数学选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程公开课ppt课件

课程目标

学科素养

A. 掌握圆的一般方程及其特点.

B.会将圆的一般方程化为圆的标准方程.

C.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.

D.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题.

E.结合具体实例,初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.

1.数学抽象：圆的一般方程及其特点

2.逻辑推理：圆的方程的充要条件

3.数学运算：待定系数法求圆的一般方程  

4.数学建模：由圆的几何条件写出圆的一般方程

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题导学

把圆的标准方程

+
中的括号展开，整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？

一般地，圆的标准方程+

可以化为+

这个方程中，如果令D=   E= F=,

则这个方程可以表示成:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F为常数), 称为圆的一般方程。

二、探究新知

分别判断

+2与+

是否是圆的方程，然后总结出x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的方程的充分条件。

一般地 ，

x2+y2+Dx+Ey+F=0

1.已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为　　　　　. 

解析:D2+E2-4F=1+1-4m>0,得m<.

答案:

2.方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的图形是　                . 

解析:由题意,得x[(x-1)2+(y+1)2]=0, 所以x=0或

所以方程表示的图形为直线x=0或点(1,-1).

答案:直线x=0或点(1,-1)

3.若一个二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则系数A,B,C,D,E,F应满足什么条件?

应满足的条件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.

二、典例解析

例1  已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).

(1)求△ABC的外接圆的一般方程;

(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.

解:(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由题意,得  解得

故△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.

(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,

∴a2+22-8a-2×2+12=0,

即a2-8a+12=0,解得a=2或6.

应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.

例2. 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.

解:由表示圆的条件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,解得m<,

即实数m的取值范围为.

圆心坐标为(-m,1),半径为.

1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法

(1)由圆的一般方程的定义,D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.

(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征进行判断.

应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.

2.对于一般式方程表示圆求参类问题,也要将其化为标准方程,再将其转化为不等式(方程)的求解问题.

跟踪训练1(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　)

A.(-∞,1)   B.(1,+∞)       C.(-∞,0) D.(-∞,1]

(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的取值是(　　)

A.4    B.3          C.2        D.1               

解析:(1)因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,

则16+4-4×5k>0,所以k<1.

(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,

∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以当m=1时,r2取得最小值,

从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.

答案:(1)A　(2)D

例3  试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C'的方程.

由题意可得解得

因为P(x0,y0)在圆C上,所以-x0+2y0=0,

解:(方法一)设P'(x,y)为所求曲线C'上任意一点,P'关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.

所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0.

化简,得x2+y2+4x-3y+5=0,

即曲线C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.

(方法二)特殊对称

圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C',圆心C关于直线l:x-y+1=0的对称点为C',

因此所求圆C'的方程为(x+2)2+.

1.求圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程,首先要找出圆心C(a,b)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变,即得所求圆的方程.

2.求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求出圆心关于直线的对称点即可.

跟踪训练2  若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于(　　)

A. B.- C.3 D.-3

解析:由题意知直线2x-y+3=0经过该圆圆心.因此将圆心(k,0)代入直线方程得k=-   .

答案:B

金题典例 已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.

错解:∵点A在圆外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.

错因分析本题错解的根源是仅利用了点在圆外的条件,而忽略了方程作为圆的方程而蕴含的a的范围的限制.

总结归纳：在讨论含有参数的二元二次方程时,一定要明确,只有当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆,因此在与其他条件相融合时,一定不要漏掉这一隐含信息.

正解:∵点A在圆外,

∴解得2<a<.

∴a的取值范围为.

通过对圆的标准方程整理，开门见山，提出圆的方程特点问题。

通过对圆的一般方程的推导，二元二次方程与圆的充要条件的探究，让学生进一步体会方程与曲线的关系，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉圆的一般方程的特点及其算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

在典例分析和练习中让学生掌握运用圆的一般方程解决综合问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

三、达标检测

1.若圆的一般方程为x2+y2+6x+6=0,则该圆的圆心和半径分别是(　　)

A.(1,1), B.(1,2),    C.(3,0),3 D.(-3,0),

答案:D

2.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(　　)

A.2x-y+1=0            B.2x+y+1=0

C.2x-y-1=0            D.2x+y-1=0

解析:圆心坐标为(1,-3),检验知2x+y+1=0过圆心(1,-3).

答案:B

3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是　　　　　. 

解析:由(-2)2+12-4k>0得k<.

答案:

4.已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,则2x2+y2的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. 

解析:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,解得0≤x≤2,所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],

当x=0时,2x2+y2取最小值0,

当x=2时,2x2+y2取最大值8,

故2x2+y2的最小值为0,最大值为8.

答案:8　0

5.已知圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),且与y轴交于M,N两点,试求线段MN的长.

解:设圆的一般式方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由于圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),

x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,

则圆心到y轴的距离d=1,半径r=2,

故解得D=-2,E=0,F=-3.故圆的方程为

故|MN|=2=2.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。