浙教版（2024）九年级上册二次函数的应用学案及答案

这是一份浙教版（2024）九年级上册二次函数的应用学案及答案，共130页。学案主要包含了题型 1 销售问题，变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，题型 2 拱门问题，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3等内容，欢迎下载使用。
专题
1.5 二次函数的应用（举一反三讲义）
【浙教版】
【题型 1
【题型 2
【题型 3
【题型 4
【题型 5
【题型 6
【题型 7
【题型 8
【题型 9
销售问题】
拱门问题】
投球问题】
拱桥问题】
隧道问题】
喷水问题】
跳跃问题】
实物问题】
情境问题】
【题型 10 图表问题】
知识点 利用二次函数解决实际问题
1 ． 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证 结果是否符合实际．
2 ． 求二次函数最值
将解析式写成y=a(x-h)2 +k(a ≠ 0) 的形式，当x=h 时，y 有最大（小）值 k；若对二次函数 y=ax2 +bx+c
使用配方法，则当 有最大 值 ．
3 ． 实际问题与二次函数的联系转化
【题型 1 销售问题】
【例 1】（2025·黑龙江大庆·三模）
1 ．某公司生产的商品的市场指导价为每件 150 元，公司的实际销售价格可以浮动x 个百分 点（即销售价格= 150(1 + x%) ），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y （单位：件） 与销售价格浮动的百分点x 之间的函数关系为y = -2x + 24 ．若该公司按浮动-12 个百分点的 价格出售，每件商品仍可获利10% ．
(1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
(2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为 660 元？（说明：日销售利润=（销售价格
-成本） × 日销售量．）
(3)该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ≥1）给希望工程，公司通过销售记录发 现，当价格浮动的百分点大于-3 时，扣除捐赠后的日销售利润随x 的增大而减小，直接写 出a 的取值范围．
【变式 1-1】（2025·四川内江·中考真题）
2．2025 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录， 商家推出 A 、B 两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进 A 款 200 个，B 款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元．
(1)求 A 、B 两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 12000 元的资金购进 A、B 两款“哪吒”纪 念品共 400 个，那么至少需要购进 B 款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个 A 款纪念品售价 60 元时，可售出200 个，售价每增加 1 元， 销售量将减少 5 个．设每个 A 款纪念品售价a (60 ≤ a ≤ 100) 元，W 表示该商家销售 A 款纪念
品的利润（单位：元），求 W 关于 a 的函数表达式，并求出 W 的最大值． 【变式 1-2】（2025·四川达州·中考真题）
3 ．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知 某款巴小虎吉祥物的成本价是 30 元，当售价为 40 元时，每天可以售出60 件，经调查发现， 售价每降价 1 元，每天可以多售出 10 件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630 元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 W 元，当售价为多少元时，每天的利润最 大？最大利润是多少？
【变式 1-3】（2025·新疆·模拟预测）
4 ．现有一个小果园种植甲、乙两种果树， 种植x 棵甲果树（x 为正整数），每年所获得的利 润W1 （元）与x 之间的函数关系式为W1 = -8x2 + mx - 60 ，且当x =20 时，W1 = 6340 ；种植 z 棵乙果树（z 为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分 组成，人工成本与z 的平方成正比，物资成本与z 成正比，其他成本不变为 80 元．若乙果 树每棵每年可收入 800 元，种植乙果树每年所获得的利润为W2 （元），经过统计获得如下数 据：
(1)求出W1 关于x ，W2 关于z 的函数关系式；
(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时， 两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
【题型 2 拱门问题】
【例 2】（2025·陕西西安·三模）
5 ．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图 1 是某高铁站的一个检 票口，其大致示意图如图 2 所示，检票口大门可看成是抛物线OP Q （点 O 与点 Q 关于抛物 线的对称轴对称）， OQ = 8m ，四边形 ACDB 区域为检票区域，点A 与点 B 在抛物线上，已 知检票闸机高 均与OQ 垂直，A、E、H、B
z （棵）
10
40
W2 （元）
4920
7920
在一条水平直线上，O 、C、F、N、D 、Q 在一条水平直线上，以OQ 所在直线为 x 轴，过点 O 且垂直于OQ 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线OPQ 满足关系式 （a 为常数，且a ≠ 0 ）．
(1)求 a 的值和抛物线的对称轴；
(2)已知闸机AC 与EF 之间的区域为应急通道，闸机EF 与HN 之间的区域为人工检票通道， 闸机HN 与BD 之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为 m （即
,求自动检票通道的总宽度 BH ．（闸机宽度忽略不计） 【变式 2-1】（24-25 九年级上·安徽合肥·阶段练习）
6 ．合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正 方形（四边形 OMNE 为正方形）， 已知城门宽度为 4 米，最高处离地面 6 米，如图 1 所示， 现以 O 点为原点，OM 所在的直线为 x 轴，OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．
(1)求出上半部分抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽3.2 米，高 4.6 米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请 通过计算判断该货车能否安全通行．
(3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形 ABCD ），该巩固门关于抛物线对称 轴对称，如图 2 所示，其中AB、AD、CD 为三根承重钢支架，点 D 在抛物线上，B 、C 在地 面上，已知钢支架每米 200 元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费 多少元？
【变式 2-2】（2025 九年级下·全国·专题练习）
7 ．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高 之积为48m2 ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计 方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 ON = 12m ，拱高 PE = 4m 其中，点N 在x 轴上， PE 丄 ON，OE = EN ．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON¢ = 8m ，拱高 P¢E ¢ = 6m 其中，点N¢ 在x 轴上， P¢E ¢ 丄 O¢N¢, O ¢E ¢ = E ¢N¢ .
要在拱门中设置高为3m 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中， 矩形框架ABCD 的面积记为S1 ，点A 、D 在抛物线上，边BC 在ON 上；方案二中，矩形框 架A¢B ¢C ¢D ¢ 的面积记为S2 ，点A¢ , D ¢ 在抛物线上，边B¢C ¢ 在ON¢ 上，现知，小华已正确求 出方案二中，当A¢B ¢ = 3m 时 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB = 3m 时，求矩形框架ABCD 的面积S1 并比较S1，S2 的大小．
【变式 2-3】（2023·北京房山·一模）
8 ．如图 1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作 抛物线的一部分，建立如图 2 所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y （单 位：m ）与水平距离 x （单位：m ）近似满足函数关系 y = a(x - h)2 + k(a < 0) ．
(1)拱门上的点的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的 函数关系y = a(x - h)2 + k(a < 0) ．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与水 平距离x （单位：m ）近似满足函数关系 y = -0.288(x - 5)2 + 7.2 ，若记“原拱门”的跨度（跨 度为拱门底部两个端点间的距离）为d1 ，“新拱门”的跨度为d2 ，则d1 __________ d2 ( 填“ > ”、 “ = ”或“ < ”）．
【题型 3 投球问题】
【例 3】（2025·江西九江·一模）
9．2024 年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上 的突破．已知网球比赛场地长AB 为 24 米（其中A ，B 为边界点），球场中心的球网OC 高 度为 1 米．建立如图。所示的平面直角坐标系．运动员从点P(-9,1.5) 处击球，网球飞行路 线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点D(-3, 2) 处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点 P 处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为
水平距离x / m
2
3
6
8
10
12
竖直高度y / m
4
5.4
7.2
6.4
4
0
y = mx2 + 2mx + n (m ≠ 0) ，网球在距球网右侧水平距离 2 米时，离地面的高度不低于 4 米，
且网球落在对方区域内（含边界），求 m 的最大值． 【变式 3-1】（2025·江苏连云港·中考真题）
10 ．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y= a (x - 3)2 + 2.5 运行，其中x 是铅球离初始 位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m ，则铅球 掷出的水平距离OB 为 m ．
【变式 3-2】（2025·河南开封·二模）
11．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上， 从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形 ABCD 为箱子截面图，x 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，AB = CD = 1米， OB = BC = 2 米），小明站在 原点，将乒乓球从距离水平地面 1.5 米高的P 处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球 离小明 1 米时，达到最大高度 2 米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【变式 3-3】（2025·河北唐山·三模）
12 ．如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为2.24 m，球网距离球场左、右 边界均为 9m ．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分， 某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为h m，当排球运动到水平距离球网 3m 时达到最大高度2.5 m，建立如图所示的平面直角坐标系．
当 时，
①求抛物线的表达式；
@求排球是否能过球网？是否出边界？
(2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出h 的取值范围．
【题型 4 拱桥问题】
【例 4】（2025·福建三明·三模）
13 ．图 1 中有一座拱桥，图 2 是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m，拱顶离水 面5m ，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当该河段水位再涨1.8m 达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2m ，船体宽8m ，需要 从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行．
(3)为迎佳节，拟在图 1 桥洞前面的桥拱上悬挂0.4m 长的灯笼．如图 3，为了安全，灯笼底 部距离水面不小于1m （此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼 悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对 称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个．
【变式 4-1】（2025·广东·中考真题）
14 ．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km ，主塔高0.27 km ，主缆可视为抛物线，主 缆垂度0.1785 km ，主缆最低处距离桥面0.0015 km ，桥面距离海平面约0.09 km ．请在示意 图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【变式 4-2】（2025·陕西咸阳·三模）
15 ．一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段OC 表示水面，桥墩跨度AB 为20m ，以O 为坐标原点，以OC 所在直线为x 轴，以过点O 且垂直于x 轴的直线OA 为y 轴， 建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度OA = BC = 4.3m ，抛物线的顶点M 到x 轴的距离是14.3m ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯EF 平行于水面挂设，彩灯两端 E ，F 皆在抛物线上，另外两串彩灯EG ，FH 都垂直于水面挂设，且点G ，H 距离水面 1m ，求挂设的三串彩灯 EF ，EG ，FH 长度和的最大值．
【变式 4-3】（2025·贵州黔东南·三模）
16．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部 用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标 建立坐标，水面AB 的宽为 36 米．水面AB 离桥拱顶点C 的高度 18 米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点P ，使得PA + PO 的值最小，若有，求出P 点的坐 标，若不存在，请说明理由．
(3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似
的看成长 14 米，宽 4 米，高 2.5 米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点C 的 高度 7 米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
【题型 5 隧道问题】
【例 5】（2025·陕西商洛·三模）
17 ．现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段AB 表示水平的路面，点O 为 AB 的中点，以O 为坐标原点，以 AB 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度AB = 12 米，该抛物线的顶点P 到AB 的距离为 9 米．
(1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为 1 米，宽度为 3 米的长方形LED 电子显示屏
CDEF ，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少 6 米，并且距左右墙需各留至少0.5 米 的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
【变式 5-1】（2025·河南周口·一模）
18 ．如图 1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下 行分离的四车道高速公路长隧道．如图 2 是单向隧道的示意图，洞宽AG = 11.5 米，其中两 侧分别设人行检修道AB = FG = 1 米，左侧设侧向宽度BC = 0.75 米，右侧设侧向宽度
EF = 1.25 米，行车道宽CD = DE = 3.75 米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图 2 所示的 平面直角坐标系xOy ，其中 O 为AG 的中点，隧道的净高度OH = 5.5 米．（参考数据：
5.752 ≈ 33 ）
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如果一货运汽车装载货物后的高度为 4.6 米，宽度为 2.25 米．隧道内两个行车道用实线 隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通 过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．
【变式 5-2】（2025·陕西西安·模拟预测）
