2.5 椭圆及其方程知识点串讲课件+分层训练-人教 B版高二上册数学（选必一）

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2.5　椭圆及其方程如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.知识拓展    当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2;当2ab>0)中的参数 不能刻画椭圆的扁圆程度,而 能刻画椭圆的扁圆程度. (　    )✕3.椭圆的离心率e越小,椭圆越圆. (　    )√讲解分析1.定义法求椭圆的标准方程　　根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.2.待定系数法求椭圆的标准方程如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a>b>0);如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).3.利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程(1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为 + =k1(k1>0)或 + =k2(k2>0).(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为 + =1(kb>0).因为c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①因为点( ,- )在椭圆上,所以 + =1,即 + =1.②由①②得b2=4,a2=20.所以所求椭圆的标准方程为 + =1.解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(λ>-9).因为点( ,- )在椭圆上,所以 + =1,化简得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍去).所以所求椭圆的标准方程为 + =1.(5)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因为A( ,-2)和B(-2 ,1)在椭圆上,所以 即 解得 所以所求椭圆的标准方程为 + =1.若椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P是椭圆上任意一点(不与F1,F2共线),则△PF1F2称为焦点三角形.(1)解决焦点三角形问题时,注意对椭圆的定义、正弦定理、余弦定理、配方法、平面向量的数量积及其坐标运算等知识的运用.(2)焦点三角形的常用公式:①焦点三角形的周长C=2a+2c.②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③设P(xP,yP),则焦点三角形的面积S=c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .讲解分析④当且仅当点P位于短轴端点时,∠F1PF2最大,此时满足cos∠F1PF2=1-2e2.典例 (多选)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一动点,点M(1,-1),则下列结论正确的是 (　     )A.△PF1F2的周长为8B.△PF1F2的面积的最大值为2 C.存在点P,使得PF1⊥PF2D.|PM|+|PF1|的最大值为7ABD解析    对于A,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2× +2× =8,故A正确;对于B,易知当P为椭圆短轴的端点时,△PF1F2的面积最大,为 ×2× × =2 ,故B正确;对于C,易知当P为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2最大,此时cos∠F1PF2= = = >0,即∠F1PF2为锐角,所以不存在点P,使得PF1⊥PF2,故C错误;对于D,易得F2(1,0),点M(1,-1)在椭圆内,所以|MF2|= =1,所以|PM|+|PF1|=|PM|+6-|PF2|=6+|PM|-|PF2|≤6+|MF2|=7,故D正确.讲解分析1.求椭圆离心率的两种常用方法(1)易求a,c的值时,直接求出并代入e= 求解,有时要结合a2=b2+c2求解.(2)若a,c的值不易求,一般借助a2=b2+c2得出只含a,c的齐次方程,然后将等式两边同时除以a的最高次幂,从而利用e= 转化为关于e的方程,解方程即可.此时要注意00),c2=a2-b2(c>0),则F1(-c,0).∵PF1⊥F1A,∴P 或P .∵AB∥PO,∴P ,kAB=kOP,即- =- ,∴b=c,∴a2=2c2,∴e= = . 解法二:由解法一知P .易知△PF1O∽△BOA,∴ = ,∴ = ,即b=c,∴a2=2c2,∴e= = .(2)连接OP(O为坐标原点).由PF1⊥PF2知△F1PF2是直角三角形,∴|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,∴a≤ c,∴e≥ ,又0