　　　　　　. 
过关自诊已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为　　　　　.
D2+E2-4F>0
解析 由已知得1+1-4m>0,得m< .
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
名师点睛圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
过关自诊[人教A版教材习题]判断下列方程分别表示什么图形,并说明理由:(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x+4y-6=0.
解 (1)方程x2+y2=0表示一个点(0,0).
(2)方程x2+y2-2x+4y-6=0可化为(x-1)2+(y+2)2=11,故表示圆心坐标是(1,-2),半径是 的圆.
探究点一　判断圆的方程
【例1】 [北师大版教材例题]讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎样的图形.
解 将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.①当λ=1时,方程①是一元一次方程6x-9=0,表示与x轴垂直的直线.
当λ<0时,方程②无解,故原方程不表示任何图形;
规律方法　判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法
变式训练1[人教A版教材习题]判断方程x2+y2+2ax-b2=0表示什么图形,并说明理由.
解 方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2.当a2+b2≠0时,原方程表示圆心坐标是(-a,0),半径是 的圆;当a2+b2=0,即a=0且b=0时,方程x2+y2+2ax-b2=0表示一个点(0,0).
探究点二　求圆的一般方程
【例2】 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值.
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得
故△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.
变式探究若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?
规律方法　应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,用待定系数法求出常数D,E,F.
变式训练2[北师大版教材习题]已知圆经过A(0,2),B(-1,1)两点,且圆心在直线x+2y-1=0上,求圆的方程.
所以圆的方程为x2+y2-2x-4=0.
探究点三　求动点的轨迹方程问题
【例3】 如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).因为点C的坐标是(4,3)且C是
把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理得(x-9)2+(y-6)2=4,所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
规律方法　与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等.(1)直接法:根据题设,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式;(2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出点的轨迹方程;(3)相关点代入法:若动点P(x,y)因为已知圆上的另一动点Q(x1,y1)而运动,且x1,y1可用x,y表示,则用x,y表示出x1,y1,并将点Q的坐标代入已知圆的方程,求得动点P的轨迹方程.
变式训练3已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP(O为坐标原点)的中点M的轨迹方程.
解 (方法一)设点M(x,y),点P(x0,y0),
(方法二)设点M的坐标为(x,y),连接OC,PC,取线段OC的中点A,连接MA.圆C的方程可化为(x-4)2+(y-3)2=4,圆心C(4,3),|CP|=2,则点A的坐标为
如图所示,在△OCP中,M,A分别是OP,OC的中点,则|MA|= |CP|,即|MA|=1.又当O,C,P三点共线时,|MA|=1,所以点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,
1.若圆的一般方程为x2+y2+6x+6=0,则该圆的圆心坐标和半径分别是(　　)
2.[2023江西万载高一阶段练习]直线l经过圆C:x2+y2-2x+2y+1=0的圆心C,
解析 整理圆的方程可得(x-1)2+(y+1)2=1,∴圆心C(1,-1).
3.若x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是　　　　　.