19 ．白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学 习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽OM 约为 18 米，净高（即 抛物线最高点到地面的距离）约为 12 米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支 撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形ABCD 和矩形EFGH组成，已知下部 分矩形的长BC = 12 米，上部分矩形的长宽比（即EH : GH = 3: 2 ），点 A，D，E，H 都在抛 物线上．根据以上信息解决问题．
(1)求隧道截面抛物线的解析式；
(2)请确定支撑点H 的位置（即点H 的坐标）． 【变式 5-3】（2025·新疆·中考真题）
20 ．天山胜利隧道预计于 2025 年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大 提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部 分．若隧道底部宽 12 米，高 8 米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5 米，当两 辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 2 米（中心线宽度不
计）．若宽 3 米，高 3.5 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【题型 6 喷水问题】
【例 6】（2025·广西南宁·模拟预测）
21．某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置 在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小 敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d 米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h 米， h 与d 的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h 米与距喷水的柱子的水平距离d 米，h 与d 之间有怎 样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
【解决问题】
(1)在建立如图 1 所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)已知h 与d 之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出 h 与d 之间的函数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方 通过．如果游船宽度为2.4 米，顶棚到水面的高度为 2 米，为了避免游船被淋到，顶棚到水 柱的垂直距离不小于0.2 米，问游船能否顺利通过？说明理由．
d
（米）
…
0
1
2
3
4
…
h
（米）
…
5
4
2
9
4
2
5
4
…
(4)如图 2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何 一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于 1 米，请通过计算说明公园至少需要准备多 少米的护栏？（结果保留 π )
【变式 6-1】（24-25 八年级下·福建福州·期末）
22 ．项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图 1 ，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想 了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化 带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图 1 实际测量数据建立如图 2 所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边 缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H 离地面竖直高度h 为1.2 米．上边缘抛物线最高 点A 离喷水口的水平距离为2 米，高出喷水口0.4 米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生 改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x 轴交点B 的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度DE = 1.8 米，竖直高度EF = 1.1 米， 洒水车到绿化带的距离OD 为d 米．
（3）当调整与绿化带距离为d = 2.2 米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿 化带？请说明理由．
【变式 6-2】（2025·宁夏银川·模拟预测）
23．为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火 侧面所在直线为y 轴，水平地面为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口 在距离大楼起火侧面16 米、高 4 米的点 G 处，喷出的水流形状是抛物线y = a(x - 6)2 + 29 的 一部分．
(1)求 a 的值．
(2)若该楼距离地面 21 米处出现一个起火点，此时消防车该如何行进，才能使喷出的水流灭 掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面36 米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH 的方法灭火，阻止 火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为a ，且 tan a = 2 ，伸缩臂伸长不超过10 米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将 喷水口先向左平移，再向上平移）
【变式 6-3】（2025·河南濮阳·一模）
24 ．在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍， 喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离 岸边 18 米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线y = kx (k ≠ 0) 上变动，从而产生一组不 同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为y = ax2 + bx(a < 0) ．
若 ，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ @若喷出的抛物线形水线最大高度为4m ，求 a 、b 的值；
(2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线y= x 上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此 时a 的取值范围．
【题型 7 跳跃问题】
【例 7】（24-25 九年级上·广东汕尾·阶段练习）
25 ．学科实践
【任务驱动】：2024 年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于 4 月 19 日至 21 日在中国 陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以 8 金 1 银总奖牌 9 枚完美收官，进一步激发各地 跳水运动员训练的热情，数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查．
【研究步骤】：如图，某跳水运动员在 10 米跳台上进行跳水训练，水面与y 轴交于点E(0, -10)， 运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线 在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A 开始做翻腾、打开动作．正常情况下，运动 员在距水面高度5 米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作， 并调整好入水姿势，否则就会 失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
【问题解决】：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务．
（1）直接写出运动员在空中最高处点 A 的坐标及入水处点B 的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y 轴的水平距离为3 米，问该运动员此次 跳水会不会失误？说明理由．
（3 ）在该运动员入水处点B 正前方有M ，N 两点，且EM = 6 ，EN = 8 ，该运动员入水后 运动路线对应的抛物线的解析式为y = (x - h)2 + k ．若该运动员出水处点D 在MN 之间（包 括M ，N 两点），请求出 k 的取值范围．
【变式 7-1】（2023·河南信阳·三模）
26 ．中考体育考试规定男生立定跳远满分为2.5m ，如图①, 小勇立定跳远为2.4m ，小聪发 现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时脚离 地面的最高距离为72cm ，如图@，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点 为 A，最高点为 B．
(1)求小勇跳远时抛物线的表达式；
(2)体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了2.5m 处，并在 1.2m 处通过电子仪器测得小勇脚离地面的高度为0.624m ．
①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度；
@若男生立定跳远及格线为185cm ，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度． 【变式 7-2】
27．如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平 距离为 2.5 米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为
y = -0.2x2 + 3.5 ，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．
(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他 跳离地面的高度是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高 3.05m， 若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
【变式 7-3】（2024·陕西咸阳·一模）
28．某游戏爱好者设计了一款“袋鼠跳”的游戏．其中某一环节的游戏规则为：袋鼠需按同一 角度、方向和力度完成两段连续跳跃（两段跳跃的运动轨迹呈现的抛物线形状相同），若跳 跃后到达点C 处即可通关，否则不能通关．如图，袋鼠运动轨迹近似为抛物线的一部分，已 知袋鼠第一段（O → B ）跳跃轨迹的最高点A 到地面的距离为3m ，与起跳点O 的水平距离 为6m ，点 B 与起跳点O 的水平距离为9m ；点C 与点B 的水平距离为3m ，点C 到地面的距 离为5m ．以起跳点O 为原点，地面所在水平方向为x 轴，过点O 垂直于x 轴的方向为y 轴 建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该袋鼠第一段（O → B ）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请判断该袋鼠是否能通关，并说明理由．
【题型 8 实物问题】
【例 8】【综合探究】
29 ．［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学 的奥秘．图 1 是一片美丽的心形叶片，图 2 是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一 部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图 3 建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数
y = ax2 - 4ax - 4a +1图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图 3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y = x + 1与坐标轴交于A ，B 两 点，抛物线与x 轴交于另一点C ，点 C ，C1 是叶片上的一对对称点，CC1 交直线AB 于点
G ．求叶片此处的宽度CC1 ；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数 y = ax2 - 4ax - 4a +1图象的一部分；如图 4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次 函数．已知直线PD （点 P 为叶尖）与水平线的夹角为45° ,求幼苗叶片的长度 PD ．
【变式 8-1】（2025·河南驻马店·三模）
30．某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要搭一条抛物线型灯链， 最初的设计方案如图 1 所示，灯链两端连接等高的A ，B 两点，点C 、D 分别位于点B 、A 正下方的地面处，且C 、D 的水平距离为6 米．点O 在线段CD 上，且OD = 5 米．以O 为原 点，以OD 所在直线为x 轴，垂直OD 的直线OP 为y 轴，建立平面直角坐标系，点P 为抛物 线与y 轴交点，图2 描画的是部分抛物线图象，点A(-5, 4.05) ，点P(0, 2.8)．
(1)求图 2 中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以y 轴为对称轴构造AP 段抛物线的轴对称图 形，形成一个“类W 组合抛物线”．
①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
@若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为2.05 米，求两个灯笼之 间的最大水平距离．
【变式 8-2】（2025·陕西咸阳·二模）
31．如图，这是U型滑板场地轨道示意图，两侧AB 和CD 是各自所在抛物线的一部分，B, C 分别为其所在抛物线的最低点，且轨道AB 和CD 所在抛物线的形状相同，其中OA = DE = OB = CE = 5m, BC = 4m ．为了确保场地安全，需在轨道AB 左侧和CD 右侧进行加固，安装 统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中AB 左侧的支架由FM , GN, PF, QG 四段构成， CD 右侧的支架由KL, HR, KJ, HI 四段构成．以线段BC 所在直线为x 轴，线段OA 所在直线 为y 轴建立平面直角坐标系xy ．
(1)求轨道AB 所在抛物线的函数表达式．
(2)支架的要求为FM , GN, KL, HR 垂直于线段BC 所在的直线，PF, QG, KJ, HI 平行于线段 BC 所在的直线，且OM = MN = EL = RL ．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最 短长度．
【变式 8-3】（2025·内蒙古·中考真题）
32 ．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图 1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1 ，中间的矩形ABCD 和下方的
抛物线L2 组成．抛物线L1 的高度为8cm ，矩形 ABCD 的边AB = 8cm ，BC = 6cm ，抛物线L2 的高度为4cm ．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH ，点E ，F 在抛物线L2 上，点H ，G 在抛物线L1 上．
问题解决：
如图 2，该小组以矩形ABCD 的顶点A 为原点，以AB 边所在的直线为x 轴，以AD 边所在的 直线为y 轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出B ，C ，D 三点的坐标；
(2)直接写出抛物线L1 和L2 的顶点坐标，并分别求出抛物线L1 和L2 的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏EFGH 的空间要求，需要EH 边的长为15cm ，求此时EF 边的长． 【题型 9 情境问题】
【例 9】（2025·广东深圳·中考真题）
33 ．综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景， 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数 与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件 1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件 2：若该演出场地最多可开放 9 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检 6 人．
【模型构建】若该演出前 30 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y 与安检时间x 之间满足关系式：y = -x2 + 60x +100(0 ≤ x ≤ 30)
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通 3 条安检通道时，安检时间x 分钟时，已入场人数为__________，排队人数 w 与安检时间x 的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始 10 分钟内（包含 10 分钟）减少； @尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、 安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【变式 9-1】（2025·山西·模拟预测）
34．综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广 泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动 路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y 与距投放点的水平距离x 之间的函数表达式为
. 其中，h 表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米) ，v 表示投 放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取 g 为10 米/秒 ² .
