高中人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.2 圆的一般方程学案设计

2.3.2　圆的一般方程

1．圆的一般方程的概念

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

2．圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为．

3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明

思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？

[提示]　圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．

思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？

[提示]　只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了．

思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？

[提示]　不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　)

(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　)

(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．  (　　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0．  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

[提示]　(1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．

(2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．

(3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<时才表示圆．

(4)正确．因为点M(x0，y0)在圆外，所以＋>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0．

2．(教材P104练习A①改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2,3)　　　　　　　　 B．(－2,3)

C．(－2，－3)   D．(2，－3)

D　[圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．]

3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝        ．

4　[以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16．即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4．]

4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为      ．

x2＋y2－3x－4y＝0　[该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为＋(y－2)2＝．

化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0．]

【例1】　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．

[解]　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，

由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－＜t＜1．

(2)∵r＝＝，

∵∈，

∴当t＝时，圆的面积最大，rmax＝．

所对应的圆的方程为＋＝．

(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜．

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：

1由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.

2将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.

应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.

1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．

(1)x2＋y2＋x＋1＝0；

(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；

(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．

[解]　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，

∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，

∴方程不表示任何图形．

(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，

∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，

∴方程表示点(－a,0)．

(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，

D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，

∴方程表示圆，它的圆心为，

半径r＝＝|a|．

【例2】　已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．

[思路探究]　用待定系数法设出圆的一般方程，然后将A、B、C三点坐标代入，求出D、E、F即可．

[解]　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

将A、B、C三点坐标代入上式得

解得

∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，

即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，

∴△ABC的外接圆圆心为(－3,1)．

应用待定系数法求圆的方程

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．

2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．

[解]　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得解得

即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0．

[探究问题]

1．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？

[提示]　设M(x，y)，则＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16．

2．已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程．

[提示]　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．

【例3】　已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)

A．x2＋y2＝4　　　　　　 B．x2－y2＝4

C．x2＋y2＝4(x≠±2)   D．x2－y2＝4(x≠±2)

[思路探究]　直角边垂直⇒斜率相乘等于－1⇒转化为方程⇒检验．

C　[设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1．即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．]

过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为        ．

(x－4)2＋y2＝1　[设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，

化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1．]

求与圆有关的轨迹的方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；

(4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程．

1．本节课要重点掌握的规律方法

(1)二元二次方程表示圆的判定方法．

(2)应用待定系数法求圆的方程的方法．

(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．

2．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．

1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1)　　　　　　　 B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)   D．

A　[方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．]

2．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为(　　)

A．2   B．－1

C．－2   D．0

D　[圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2)，

∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．

∴2－2＋m＝0得m＝0．]

3．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程为        ．

x2＋y2＝4　[设M(x，y)，则即

又(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4．]

4．方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝        ．

2　[根据题意，方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则

解得

∴a＋b＋c＝2．]

5．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．

[解]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得

解得

故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0．