高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.2 圆的一般方程图文课件ppt

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1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
通过根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，提升学生的数学抽象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2都能化成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，例如(x－1)2＋(y－2)2＝9可以化为x2＋y2－2x－4y－4＝0.反过来，方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，能化成圆的标准方程的形式吗？它表示什么图形？提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，能化成圆的标准方程，形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆.
2.填空　(1)圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程 ________________________________称为圆的一般方程.(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
温馨提醒　(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0.
3.做一做　若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　圆的一般方程的概念
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(3)2x2＋2y2－5x＝0.解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆.
判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的方法：(1)看是否同时满足条件：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0；(2)在A＝C≠0的条件下，将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.
训练1 （1）已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　)A.2，4，4 B.－2，4，4C.2，－4，4 D.2，－4，－4
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
题型二　求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解　法一　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∵A，B，C在圆上，
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二　设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A，B，C在圆上，
即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.∴外接圆圆心是线段BC的中点，
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F
训练2 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程.解　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
题型三　圆的方程的综合应用
例3 已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆.(1)解　x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，∴圆心为(1－m，2m)，半径r＝3.
∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆.
圆的一般方程与圆的标准方程的相互转化，要注意表示圆的条件，与圆有关的轨迹问题，最值问题可转化为标准方程处理.
训练3 已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，求圆C的方程.解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.经检验均满足D2＋E2－4F＞0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
题型四　与圆有关的轨迹问题
例4 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.解　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
训练4 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是(　　)A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3C.(－2，－1)，3 D.(2，－1)，9解析　圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.
3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)A.D＝E B.D＝FC.E＝F D.D＝E＝F
解析　方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，
解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)
解析　由x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0知圆心为M(－2，－1).由题意知直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
6.已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.
7.光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程等于________.
解析　圆x2＋y2－10x－14y＋70＝0可化为(x－5)2＋(y－7)2＝4，故圆心C(5，7)，r＝2.∵A(1，1)关于y轴对称点A′(－1，1)，∴所求的最短路程为|A′C|－2，
8.已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________.
9.设圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若圆C的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.解　(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2，0)，半径为r＝3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CP⊥AB，∴kCP·k＝－1.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即：x＋y－4＝0.
10.一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程.解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12(满足D2＋E2－4F＞0).故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
11.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　 )A.关于点(2，0)对称B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称D.关于直线x－y＋2＝0对称解析　圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，即圆心为(2，0)，直线x＋3y－2＝0过圆心(2，0)，直线y＝0过圆心，故关于直径所在直线对称.
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_________________；最长弦所在直线的方程为 _______________.
13.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.(1)求实数t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求实数t的取值范围.解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1>0，
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，
14.(多选)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则满足条件的m的值可能为(　 　)A.7 B.6 C.5 D.4
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.|OP|min＝|OC|－r＝4，即m的最小值为4.所以m的取值范围为[4，6]，故选BCD.