实践探究：如图，1号无人机在空中以v =20 米/秒的速度向平坦地面投放物资A ，2 号无人 机在1号无人机竖直上方100 米处以v = 10 米/秒的速度，投放物资B ，已知1号， 2 号无人机 及物资A ，B 的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y 轴，水平地面为x 轴建立 平面直角坐标系，物资A 的运动路径即为抛物线y1 ，物资 B 的运动路径即为抛物线y2 ．
问题解决：
(1)请结合图中相关数据，求抛物线y1 的函数表达式；
(2)请求出两物资落点间的水平距离；
(3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若1 ，2 号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； @由于实际投放需求，1 ，2 号无人机需同时投放物资A ，B ，且物资落点不变，为避免 A ， B 两物资相撞，在保持1 ，2 号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变2 号无 人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为 50 米，求2 号无人机投放物资B 的水平初速度v 的取值范围（两无人机不能在同一点同时投
放）．
【变式 9-2】（2025·广西崇左·三模）
35 ．综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中， 如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然 后射向距离发射点水平距离为 70 米、距地面的竖直高度为 20 米处的一个点火台上，已知点 火台是一个弓形，其中AB = 4 米，且EF 垂直平分AB 这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹 可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为 d（单位：m），距地面的竖直高度 为 h（单位：m）．获得的数据如表：
d /m
0
10
20
30
40
50
60
70
h/m
1.5
10.5
17.5
22.5
25.5
26.5
25.5
k
【问题解决】
(1)k 的值为 ．
(2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将 8 个点依次连接；
(3)求出h 与 d 的函数解析式；
(4)小明射出的箭的运动轨迹与线段AB 有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请 判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．
【变式 9-3】（2025·安徽合肥·三模）
36 ．问题情境：如图 1，矩形MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成 由抛物线的一部分与线段AB 组成的封闭图形，点A, B 在矩形的边MN 上．现要对该花坛内 种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图 2 ，AB = 8 米，AB 的垂直平分线与抛物线交于点P ，与AB 交于点O ，点P
是抛物线的顶点，且PO = 16 米．玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段OP 上确定点C ，使上ACB = 90° , 用篱笆沿线段AC, BC 分隔出△ABC 区域， 种植串串红；
第二步：在线段 CP 上取点F （不与C, P 重合），过点F 作AB 的平行线，交抛物线于点D ， E ．用篱笆沿DE, CF 将线段AC, BC 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色 的月季．
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步 △ABC 区域的分隔后，发现仅剩9 米篱笆 材料．若要在第二步分隔中恰好用完 9 米材料，需确定DE 与CF 的长．为此，如图 3 建立 平面直角坐标系．解决问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当9 米材料恰好用完时，分别求DE 与CF 的长；
(3)种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她 尝试借助图 2 设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线 段AC, BC 上．求符合设计要求的矩形周长的最大值．
【题型 10 图表问题】
【例 10】（2025·辽宁·中考真题）
37．为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某 数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动
主题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动
准备
1 ．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2 ．准备皮尺等测量工具．
采集
数据
图 1 是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息
如下：
1 ．大门形状为矩形（矩形ABCD ）；
2 ．底部跨度（AD 的长）为8m ；
3 ．立柱OE 的长为2m，且OE 丄 AD ，垂足为 O, AO = OD ．
设计
方案
考虑实用和美观等因素，在A, D 间增加两根与AD 垂直的
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的 长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【变式 10-1】（2025·广东深圳·三模）
38．随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公 司在 A 、B 两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
立柱，垂足分别为M1, M2 ，立柱的另一端点N1, N2 在抛物
线形框架结构上，其中AM1 = M2D = 1m ．
确定
思路
小组成员经过讨论，确定以点O 为坐标原点，线段AD 所在 直线为x 轴，建立如图 2 所示的平面直角坐标系．点E 的 坐标为(0, 2) ，设抛物线的表达式为 y = ax2 + 2 ，分析数据 得到点A 或点D 的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利 用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
信
息
1
A 区域初始投放了 100 辆共享滑板车，B 区域初始投放了 20 辆．将一辆滑板车从 A 区 域调配到 B 区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为 100 元；公司基于运营数据 和区域需求预测，规定每次只能从 A 区域向 B 区域调配滑板车，且调配数量不能超过 20 辆
信
息
2
B 区域共享滑板车的日租借率会随着从 A 区域调配来的滑板车数量变化．当从 A 区域 调配 x 辆滑板车到 B 区域时，B 区域共享滑板车的日租借率为(50% + 5%x )，但受限 于 B 区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过80%
信
息
3
每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得 10 元收入
问 题
在信息一的条件下，若从 A 区域调配 x 辆滑板车到 B 区域，用含 x 的式子表示调配这 些滑板车的总成本y（元），并写出 x 的取值范围
【变式 10-2】（24-25 八年级下·广西南宁·期末）
39 ．综合与实践
1
问
题
2
在满足信息二的条件下，求 B 区域共享滑板车的公司日租借收入 W 关于 x 的函数关系 式，并求出公司日租借收入 W 的最大值．
问
题
3
公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案： 方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员 40 元．
方案二：一次性给予运维团队 800 元奖励．
请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
项目式学习：安全用电，防患未然
项 目 背 景
近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约80% 的火灾都 在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目 式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素
材
1
调查分析：图 1 悬挂的是 8 公斤干粉灭火器，图 2 是其喷射截面示意图，在△AOB 中，
OA = OB = 2米，喷嘴 O 到地面的距离OC = 3 米．
素
材
2
模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需 要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建 的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图 3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛 物线．
学校的停车棚左侧靠墙建造，如图 4，其截面示意图为矩形OABC ，创新小组以点 O 为
【变式 10-3】（24-25 九年级上·山东临沂·期末）
40 ．根据以下素材，探索完成任务．
坐标原点，墙面OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
已知消防喷淋头的出水口 M 到墙面的水平距离为 2 米，到地面高度为2.5 米，即AM = 2 米，OA = 2.5 米，水喷射到墙面 D 处，且OD = 0.5 米．
素
材
3
问题解决：已知车棚宽度OC 为 8 米，电动车的电池距离地面高度为0.2 米．创新小组 想在喷淋头 M 的同一水平线AB 上加装一个喷淋头 N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆 盖所有电动车电池．
任务解决
任
务
1
（1）求图 2 中地面有效保护直径AB 的长度；
任
务
2
（2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
（3）按照此安装方式，喷淋头 M 的地面有效保护直径OE 为多少米？
任
务
3
（4）喷淋头 N 距离喷淋头 M 至少为多少米？
设计跳长绳方案
素材 1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学 9
人，摇绳同学 2 人：
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图 1．
素材 2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线， 已知摇绳同学之间水平距离为 6m，绳子最高点为 2m，摇绳同学的出手 高度均为 1m，如图 2；
（2）9 名跳绳同学身高如右表．
身
高
(
m
)
1
.
7
0
1
.
7
3
1
.
7
5
1
.
8
0
人 数
2
2
4
1
素材 3：观察跳绳同学的姿态（如图 3），发现：（1）跳绳时，人的跳起
高度在 0.25m 及以下较为舒适：
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身
高的 ．
问题解决
（1）任务 1：确定长绳形状．请在图 2 中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长 绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
（2）任务 2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高， 两边低”的方式对称排列，同时保持 0.45m 的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会
触碰到最边侧的同学．
（3）任务 3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望 作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至 0.85m ．此时 中段长绳将贴地形成一条线段（线段 AB ），而剩余的长绳则保持形状不变，如图 4．请你通 过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
1 ．(1)120 元
(2)商品定价为每件 135 元或 153 元，日销售利润为 660 元
(3)1≤ a ≤ 3
【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程的应用，二次函数的应用；
（1）由销售价格浮动的百分点x 之间的函数关系及售价= （1+利润率） × 成本，即可求解；
（2）由销售量× 单件的利润= 660 元，列方程，即可求解；
（3）设捐赠后的日销售利润为W 元，可得W = -3x2 + (2a - 24)x + 720 - 24a ，利用二次函数
的性质，即可求解；
理解x 、y 的实际意义，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为 m 元，由题意得 (1+10%)m = 150 (1-12%) ，
解得：m = 120 ，
答：该公司生产销售每件商品的成本为120 元；
（2）解：由题意得
(-2x + 24) 150 (1+ x%) -120 = 660 ， 整理得：x2 + 8x - 20 = 0 ，
解得：x1 = 2 ，x2 = -10 ， 当 x = 2 时，
y = 150 (1+ 2%) = 153 （元）， 当x = -10 时，
y = 150 (1-10%) = 135 （元），
答：当实际销售价格定为153 元或135 元时，日销售利润为 660 元；
（3）解：设捐赠后的日销售利润为W 元，由题意得 W = (-2x + 4) 150 (1+ x%) -120 - a
= -3x2 + (2a - 24)x + 720 - 24a ，
对称轴为直线
Q 当价格浮动的百分点大于-3 时，扣除捐赠后的日销售利润随x 的增大而减小，
: 当x > -3 时，W 随x 的增大而减小，
, 解得：a ≤ 3 ， Qa ≥ 1，
: 1 ≤ a ≤ 3 ．
2 ．(1)A 款“哪吒”纪念品每个进价为 40 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 20 元；
(2)至少需要购进 B 款纪念品200 个
(3)W = -5(a - 70)2 + 4500(60 ≤ a ≤ 100) ，W 的最大值为 4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等 式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设 A 款“哪吒”纪念品每个进价为 x 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为y 元，根据购进 A 款 200 个，B 款 300 个，需花费 14000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8000 元 建立方程组求解即可；
（2）设需要购进 B 款纪念品 m 个，则需要购进 A 款纪念品(400 - m) 个，根据购买资金不 超过 12000 元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个 A 款纪念品的利润为(a - 40) 元，销售量为 200 - 5 (a - 60)个，据 此列出 W 关于 a 的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出 W 的最大值即可．
【详解】（1）解：设 A 款“哪吒”纪念品每个进价为 x 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为y 元， 由题意得
解得
答：A 款“哪吒”纪念品每个进价为 40 元，B 款“哪吒”纪念品每个进价为 20 元；
（2）解：设需要购进 B 款纪念品 m 个，则需要购进 A 款纪念品(400 - m) 个， 由题意得，40 (400 - m) + 20m ≤ 12000 ，
解得m ≥ 200 ，
∴m 的最小值为 200，
答：至少需要购进 B 款纪念品200 个；
（3）解：由题意得，W = (a - 40) 200 - 5 (a - 60)
= (a - 40) (200 - 5a + 300)
= (a - 40) (500 - 5a )
= 500a - 20000 - 5a2 + 200a
= -5(a - 70)2 + 4500 ，
∵ -5 < 0 ，60 ≤ a ≤ 100
:当a - 70 = 0 ，即 a =70 时，W 最大，最大值为 4500．
3 ．(1) (60 +10x)
(2)3 元
(3)售价为 38 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函 数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的 60 件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程， 解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函 数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，则每天售出的数量是(60 +10x)件； 故答案为：(60 +10x)；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，
根据题意可得：(40 - 30 - x)(60 +10x) = 630 ，
整理可得：x2 - 4x + 3 = 0 ，
解得：x1 = 1, x2 = 3 ，
由于要让利于游客，x = 1 舍去，
:该款巴小虎吉祥物降价 3 元时文旅公司每天的利润是 630 元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价 x 元，
则W = (40 - 30 - x)(60 +10x)
= (10 - x)(60 +10x)
= -10x2 + 40x + 600
= -10(x - 2)2 + 640 ， ∵ -10 < 0 ，
:当x =2 时，W 取最大值为 640 元，此时销售价为 38 元， 答：售价为 38 元时，每天的利润最大，最大利润是 640 元．
4 ．(1)W1 = -8x2 + 480x - 60 ，W2 = -10z2 + 600z - 80 ；
(2)当种植 17 棵或 18 甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是 14548 元
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入- 总支出的关系式和待定系数法是 解题的关键．
（1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到 W2 = 800z -y = 800z - az2 - bz - 80 ，再利用待定系数法解答即可；
（2）设每年的总利润为 W 元，则W = W1 +W2 ，利用题意得到 W 与 x 的函数关系式，利用 二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵当x =20 时，W1 = 6340 元， : 6340 = -8× 202 + 20m - 60 ，
: m = 480 ，
: W1 = -8x2 + 480x - 60 = -8(x - 30)2 + 7140 ； 由题意得：W2 = 800z -y = 800z - az2 - bz - 80 ，
由表格可得：当z =10 时，W2 = 4920 ，当 z = 40 时，W2 = 7920 ，
ì4920 = 800 × 10 -100a -10b - 80
: íl7920 = 800 × 40 - 1600a - 40b - 80 ，
ìa = 10
: í ,
lb = 200
: W2 = -10z2 + 600z - 80 ；
（2）解：设每年的总利润为 W 元，则W = W1 +W2 ，
由题意：z = 2x ， : W = W1 +W2
= -8x2 + 480x - 60 + (-40x2 +1200x - 80)
= -48x2 +1680x -140
:-48 < 0 ，
:当时，W 有最大值，但 x 为正整数，抛物线的对称轴为直线x = ， :当x =17 或 18 时，W 有最大值，W 的最大值为 14548 元，
:当种植 17 棵或 18 甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是 14548 元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得Q(8, 0) ，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出 a 的值，再根据对 称轴计算公式求出对称轴即可；
（2）求出当 y = 时的函数值，即可得到 A 和 B 的坐标，进而求出AB 的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得Q(8, 0)，
把Q(8, 0) 代入到 中得 解得
1 2 8
:抛物线的函数关系式为y = - x + x ，
3 3
:抛物线的对称轴为直线
5 1 8 5 1 15
（2）解：令 y = ，得 - x2 + x = ，解得 x1 = ，x2 = ，
4 3 3 4 2 2
( 1 5 ö ( 15 5 ö
:点A 的坐标为 çè2 , 4 ,÷ ,点 B 的坐标为çè 2 , 4 ,÷ ,
即自动检票通道的总宽度BH为 m ．
6 ．
(2)能安全通行
(3)2600 元
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式．
（1）利用待定系数法计算即可得解；
（2）求出当 时 即可得解；
（3）设 B 点的横坐标为m ，AB + AD + CD 的长度为L ，则 由二次 函数的对称性得出BC = 4 - 2m ，即 AD = 4 - 2m ，CD = AB = - m2 + 2m + 4 ，表示出
再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2, 6) ，
设抛物线的解析式为y = a (x - 2)2 + 6 ， ∵四边形OMNE 为正方形，
: E (0, 4) ，
: 4 = a × (0 - 2)2 + 6 ，
解得：
（2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，
∵一辆宽3.2 米，高 4.6 米的货车需要通过该城门进入城区，
:该货车能安全通行；
设B 点的横坐标为m ，AB + AD + CD 的长度为 Q对称轴为直线x = 2 ，则BC = 4 - 2m ，即
当 最大，L最大 = -12 + 2× 1+12 = 13 ， 13 × 200 = 2600 （元），
答：最多需要花费 2600 元．
(2) 18m2 ，S1 > S2 ．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数的解析式．
(1) 根据抛物线型拱门的跨度ON = 12m ，拱高 PE = 4m ，可得：PE = 4m ，
, 所以方案一中抛物线的顶点P(6，4)，可以设抛物线的函数表达式 为y= a (x - 6)2 + 4 ，把原点的坐标代入解析式，得到关于a 的方程，解方程求出a 的值即可；
(2) 令y = 3 ，可得一元二次方程 解方程求出x 的两个值即为点B 、C 的 横坐标，根据两点的横坐标求出线段BC 的长度，根据矩形的面积求出S1 的值，再与S2 比较 大小即可．
【详解】（1）解：由题意知
:方案一中抛物线的顶点P(6，4)，
设抛物线的函数表达式为y = a (x - 6)2 + 4 ， 把O(0，0) 代入得，0 = a (0 - 6)2 + 4 ，
解得：
:方案一中抛物线的函数表达式为
1 4
（2）解：在 y = - x2 + x 中，令y = 3 ，
9 3
1 2 4
可得：3 = - x + x ，
9 3
解得：x = 3 或x = 9 ，
:BC = 9 - 3 = 6m ，
: S1 = AB·BC = 3 × 6 = 18m2 ， Q 18 > 12 ，
:S1 > S2 ．
8 ．(1) y = -0.2(x - 6)2 + 7.2
(2) >
【分析】（1）由表格得当x =2 时，y = 4 ，当x =10 时，y = 4 ，从而可求顶点坐标，即可求 解；
（2）由表格可以直接求出d1 ，由 y = -0.288(x - 5)2 + 7.2 可求出d2 ，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格得：
Q 6 - 2 = 10 - 6 ，
:顶点坐标为(6, 7.2) ，
:y = a(x - 6)2 + 7.2 ，
:a(2 - 6)2 + 7.2 = 4 ， 解得：a = -0.2 ，
:y = -0.2(x - 6)2 + 7.2 ．
（2）解：由表格得 当x = 12 时，y = 0 ，
原拱门中：d1 = 12 （ m ）；
新拱门中：
当 y = 0 时，
-0.288(x - 5)2 + 7.2 = 0
解得：x1 = 0 ，x2 = 10 ，
:d2 = x2 - x1 = 10 （ m ），
Q 12 > 10 ，
:d1 > d2 ．
故答案：> ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的 关键．
(2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 x =0 时，y 的值，x = 12 时，y 的值，即可求解；
（3）把P(-9,1.5) 代入y = mx2 + 2mx + n ，求出n 与m 的关系式，当x = 2 时，y ≥ 4 ，当x = 12
时，y ≤ 0 ，解不等式即可求解最大值．
【详解】（1）解：Q 网球飞行过程中在点D(-3, 2) 处达到最高，
:设抛物线的解析式为：y = a (x + 3)2 + 2 ， 把P(-9,1.5) 代入，得：1.5 = a (-9 + 3)2 + 2 ， 解得： ，
:抛物线的解析式为
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
: 网球越过球网，
当x = 12 时
: 网球落在对方区域；
:此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）解：把P(-9,1.5) 代入y = mx2 + 2mx + n ，得：1.5 = 81m -18m + n ，
当x = 2 时，y = 4m + 4m + n = 8m + n = 8m + - 63m ≥ 4 ， 解得：
当x = 12 时，y = 144m + 24m + n = 168m + n = 168m + - 63m ≤ 0 ， 解得：
:m 的最大值为- ．
10 ．8
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式， 二次函数与x 轴的交点坐标，熟练掌握待定 系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得A(0,1.6)，代入
y = a (x - 3)2 + 2.5 ，得出抛物线的解析式为 令y = 0 ，求解即可， 【详解】解：由题意，OA = 1.6m ，
得A(0,1.6)，
将A(0,1.6) 代入y = a (x - 3)2 + 2.5 ， 得：1.6 = a (0 - 3)2 + 2.5 ，
解得： ，
令y = 0 ，得 0 ， 解得：x1 = 8 ，x2 = -2 ，
: OB 为8m ， 故答案为：8 ．
11 ．(1) y = -0.5x2 + x +1.5
(2)能，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问 题，然后利用坐标数值关系反推实际问题．
（1）由题意得P(0,1.5) ，抛物线的顶点坐标为 (1, 2) ，利用待定系数法求解即可；
（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于 AB ，并落在 B、C 之间即可； 【详解】（1）解：由题意得P(0,1.5) ，抛物线的顶点坐标为 (1, 2) ，
设抛物线的解析式为y = a (x -1)2 + 2(a ≠ 0) ，
∵抛物线y = a (x -1)2 + 2 经过点P(0,1.5) ， :1.5 = a + 2 ，
:a = -0.5，
:抛物线的解析式为y = -0.5(x -1)2 + 2 ，即 y = -0.5x2 + x +1.5
（2）解：能，理由如下：
当x = 2 时，y = 1.5 > AB ，
当y = 0 时，-0.5x2 + x +1.5 = 0 ， 解得x1 = -1 （舍去）， x2 = 3 ，
:乒乓球在运行中，高于AB ，并落在 BC 的中点处， :小明抛出的乒乓球能投入箱子；
可以过球网，不出边界
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式．
（1）。由题知抛物线的顶点坐标为(6，2.5) ，设抛物线的表达式为 把点
代入解析式求出 a 即可．
②求出x =9 时y 的值，若y > 2.24 则能过网，求出x =18 时y 的值，若y < 0 ，则不出边界．
（2）设击出的排球轨迹为 ，当该轨迹经过球网的顶端坐标 (9, 2.24) 时， 此时 ；当该轨迹经过右边界的坐标时 (18,0)，
此时h = ，即可得 h 的取值范围是 < h < ．
【详解】（1）解：①因为排球飞行到距离球网3m 时达到最大高度2.5m ，9 - 3 = 6 ， :抛物线的顶点坐标为(6,2.5)，
2 5
:点çè0, 4 ,÷ 在抛物线上，
设抛物线的表达式为y = a(x - 6) + 2 ， ( 7 ö
解得
:可以过球网，
当x = 18 时 :排球不出边界；
2 5
（2）解：设击出的排球轨迹为 y = n(x - 6) + 2 ， 当该轨迹经过球网的顶端坐标(9, 2.24) 时，
解得
当该轨迹经过右边界的坐标(18, 0) 时，
解得n = - ，
令x = 0 得y = ，即此时h = ；
:若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h 的取值范围是 ．
13 ．
(2)能顺利通行；
(3)方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：从距顶点0.8m 处开始挂灯笼.最多可挂 8 盏灯 笼．
【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题， 掌握二次函数，圆的相关性质．
（1）函数关系式为 y = ax2 ，将 (10, -5) 代入计算即可；
（2）画出图形，根据题意可知，CT = 1.8 + 2.2 = 4m ，TM = CT + CM = 11.5m ，由勾股定理 可得GK = 2TK = 4 ≈ 9.8m ，即可得到答案．
（3）根据该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长 0.4m ，可 知悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8m ，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：-6 ≤ x ≤ 6 ； 方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据-6 ≤ x ≤ 6 ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ， 可知共可挂 7 盏灯笼；方案二：从距顶点0.8m 处开始挂灯笼，可知共可挂 8 盏灯笼．
【详解】（1）解：由题意可知点 B 的坐标为(10, -5)， 设函数关系式为y = ax2 ，代入得100a = -5 ，
解得：
:抛物线的解析式为 ，
（2）解：如图，设圆心为 M，设圆的半径为 r 米，由题意得MT丄 AB 于点 C，MT 丄 GK 于点 T，连接 AM , MK ，
则 米，
: r2 = 102 + (r - 5)2 ，解得r = 12.5 米，
根据题意可知，CT = 1.8 + 2.2 = 4m ，MK = 12.5m ，CM = 12.5 - 5 = 7.5m ， : TM = CT + CM = 11.5m ，
: 9.8m > 8m ，
:能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿MN 航行；
（3）解：:该河段水位再涨1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m ，灯笼长 0.4m ， :当悬挂点的纵坐标y ≥ -5 +1.8 +1+ 0.4 = -1.8 ，
即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8m ， 当y = -1.8 时 ，
: x = ±6 ，
:悬挂点的横坐标的取值范围是：-6 ≤ x ≤ 6 ；
方案一：如图 3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
:-6 ≤ x ≤ 6 ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ， :若顶点一侧悬挂 4 盏灯笼时，1.6 × 4 > 6 ，
若顶点一侧悬挂 3 盏灯笼时，1.6 × 3 < 6 ，
:顶点一侧最多悬挂 3 盏灯笼，
:灯笼挂满后成轴对称分布，
:共可挂 7 盏灯笼，
方案二：从距顶点0.8m 处开始挂灯笼，如图 4，
:若顶点一侧悬挂 5 盏灯笼时，0.8 +1.6 × (5 -1) > 6 ， 若顶点一侧悬挂 4 盏灯笼时，0.8 +1.6 × (4 -1) < 6 ， :顶点一侧最多悬挂 4 盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布， :共可挂 8 盏灯笼．
21 2
14 ．该抛物线的表达式为y = 85 x + 0.0015
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系， 从而得到(0, 0.0015) 、A (0.85, 0.18) ，设该抛物线的顶点式为y = ax2 + 0.0015 ，将A(0.85, 0.18) 代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表 达式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为 即A(0.85, 0.18) ， 设该抛物线的表达式为y = ax2 + 0.0015 ，
将A(0.85, 0.18) 代入y = ax2 + 0.0015 得0.18 = 0.852 a + 0.0015 ， 解得 ，
:该抛物线的表达式为
(2) EF + EG + FH 的最大值为 31.6 米
【分析】（1）先理解题意，则设该抛物线的函数表达式 y= a (x -10)2 +14.3 ，再把 A(0, 4.3)
代入y = a (x -10)2 +14.3 ，进行计算得 即可作答．
设点 则EF = 20 - 2m ，将
EF + EG + FH 转化为- m - 5)2 + 31.6 ，利用二次函数最值解答即可．
本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵线段OC 表示水面，桥墩跨度AB 为20m ，抛物线的顶点 M 到x 轴的距 离是14.3m ．
,抛物线的顶点坐标为 (10,14.3) ， 设该抛物线的函数表达式y = a (x -10)2 +14.3 ， ∵高度OA = BC = 4.3m ，
:把A(0, 4.3) 代入y = a (x -10)2 +14.3 ，
得4.3 = a (0 -10)2 +14.3， 解得 ，
:该抛物线的函数表达式
解：由 得 对称轴为直线x = 10 ， ∵第一串彩灯EF 平行于水面挂设，彩灯两端E ，F 皆在抛物线上， 设点
∵点E ，F 关于对称轴x =10 对称，
: EF = 20 - m - m = 20 - 2m ，
∵另外两串彩灯EG ，FH 都垂直于水面挂设，且点G ，H 距离水面1m ，
: EF + EG + FH
:当m = 5 时，EF + EG + FH 有最大值，最大值为 31.6 米．
16 ．
(2)存在，P (18，- 9)
(3)能正常通过，理由见解析
【分析】主要考查了二次函数的应用，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能 力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示 线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）先求得C(18, 0), A (0, -18)，可设二次函数的表达式为 y = a (x -18)2 ，利用待定系数法 求解即可；
（2）由 A 、B 关于对称轴对称，连接OB 交对称轴于P ，连接PA ，此时 PA + PO 的值最 小．求出直线OB 的解析式，即可解决问题；
（3）先求出水面宽度 再由船高 2.5 米，水面y = -7 , 桥拱
。可得船顶高度：y - 7 + 2.5 = -4.5 ，桥拱在 x =18 ± 2 (船半宽)处的高度： 再比较求解即可．
【详解】（1）解：Q 水面AB 的宽为 36 米．水面AB 离桥拱顶点C 的高度 18 米．
:C (18, 0), A (0, -18) ，
:可设二次函数的表达式为y= a (x -18)2 ，
将A(0, -18) 代入得，-18 = a (0 -18)2 ，解得： ，
:二次函数的表达式为
（2）解：存在，理由如下：
如图，由A 、B 关于对称轴对称，连接OB 交对称轴于P ，连接PA ，此时PA + PO 的值最小．
由题意得B(36, -18) ，
设直线OB 的解析式为y = mx ，则有-18 = 36m ， 解得 ，
:直线OB 的解析式为 Q 抛物线的对称轴x = 18 ，
:将x = 18 代入 得y = -9 ， :P(18, -9) ；
（3）解：水面离桥拱顶点C 的高度为 7 米，即水面y = -7 。
x = 8 ± 3 ，
:水面宽度
船高 2.5 米，水面y = -7 , 桥拱 船顶高度：y - 7 + 2.5 = -4.5 ，
桥拱在x = 18 ± 2 (船半宽)处的高度
且6 > 4 ，
:游船能正常通过， 17 ．
(2)满足安装设计要求，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的解析式为y = ax2 + 9 ，再结合抛物线底面宽度AB = 12 米，且 O 为
AB 的中点，得出B(6, 0)，代入 y = ax2 + 9 求解即可作答．
（2）先作图：延长DC 交抛物线于一点 H，然后令CH = 0.5 ，则xH = 3 × + 0.5 = 2 ，把xH = 2
代入 ，得 y = 8 ，求出点 F 到地面距离为7 米，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为(0, 9) ， 设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为y = ax2 + 9 ，
: A(-6, 0), B (6, 0) ．
将A(-6，0) 代入y = ax2 + 9 ，得 0 = a ×36 + 9 ， 解得
:该隧道截面所在抛物线的函数表达式为
（2）解：满足安装设计要求，过程如下． 依题意DC = EF = 3 米， CF = ED = 1米． 如图，延长DC 交抛物线于点H ．
当CH = 0.5 米时，则 ．
: 点F 到地面距离为8 -1 = 7 （米）． Q 7 > 6 ，
:满足安装设计要求．
18 ．(1) y = - x2 + 5.5
(2)能安全通过，走右侧车道
【分析】本题主要考查二次函数的应用， 解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出 二次函数解析式．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分别求出 x = -0.25 - 2.25 = 2.5 ，x = -0.25 + 2.25 = 2 时，对应的函数值，即可判断． 【详解】（1）解：∵O 为AG 的中点，AG = 11.5 ，
: A(-5.75,0) ，
设抛物线解析式为y = ax2 + 5.5 ， 则0 = 5.752 a + 5.5 ，
解 : OD = AO - AB - BC - CD = 0.25 ，
: D (-0.25,0)，
:当x = -0.25 - 2.25 = 2.5 时 :左侧车道不能通过，
当x = -0.25 + 2.25 = 2 时 :右侧车道能通过，
:该货车应按右侧车道行驶能通过．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先求得顶点P(9,12)，再设抛物线的解析式为 y= a (x - 9)2 +12 ，利用待定系数法求解 即可；
（2）先求得 当x = 3 时 求得 设
EH = 3m ，GH = 2m ，求得点 根据点H 在抛物线上，列出一元二次 方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得OM = 18 ，抛物线最高点到地面的距离约为 12 米， : M (18, 0) ，P (9,12)，
设抛物线的解析式为y = a (x - 9)2 +12 ， 将O(0, 0) 代入得0 = a (0 - 9)2 +12 ，
解得
:抛物线的解析式为
（2）解：:矩形ABCD 和矩形EFGH ，
:设抛物线的对称轴交BC 于点Q，交 AD 于点N ，交 EH于点K，如图，
当x = 3 时
20 ( 20 ö
: AB = 3 米，A çè3, 3 ,÷ ,
: EH : GH = 3 : 2 ，
:设EH = 3m ，GH = 2m ，则 :点H 的纵坐标为2m + ，横坐标为 m + 9 ，
:点
:点H 在抛物线上，
整理得m2 + 6m -16 = 0 ，
解得m = 2 或m = -8 (舍去)，
(2)能安全通过，见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入(12, 0) 即可求解a ，继而得到函数解析式；
（2）先求出点 A 坐标，然后求出点A 距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差
值与0.5 比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为 即(6, 8)， 设抛物线的解析式为：y = a (x - 6)2 + 8(a ≠ 0)
代入点(12, 0) 得a (12 - 6)2 + 8 = 0 ， 解得：
:抛物线解析式为
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得
:能安全通过．
21 ．(1)图形见解析
(3)不能正常通过，理由见解析
(4)公园至少需要准备12τ 米的护栏
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据表格数据对应描点画图即可；
（2）根据表格数据和图象的对称性可得顶点为 ，设二次函数的关系式为
利用待定系数法即可得到答案；
（3）根据游船的宽度求得当 d = 0.8 时，h 的值，结合顶棚到水面的高度为 2 米，顶棚到水 柱的垂直距离不小于0.2 米，即可作出判断；
（4）根据（2）的关系式可求得当 h = 0 时，d 的值，即为落水点距离喷头的水平距离，进 而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解．
【详解】（1）解：描点、连线、图象如图；
;
（2）解：该函数是二次函数，由(1, 2) 和(3, 2) 可知，抛物线的对称轴为直线d = 2 ， 当d = 2 时，h = ，
:水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点
设二次函数的关系式为h= a (d - 2)2 + ，
( 5 ö 1
把 çè0, 4 ,÷ 代入可得a = - 4 ，
:h = - d - 2)2 + ；
( 5 ö ( 5 ö
将 çè0, 4 ,÷ 和 çè4, 4 ,÷ 代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上， :可以确认该函数是二次函数，
: h 与d 之间的函数关系式为h = - d - 2)2 + ；
（3）解：游船宽度 2.4 米，在抛物线的正下方通过，令d = 2 -1.2 = 0.8 ， 代入（2）中所得抛物线解析式得 - 0.8 - 2)2 + = 1.89 ，
由已知，顶棚到水面的高度为 2 米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.2 米， : 2 + 0.2 = 2.2 ，
:1.89 < 2.2 ，
:不能正常通过；
（4）解：当 h = 0 时，即- d - 2)2 + = 0 ， 解得d = -1 （舍去）或 d = 5 ，
:喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于 1 米， :圆的半径至少为5 +1 = 6 （米），
:至少需要准备栏杆2× 6 × τ = 12τ （米）， :公园至少需要准备12τ 米的护栏．
22 ．（1）y = -0.1(x - 2)2 + 1.6 ；（2）(2, 0) ；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用， 矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的 图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合 A(2,1.6) 为上边缘抛物线的顶点，设y = a (x - 2)2 +1.6 ，再把(0,1.2) 代入计算， 即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点(0,1.2) 的对称点为(4,1.2) ，把 y = 0 代入
y = -0.1(x - 2)2 +1.6 ，求出 x1 = 6 ，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 米得到
的，所以点 B 的坐标为(2, 0) ；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点 F 的坐标为(4,1.1) ，代入y = -0.1(x - 2)2 +1.6 得y = -0.1(4 - 2)2 +1.6 = 1.2 > 1.1，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：A (2,1.6) 为上边缘抛物线的顶点， 设y = a (x - 2)2 +1.6 ，
又∵抛物线过点(0,1.2) ， :1.2 = 4a + 1.6 ，
解得：a = -0.1 ，
:上边缘抛物线的函数解析式为y = -0.1(x - 2)2 +1.6 ．
（2）∵对称轴为直线x = 2 ，
:点(0,1.2) 的对称点为(4,1.2) ，
:下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 米得到的，
当y = 0 时，0 = -0.1(x - 2)2 +1.6 解得x1 = 6 ，x2 = -2 （舍去），
: 6 - 4 = 2
:点 B 的坐标为(2, 0) ；
（3）∵矩形DEFG ，其水平宽度 DE = 1.8 米，竖直高度EF = 1.1 米，OD = d = 2.2 米， 则2.2 +1.8 = 4 （米）
:点 F 的坐标为(4,1.1) ，
当x = 4 时，y = -0.1(4 - 2)2 +1.6 = 1.2 > 1.1， 当x > 2 时，y 随 x 的增大而减小，
:洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
23 ．
(2)向前行进6 + 4 米或6 - 4 米 (3) 4
【分析】（1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可；
（2）将起火点高度代入抛物线方程，求出解，从而确定；
（3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移 t 米，再向 上平移2t米， 建立新的抛物线方程，当x =0 时，y = 36 ，代入求解，与 10 进行比较即可求 出．
【详解】（1）解：根据题意得喷水口 (16, 4) 在抛物线上，
代入y = a(x - 6)2 + 29 中， 得4 = a(16 - 6)2 + 29 ，
解得：
解
:抛物线解析式为 ∵该楼距离地面21 米处出现一个起火点， : y = 21 代入抛物线中，
得： 整理：(x - 6)2 = 32 ，
解得：x = 6 ± 4 ，都大于 0，
:消防车需要再向前行进6 + 4 米或6 - 4 米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为a ，且 tan a = 2 ， 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移t 米，再向上平移2t米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为 根据题意得：
当x = 0 时，y = 36 ，即 解得：t1 = 4, t2 = 16 ，
当t = 4 时， 2t = 8 ，伸缩臂长为 米，
∵ 4 < 10，符合题意．
当t = 16 时， 2t = 32 ，伸缩臂长为 米，
∵ 16 > 10 ， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长4 米．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用， 待定系数法求解析式，勾股定理，解直角三角 形，解题的关键是掌握以上知识点．
24 ．(1)①抛物线水线最大高度是米；
【分析】本题考查二次函数的应用， 正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质 是解题的关键．
（1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线 x = 9 ，再把x =9 代入 求出y 值即可求解；
②根据抛物线水线最大高度达 4 米，则抛物线顶点的纵坐标为4m ，把 y = 4 代入求 得x = 8 ，即可求解；
根据 得出抛物线的顶点坐标为 再根据 抛物线的顶点在直线y= x 上，得到，求得b = 2 ，然后根据喷出的抛物线水线不
2 18
能到岸边，出水口离岸边18m ，得 - < ，求解即可．
2a 2
解
①∵喷出的水恰好达到岸边 :抛物线过(18, 0)，
∵抛物线过原点(0, 0) ，
:抛物线的对称轴是直线 ∵抛物线的顶点在直线上，
:抛物线水线最大高度是米；
②:抛物线水线最大高度达 4 米，
:抛物线顶点的纵坐标为4m ， 当 y = 4 时
解得：x = 8 ，
:抛物线的顶点是(8, 4)，
: y = ax2 + bx = a (x - 8)2 + 4 ， :抛物线过原点(0, 0) ，
: 64a + 4 = 0 ，
解得
b = 1．
解 :抛物线的顶点坐标为 ，
:抛物线的顶点在直线y= x 上，
解得：b = 2 ，
:喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边18m ，
解得
点 A 的坐标为 点 B 的坐标为(4, -10) ；（2）运动员此次跳水不会失误， 理由见解析；（3）-14 ≤ k ≤ -11
【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据函数解析式，写成顶点A 的坐标，进而当y = -10 时， 求出 点 B 的坐标；
当x =3 时 得到调整点的坐标为 ，求出运动员此时距离 水面高度为 即可得到答案；
（3）由人水处点B(4, -10) 得到-10 = (4 - h)2 + k ，①当抛物线经过点M 时，-10 = (6 - h)2 + k ， ②,解得k = -11，h = 5 ；当抛物线经过点 N 时，-10 = (8 - h)2 + k ，③由①③联立方程组， 解得k = -14，h = 6 . 即可得到答案．
解 :点A 的坐标为 ，
当y = -10 时 解得x = 4 或
点 B 的坐标为(4, -10)
（2）:运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y 轴的水平距离为 3 米， :运动员调整好入水姿势的点的横坐标为 3，
:当x = 3 时 :调整点的坐标为
:运动员此时距离水面高度为 （米）
:运动员此次跳水不会失误；
（3）: EM = 6，EN = 8 ，E (0, -10)， : M (6，-10)，N(8，-10) .
∵人水处点B(4, -10) ， :-10 = (4 - h)2 + k ，。
当抛物线经过点 M 时，-10 = (6 - h)2 + k ，② 由。②联立方程组，解得k = -11，h = 5 ；
当抛物线经过点 N 时，-10 = (8 - h)2 + k ，③ 由。③联立方程组，解得k = -14，h = 6
∵出水处点 D 在MN 之间(包括 M，N 两点)， :-14 ≤ k ≤ - 11
26 ．(1) y = -0.5x2 +1.2x
(2)。 0.625m ；② 0.481m
【分析】（1）根据题意可知 A(2.4, 0) ，B (1.2, 0.72)，设小勇跳远时抛物线的表达式 y = a (x -1.2)2 + 0.72 ，代入 A(2.4, 0) 即可求解；
（2）由题意可知，调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线过(2.5, 0) ，(1.2, 0.624) ，设调整跳 远姿势后，小勇跳远时抛物线为y¢ = mx (x - 2.5) ，将(1.2, 0.624) 代入表达式可得
y ¢ = -0.4x (x - 2.5) = -0.4(x -1.25)2 + 0.625 ，当 x = 1.25 时，y ¢ 有最大值 0.625，即可求得答 案；
②令x =1.85 时，求得y¢ 即可．
【详解】（1）解：由题意可知 A(2.4, 0) ， ∵点B 为最高点，则 : B (1.2, 0.72)，
设小勇跳远时抛物线的表达式y = a (x -1.2)2 + 0.72 ，
将A(2.4, 0) 代入表达式可得：a (2.4 -1.2)2 + 0.72 = 0 ，解得：a = -0.5， :小勇跳远时抛物线的表达式为：y = -0.5× (x -1.2)2 + 0.72 ，
即：y = -0.5x2 +1.2x ；
（2）①由题意可知，调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线过(2.5, 0) ，(1.2, 0.624) ， 设调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线为y¢ = mx (x - 2.5) ，
将(1.2, 0.624) 代入表达式可得：1.2m× (1.2 - 2.5) = 0.624 ，解得：m = -0.4 ， : y ¢ = -0.4x (x - 2.5) = -0.4x2 + x = -0.4(x -1.25)2 + 0.625 ，
当x = 1.25 时，y ¢ 有最大值 0.625，
:小勇跳到最高处时脚离地面的高度0.625m；
②当x = 1.85 时，y ¢ = -0.4× 1.85 × (1.85 - 2.5) = 0.481，
:求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度0.481m ．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用， 顶点式的运用，根据解析式由函数值求自变 量的值的而运用，根据自变量的值求函数值的运用，解答时灵活运用解析式求解是关键．
27 ．(1)3.05 米；
(2)0.2 米；
(3)1 米；
【分析】本题考查二次函数的应用， 解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的 特征．
（1）求出篮圈中心的横坐标为 4 - 2.5 = 1.5 ，在 y = -0.2x2 + 3.5 中，令x =1.5 可得篮圈中心 到地面的距离为 3.05 米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是 h 米，知出手点坐标为
(-2.5,1.8 + 0.2 + h) ，故1.8 + 0.25 + h = -0.2× (-2.5)2 + 3.5 ，解出 h 的值可得答案；
（3）在 y = -0.2x2 + 3.5 中，令y = 3.05 得x = 1.5 （舍去）或 x = -1.5 ，即知两名运动员之间 的距离不能超过 1 米．
【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为 4 - 2.5 = 1.5 ， 在y = -0.2x2 + 3.5 中，令x = 1.5 得y = -0.2× 1.52 + 3.5 = 3.05 ，
:篮圈中心的纵坐标为 3.05，
:篮圈中心到地面的距离为 3.05 米；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是 h 米，则出手点坐标为(-2.5,1.8 + 0.25 + h)， :1.8 + 0.25 + h = -0.2× (-2.5)2 + 3.5 ，
解得h = 0.2 ，
:球出手时，他跳离地面的高度是 0.2 米；
（3）解：在 y = -0.2x2 + 3.5 中，令y = 3.05 得：3.05 = -0.2x2 + 3.5 ， 解得x = 1.5 （舍去）或 x = -1.5 ，
Q-1.5 - (-2.5) = 1 ，
:两名运动员之间的距离不能超过 1 米．
28 ．
(2)该袋鼠不能通关，理由见解析
【分析】本题考查了抛物线的应用， 涉及抛物线的图象与性质，抛物线的平移，解题的关键 是掌握相关知识．
（1）由题意知，袋鼠第一段（O → B ）跳跃的运动轨迹所在抛物线的顶点为A(6, 3) ，且抛 物线过点O(0, 0) ，设该抛物线的解析式为 y= a (x - 6)2 + 3 ，将点O(0, 0) 代入求出a ，即可 求解；
（2）先求出 ，则C(12, 5) ，由第一次跳跃的抛物线起点为O(0, 0) ，终点为B (çè 9, ， 第二次跳跃的抛物线起点也是 ，则第二次跳跃的抛物线是由第一次跳跃的抛物线向 右平移9 个单位，在向上平移个单位得到，根据题意，该袋鼠第二次跳跃的运动轨迹所在 抛物线的函数表达式为 令x = 12 ，求出y 值，即可判断．
【详解】（1）解：由题意知，袋鼠第一段（O → B ）跳跃的运动轨迹所在抛物线的顶点为A(6, 3) ， 且抛物线过点O(0, 0) ，
:设该抛物线的解析式为y = a (x - 6)2 + 3 ，将点O(0, 0) 代入得：
0 = a (0 - 6)2 + 3 ， 解得： ，
:袋鼠第一段（O → B ）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为 y = - )2 + 3 ；
（2）该袋鼠不能通关，理由如下：
当x = 9 时
: B (çè 9, ，
Q 第一次跳跃的抛物线起点为O(0, 0) ，终点为 B (çè 9, ÷ ,第二次跳跃的抛物线起点也是 B (çè 9, ，
:第二次跳跃的抛物线是由第一次跳跃的抛物线向右平移9 个单位，在向上平移个单位得 到，第二次跳跃的抛物线顶点为
又Q C(12, 5)，
根据题意，该袋鼠第二次跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为 当x = 12 时
:该袋鼠跳跃后不能到达点C 处，故该袋鼠不能通关．
顶点D 的坐标为(2, -1) ；（2）5 ；（3）4
【分析】（1）把原点(0, 0) 代入解析式y = ax2 - 4ax - 4a +1，求得a 值，将抛物线化成顶点 式即可确定顶点坐标；
（2）先求出点C 的坐标为(4, 0) ，再求出CC1 的解析式为：y = -x + 4 ．然后求出点G 的坐 标为 最后求出结果即可；
（3）作 PF 丄 抛物线的对称轴于点F ，则 上PFD = 90° ,设点 P 的横坐标为x ，得出
PF = FD = 2 - x ，根据点P 在抛物线上，列出方程 得出点P 的坐标为(-2,3) ， 最后求出PD 即可．
【详解】解：（1）Q 抛物线经过原点， : -4a +1 = 0 ．
解得：
:抛物线的解析式为
:顶点D 的坐标为(2, -1) ；
（2）取 y = 0 ，0 = x2 - x ，
解得：x1 = 0 ，x2 = 4 ，
: 点C 的坐标为(4, 0) ，
Q 心形叶片的对称轴是直线y = x + 1，点 C ，C1 是叶片上的一对对称点， :设CC1 的解析式为：y = -x + b ．
Q 经过点C ， : -4 + b = 0 ． 解得：b = 4 ．
: CC1 的解析式为：y = -x + 4 ．
: í
ìy = -x + 4
l y = x +1 ，
( 3 5 ö
解得：
: 点G 的坐标为çè2 , 2 ,÷ .
: CC¢ = 2CG = 5 ．
（3）作 PF 丄 抛物线的对称轴于点F ，则 上PFD = 90° ,
Q 直线PD 与水平线的夹角为45° ,
: PF = FD ．
设点P 的横坐标为x ，
Q 抛物线的对称轴为直线x = 2 ， : PF = FD = 2 - x ．
Q 顶点D 的坐标为(2, -1) ，
: 点P 的纵坐标为-1+ 2 - x = 1 - x ． Q 点P 在抛物线上，
解得：x = ±2 ．
: 点P 的坐标为(-2,3) ．
:PD = = 4 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式， 等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴 的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
30 ．(1) y = 0.25 (x + 2)2 +1.8
(2)①y = 0.25 (x - 2)2 +1.8 ；② 6 米
【分析】本题考查了二次函数的应用，列出二次函数关系式是解题的关键；
（1）先求得CD 中点的横坐标为2 ，设第二象限内的抛物线表达式为y= a (x + 2)2 + b ，待定 系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据对称性写出第一象限内的抛物线表达式；
②对于左侧抛物线，当y = 2.05 时，对于右侧抛物线，当y = 2.05 时，分别求得x 的值，即
可求解．
【详解】（1）解：CD中点的横坐标为
:抛物线对称轴为x = -2 ，设第二象限内的抛物线表达式为 y= a (x + 2)2 + b ，
将A(-5, 4.05) 、P (0, 2.8) ， 代入， 解得a = 0.25 ，b = 1.8 ，
:第二象限内的抛物线表达式为y = 0.25 (x + 2)2 +1.8 ．
（2）①:第二象限内的抛物线表达式为y = 0.25 (x + 2)2 +1.8 ，y 轴为对称轴， :第一象限内的抛物线表达式；y = 0.25 (x - 2)2 +1.8 ，
②对于左侧抛物线，当y = 2.05 时，
即0.25(x + 2)2 +1.8 = 2.05 ，解得 x1 = -1 ，x2 = -3 ． 对于右侧抛物线，当y = 2.05 时，
即0.25(x - 2)2 +1.8 = 2.05 ，解得 x1 = 1 ，x2 = 3 ．
:两个灯笼之间的最大水平距离为3 - (-3) = 6 （米）．
(2)15.5m
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质， 利用顶点式求抛物线的解析式，二次函数 和几何图形，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）利用顶点式求抛物线的解析式即可；
（2）根据给出的条件分析几何图形，找出边之间的数量关系，根据求出的二次函数的解析 式设点 则点 最后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得点 A(0, 5), B(5, 0) ，且 B 为轨道 AB 所在抛物线的顶点，
:可设该抛物线的表达式为y = a(x - 5)2 ，代入点 A(0, 5) ，
:5 = 25a ， 解得
:轨道 AB 所在抛物线的函数表达式为
解：由 得 由题意，易得QG = ON, PF = OM ．
QOM = MN ，
: ON = 2OM ，
:QG = 2PF ．
设轨道两侧需要的支架材料的长度为d ，
:d = 2(PF + FM + QG + GN)
= 2 (m2 - 3m +10)
当 的最小值为
答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为 15.5m．
32 ．(1) B(8,0) ，C (8, 6) ，D (0, 6)
(2)抛物线L1 和L2 的顶点坐标分别为(4,14) ，(4, -4) ， L1 的表达式为 L2 的表达式为
(3) 4
【分析】（1）由矩形 ABCD 性质可得CD = AB = 8cm ，AD = BC = 6cm ，CD Ⅱ AB ， BC∥AD ，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线L1 于M ，交抛物线L2 于
N ，交矩形 ABCD 于N ，P ，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ 是抛物线L1 和L2 的对称轴 上DNP = 上APN = 90° ,由矩形 DAPN 中NP = AD = 6 ，抛 物线L1 的高度为8cm ，抛物线L2 的高度为4cm ，直线MQ 是抛物线L1 和L2 的对称轴，即可 得出抛物线L1 和L2 的顶点坐标分别为M(4,14) ，Q (4, -4) ，分别设抛物线L1 和L2 的表达式 为y = a1 (x - 4)2 +14 ，y = a2 (x - 4)2 - 4 ，分别将将D(0, 6) 和A(0, 0) 代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出 EF 丄 MG ，HG 丄 MG ，证明 HE 丄 x 轴，设
xE = xH = n ， 则 则 求得xE = 2 ，由抛物线对称性可得EF = 2 (x对称轴 - xE ) = 4 ．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD 的边AB = 8cm ，BC = 6cm ， : CD = AB = 8cm ，AD = BC = 6cm ，CD Ⅱ AB ，BC∥AD ， : B (8, 0) ，C (8, 6) ，D (0, 6) ；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线L1 于M ，交抛物线L2 于N ，交矩形 ABCD 于N ，P ，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ 是抛物线L1 和L2 的对称轴， 上DNP = 上APN = 90° ,
:四边形DAPN是矩形， : NP = AD = 6 ，
:抛物线L1 的高度为8cm ，抛物线L2 的高度为4cm ，直线MQ 是抛物线L1 和L2 的对称轴， : MP = MN + NP = 8 + 6 = 14 (cm) ，QP = 4cm ，
:抛物线L1 和L2 的顶点坐标分别为M(4,14) ，Q (4, -4) ，
分别设抛物线L1 和L2 的表达式为y = a1 (x - 4)2 +14 ，y = a2 (x - 4)2 - 4 ， 将D(0, 6) 代入y = a1 (x - 4)2 +14 ，
解得
则抛物线L1 的表达式为 将A(0, 0) 代入y = a2 (x - 4)2 - 4 ，
解得
则抛物线L2 的表达式为
（3）解：:装置整体图案为轴对称图形， : EF 丄 MG ，HG 丄 MG ，
:MQ 丄 x 轴，
: EF∥HG∥x 轴， : EFGH 是矩形， : HE 丄 EF ，
: HE 丄 x 轴，
: xE = xH ，
设xE = xH = n ，
解得：n = 2 或6 （在对称轴右侧，舍）， : xE = 2 ，
由抛物线对称性可得EF = 2 (x对称轴 - xE ) = 4 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合， 矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法 求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
33 ．（1）18x ；w = -x2 + 42x +100；（2）当 x = 21 时，Wmax = 541；（3）最少开 7 条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得安检时间为x 分钟，则已入场人数为（用x 表示）18x ，w 与x 的函数表达 式为w = y -18x = -x2 + 42x +100 ；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
（3）运用二次函数的性质解答即可
【详解】解：（1）若开设 3 条安检通道，安检时间为x 分钟，则已入场人数为（用x 表示） 18x ，若排队人数为 w ，则 w 与x 的函数表达式为w = y -18x = -x2 + 42x +100
（2）w = -x2 + 42x +100 = - (x - 21)2 + 541
: 当x = 21 时，Wmax = 541
（3）设开了 m 条通道则：w = y - 6mx = -x2 + 60x +100 - 6mx = -x2 + 6(10 - m)x +100
:对称轴为x = 3 (10 - m)
:排队人数 10 分钟（包括 10 分钟）内减少
:0 ≤ 3(10 - m) ≤ 10 ，即： ≤ m ≤ 10
又Q 最多开通 9 条
Qm 为正整数，
:m 最小值为 7 ， :最少开 7 条通道；
(2) 20 米
米；②15 ≤ v ≤ 6
【分析】本题考查了二次函数的应用， 待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与x 轴的交 点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
1 2
（1）根据题意，列出表达式为 y1 = h - 80 x ，结合图象，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，求出抛物线y2 的函数表达式，分别求出y2 = 0 与y1 = 0 时，x 的值，即可求 解；
（3）①根据题意可得当两物资相撞时，y2 = y1 ，据此列出方程，解方程即可求解；
②根据题意可得2 号无人机的运动路径为v2 = ，根据两个抛物线无交点，得出可降低 物资B 的投放高度，使其低于物质A 的投放高度，分别计算出当物资B 的投放高度与物质A 的投放高度一致，以及物资B 的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况 下，2 号无人机投放物资B 的水平初速度v ，即可求解．
【详解】（1）解：: g = 10 ，1号无人机的速度为：v = 20 ，
根据图可得：x = 40 时，y1 = 60 ，
代入 得 解得：h = 80 ，
（2）解：根据题意可得：2 号无人机的速度为：v = 10 ，高度为：h = 80 +100 = 180 ，
结合题意可得
当y2 = 0 时 解得：x = 60 （负值已舍去）， 当y1 = 0 时 解得：x = 80 （负值已舍去）， ∵ 80 - 60 = 20 ，
故两物资落点间的水平距离为20 米．
（3）解：①当两物资相撞时，y2 = y1 ，
解得：
将 代入 得 解得： ，
故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为 米；
②由（2）可得：物资 A 的落点坐标为(80, 0)，物资 B 的落点坐标为(60, 0) ， 将(60, 0) ，g = 10 ，代入 得 ，
整理得 ∵ 18000 > 0 ，
故v2 随h 的减小而增大，
∵物资A ，B 的落点不变，要使得物资A ，B 不相撞， 即两个抛物线无交点，
故可降低物资B 的投放高度，使其低于物质A 的投放高度， 当物资B 的投放高度与物质A 的投放高度一致时，即h = 80 ， 代入 得
解得：v = 15 （负值已舍去），
∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为 50 米，即h = 50 ，
代入 得 ， 解得： 负值已舍去），
: 2 号无人机投放物资B 的水平初速度v 的取值范围为
35 ．(1)22.5
(2)图见解析
(3) h = -0.01(d - 50)2 + 26.5
(4)小王不能将这支箭射入圣火台，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用， 包括抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函 数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键．
（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当 d = 70 与d = 30 时的函数值相等，据此即可 求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先根据抛物线的顶点坐标为(50, 26.5) ，代入即可求得抛物线的解析式；
（4）求出当 d = 68 ，d = 72 时所对应的h 的值，再和20 作比较即可； 【详解】（1）解：:这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据d = 40 与d = 60 时的函数值相等，
:对称轴为直线d = 50 ，
: d = 70 与d = 30 时的函数值相等， :当d = 30 时，h = 22.5 ，
:当d = 70 时，k = 22.5 ．
故答案为：22.5 ．
（2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．
（3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为(50, 26.5) :设二次函数的解析式为：h = a (d - 50)2 + 26.5 ，
当d = 40 时，h = 25.5 ，
: a (40 - 50)2 + 26.5 = 25.5 ， 解得：a = -0.01 ，
:二次函数的解析式为h = -0.01(d - 50)2 + 26.5 ，
（4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由：
:水平距离为 70 米、距地面的竖直高度为 20 米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形， 其中AB = 4 米，EF 垂直平分AB ，
当d = 68 时，
h = -0.01× (68 - 50)2 + 26.5 = -3.24 + 26.5 = 23.26 > 20 ， 当d = 72 时，
h = -0.01× (72 - 50)2 + 26.5 = -4.84 + 26.5 = 21.66 > 20 ， : 23.26 > 20 ，21.66 > 20 ，
:箭的轨迹在点火台的上方，
:小王不能将这支箭射入圣火台．
36 ．(1) y = -x2 + 16; (-4 ≤ x ≤ 4)
(2) DE 的长为 6 米，CF 的长为 3 米
(3)矩形周长的最大值为米
【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标为(0,16) ，不妨设抛物线的函数表达式为 y = ax2 +16 ，把点 A 或点 B 的坐标代入解析式，确定解析式即可；
（2）由点D, E 在抛物线y = -x2 +16 上，不妨设点E 的坐标为(m, -m2 +16)，继而得到 DF = EF = m, OF = -m2 +16 ，DE = 2m ．根据题意得DE + CF = 9 ，构造方程
-m2 +12 + 2m = 9 ，求解即可；
（3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩 形．她尝试借助图 2 设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个
【详解】（1）解：Q OP 所在直线是AB 的垂直平分线，且AB = 8 ，
1 1
: OA = OB = AB = × 8 = 4 ．
2 2
: 点B 的坐标为(4, 0) ， Q OP = 16 ，
: 点P 的坐标为(0,16) ， Q 点P 是抛物线的顶点，
:设抛物线的函数表达式为y = ax2 +16 ， Q 点B(4, 0) 在抛物线y = ax2 +16 上，
:16a +16 = 0 ，
解得：a = -1 ．
:抛物线的函数表达式为y = -x2 +16(-4 ≤ x ≤ 4)．
（2）解：由点D, E 在抛物线y = -x2 +16 上，
不妨设点E 的坐标为(m, -m2 +16)， Q DE Ⅱ AB ，交y 轴于点F ，
:DF = EF = m, OF = -m2 +16 ， :DE = 2m ．
Q在Rt△ABC 中，上ACB = 90°, OA = OB ，
: CF = OF - OC = -m2 +16 - 4 = -m2 +12 ， 根据题息，得DE + CF = 9 ，
:-m2 +12 + 2m = 9 ，
解得：m1 = 3, m = -1 （不符合题意，舍去），
: m = 3 ．
:DE = 2m = 6, CF = -m2 +12 = 3 ，
答：DE 的长为 6 米，CF 的长为 3 米．
（3）解：如图矩形灯带为 GHML ，
根据题意，得A(-4, 0) ，B (4, 0) ，C (0, 4) ，
设直线AC 和BC 的表达式分别为：y = kx +4, y = px + 4 ， 故-4k + 4 = 0, 4p + 4 = 0 ，
解得k = 1, p = -1 ，
故直线AC 和BC 的表达式分别为：y = x + 4, y = -x + 4 ，
设点G(m, -m2 +16)、H (-m, -m2 +16)、L (m, m + 4)、M (-m, m + 4)，
则矩形周长= 2 (GH + GL ) = 2 (-2m - m2 +16 - m - 4) = -2(m +1.5)2 + ， 根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为 ，
故矩形周长的最大值为 米．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式， 矩形的性质，等腰直角三角形的性质，构造二次 函数求最值，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键．
37 ．
(2)这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出 A 点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1 的坐标，进而求出M1N1 的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：AD = 8 ，OA = OD = 4 ，
: A(-4, 0)，
把A(-4, 0) 代入y = ax2 + 2 ，得：0 = 16a + 2 ，
（2）由题意，可知：OM1 = OM2 = 4 -1 = 3 ， : N1, N2 关于y 轴对称，
:当x = 3 时
故这根材料的长度够用．
38 ．问题 1 ：y = 100x (0 ≤ x ≤ 20) ；问题 2 ：W = 0.5x2 +15x +100(0 ≤ x ≤ 6) ；W 的最大值为 208；问题 3：当调配数量不足 20 辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为 20 辆 时，选择方案一或方案二都相同；当调配数量超过 20 辆时，选择方案一运维团队更有利
【分析】本题主要考查了不等式的应用， 求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键 是理解题意，列出函数解析式．
问题 1：根据信息一写出y 关于 x 的函数解析式即可；
问题 2：根据日租借率最高不超过80% ，求出 x ≤ 6 ，列出函数解析式
W = 10 (20 + x )(50% + 5%x ) = 0.5x2 +15x +100 ，然后根据二次函数性质进行求解即可； 问题 3：分别求出当 40x =800 时，x = 20 ，当 40x > 800 时，x > 20 ，当 40x < 800 时， x < 20 ，然后进行回答即可．
【详解】解：问题 1：调配这些滑板车的总成本为：y = 100x (0 ≤ x ≤ 20) ； 问题 2 ：:日租借率最高不超过80% ，
: 50% + 5%x ≤ 80% ， 解得：x ≤ 6 ，
W = 10 (20 + x )(50% + 5%x )
= 0.5x2 +15x +100 ，
抛物线的对称轴为直线 :当0 ≤ x ≤ 6 时，W 随 x 的增大而增大，
:公司日租借收入 W 的最大值为：
0.5 × 62 +15× 6 +100 = 208 ；
问题 3：当 40x = 800 时，x = 20 ， 当40x > 800 时，x > 20 ，
当40x < 800 时，x < 20 ，
:当调配数量不足 20 辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为 20 辆时，选择方案 一或方案二都相同；当调配数量超过 20 辆时，选择方案一运维团队更有利．
39 ．（1）2 ；（2） 米 米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， 勾股定理，三线合一定理，熟知相关知识是 解题的关键．
（1）由三线合一定理可得AB = 2AC ，利用勾股定理求出 AC 的长即可得到答案；
（2）由题意得，点 M 的坐标为(2, 2.5) ，D (0, 0.5) ，据此把解析式设为顶点式，再利用待 定系数法求解即可；
（3）根据（2）所求，求出当函数值为 0 时的自变量的值即可得到答案；
（4）根据题意可得点 N 在点 M 右侧，设二者相距 t 米，则喷淋头 N 的水柱外层所在抛物线 的函数解析式为 求出当抛物线 恰好经过 (8, 0.2) 时，t 的值即可得到答案．
【详解】解：（1）: OA = OB = 2 ，OC 丄 AB ， : AB = 2AC ，
在Rt△AOC 中，由勾股定理得 米， : AB = 2 米，
:图 2 中地面有效保护直径AB 的长度为2 3 ；
（2）由题意得，点 M 的坐标为(2, 2.5) ，D (0, 0.5) ，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为y = a (x - 2)2 + 2.5(a ≠ 0) ，
把D(0, 0.5) 代入y = a (x - 2)2 + 2.5(a ≠ 0) 中得：0.5 = a (0 - 2)2 + 2.5 ，解得
:该水柱外层所在抛物线的函数解析式为
在 中，当 时，解得 或x = 2 - ，
米，
:喷淋头 M 的地面有效保护直径OE 为米；
（4）设喷淋头 N 在喷淋头 M 的右侧，且二者相距 t 米，
则喷淋头 N 的水柱外层所在抛物线的函数解析式为 当抛物线 恰好经过(8, 0.2) 时，
解得 或
:喷淋头 N 距离喷淋头 M 至少为米．
；（2）绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学，理由见解析；
（3）方案能解决同学反映的问题，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的应用， 待定系数法求解析式，二次函数平移等知识，掌握相 关知识是解题的关键．
（1）按照题意建立平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为y 轴，于y 轴交于点(0, 2) ，并 且经过点(-3,1)，设出相应的函数解析式，进而把点 (-3,1) 代入可得二次项系数的值，即可 求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式；
（2）9 个同学，最高的同学在正中间，那么右边将有4 个同学，易得最右侧同学所在的横 坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最右侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最右 侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边 侧的同学；
（3）根据抛物线的形状相同可得绳子摇至最低处时，抛物线解析式，进而可得平移后新的 抛物线解析式，取最右侧同学的横坐标代入可得最右侧同学跳绳的高度，与舒适高度0.25 比 较即可判断方案能否解决问题．
【详解】解：（1）如图建立平面直角坐标系：
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y = ax2 + 2(a ≠ 0)，
∵经过点(-3,1)， :9a + 2 = 1，
解得： ，
:长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：
（2）最右侧同学所在的横坐标为： 0.45 × 4 = 1.8 ， 当x = 1.8 时
∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的 ， :最右侧同学屈膝后的身高为
Q 1.615 < 1.64 ，
:绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
（3）当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为 ， ∵出手高度降低至0.85m ，
:抛物线下降0.15m ，
:下移后的抛物线解析式为 当x = 1.8 时
Q0.21 < 0.25,
:方案能解决同学反映的问题．