浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用公开课教学设计

教学环节

师生活动

设计意图

一、情境引入

教师用多媒体展示颐和园图片：

同学们知道这是哪儿吗？

颐和园是目前中国最大、现存最完整的皇家园林。在颐和园的湖区景点中，有一座非常著名的桥就是——十七孔桥，它是乾隆年间修建的，全长150米，宽8米，全长150米，宽8米；因有十七个桥洞而得名，是圆内最大的一座石桥。西连西湖岛，东接廊如亭，飞跨于东堤和南湖岛之间，也是通往南湖岛的唯一通道。

十七孔桥的桥洞有我们学过的什么形状？

今天我们就来研究二次函数应用中的拱桥问题。

从学生熟悉的生活情境引入，激发学生的学习兴趣。

二、新知探索

教师用多媒体出示例题 ：

例：如图，抛物线形的拱桥，当水面在CD时，拱桥顶E离水面CD为2m，水面CD宽4 m，当水面下降1 m时，水面宽度AB是多少米？

（一）师生共同分析，将实际问题转化成数学问题

（1）学生独立分析题意，一名同学口述标图，教师板书：

（2）教师引导：学生将原图中的抛物线抽象出来，分析要解决的数学问题。

① 将这里的抛物线抽象出来后，已知什么？未知呢？

② 联系我们已有的知识，我们可以将线段长度问题转化成什么？（坐标）

③ 在学习用坐标表示点的位置时，我们借助了什么工具呢？ （坐标系）

④ 现在没有坐标系，我们应该怎么做呢？（画一个坐标系）

⑤ 建立坐标系后就能有点的坐标么？（不一定）

⑥ 我们来看A、B两点在哪儿？（抛物线上）

⑦ 因此我们需要先求出这个抛物线的解析式，然后再求A、B两点坐标。

（3）教师初步小结：

而在研究二次函数时，我们仍然是在坐标系中研究它的图象以及解析式，因此现在解决问题的关键就是——建立平面直角坐标系。

教师提问: 那么怎样建系能求出抛物线的解析式呢？请你在备用图上试一试。

（二）学生独立思考后，小组交流，并展示

（1）学生独立思考，教师巡视指导：

请你在建系时思考以下几个问题：

1. 怎样在原图中建立平面直角坐标系？

2. 建系后能找到那些点的坐标？标在图中.

3. 可以求出抛物线的解析式吗？

（2）小组合作交流，教师巡视指导：

交流以下内容：

1. 小组同学共有几种建系方法？

2. 所有思路都可以求出抛物线的解析式吗？怎样求的？

（三）同学展示讲解，师生共同评判：

（1）学生在黑板上展示建系方法：

在巡视过程中，教师选取不同学生到黑板展示建系。

（2）学生代表到黑板展示求解析式的思路；教师和其余学生倾听，学生讲解过程中，教师注意追问以下几个问题：

1. 以哪个点为原点建系？

2. 建系后能找到那些点的坐标？怎么得到的？

3. 说明求抛物线解析式的思路，解析式设成什么模型？

（3）学生评判；

教师提问：大家认为他的做法可以吗？（学生可能会说在同一种坐标系下，还有别的设模型的方法，这时教师给予肯定）大家做的非常好，看来大家的方法都能解决问题。

（四）同学讨论，几种建系方法哪种解决问题时更简单：

教师提问：那么这几种方法中，哪一种解决问题时更简单呢？为什么？

预案1： 以点N或M为原点时，点的坐标简单；

预案2： 以点E为原点时，解析式模型简单；

教师小结： 一般建系时考虑两个方面：

①点的坐标易计算

②解析式模型简单

这也体现了数学的简捷美。

（五）如果有同学以A点为原点建系：

教师提问：如果以点A为原点建系，可不可以呢？

刚才我看到有的同学还考虑过这样的建系方法：以A点为原点时建系，但是后来却没有求解析式，这是为什么呢？

我们发现这样建系后，点C、D、E的坐标都不好表示，也就不方便求出解析式。要求解析式只能设未知数表示坐标，再找关系代模型求解。

（六）板书规范格式：

教师： 现在我们来选一种方法板书，规范一下格式：

（七）师生共同小结，教师板书标注，同时ppt呈现

教师：现在我们一起总结一下解决实际问题的一般步骤：

首先要审题，审出已知未知；然后建系、建模；再把已知线段长转化成点的坐标，这时要注意坐标的正负数，求出解析式；从而求得点的坐标；最后解决实际问题。

Ppt呈现：

①解决实际问题的一般步骤：

(1)审题.

(2)建系、建模.

(3)找点坐标，求解析式.

(4)求点坐标.

(5)回答实际问题.

教师强调：②注意：点的坐标的正负。

教师指出：实际上，通过建系建模我们将实际问题转化成了数学问题；然后运用二次函数的图象、解析式等知识，再去解决数学问题；最后再将数学问题的解转化成实际问题的答案。

教师：在这个过程中，体现了什么思想方法？

③数学思想：转化思想、建模思想、数形结合

在独立审题的过程中， 经历在具体情境中抽象出数学知识的过程。

通过提问引导，帮学生分析解决问题的关键。

学生独立思考再小组合作，各抒己见，在合作中学会倾听，敢于发表看法。

通过交流展示，锻炼学生的表达能力。

通过追问，加深学生对实际量与坐标的对应关系的认识，突破难点，同时深化建模思想。

一题多解，同时让学生对比，既发散学生的思维，又能够体验到解决问题的方法的多样性，同时通过比较体会建系时要考虑如何才能简化问题.

板书规范书写格式

师生共同小结，总结解题步骤、注意要点，以及数学思想。

三、应用练习

教师：下面请同学们自己尝试解决变式的问题。

多媒体展示变式：

变式： 某公园要在地面建造一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。喷水口A距地面为2m，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距水枪底部B的距离是3m.喷出的水流距地面的最大高度是多少？

（一）学生独立审题分析，标图，尝试完成解题过程：

学生独立分析，教师巡视指导：

①已知什么？未知什么？（点P到BC的距离即：PM）

②怎样理解水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下？（所有的抛物线形状相同，要求的水流距地平面最大高度只需借助一个抛物线即可，即：求出PM即可）.

③如何建系才能解决呢？

（二）学生到白板上展示解题过程，师生共同评判：

预案1： 以点B为原点：

预案2： 以点M为原点：

预案3： 以点A为原点：

预案4： 以点O为原点：

师生共同小结：

注意实际量与坐标系中的点的对应关系；建系后的点的坐标放在第一象限时不容易出错。

（三）思考拓展

教师用多媒体出示：

思考：一个身高1m的小孩如果不想被水流喷到，他在这个水池内地面的活动范围是多大？

教师进行提示：

想要不被水流喷到说明他左右的活动范围是怎样的？你可以描述一下吗？这个1m的小孩恰好被水流喷到时，他的位置是怎样的？

最后讨论得出：只需将y=1代入到解析式当中，求x的值，即抛物线与x轴交点坐标，结果取正；这个x值在坐标系所对应的点是他可以向右走动的极限点，由于水流完全相同，所以左边完全对称，即最远距离相同。

通过变式练习，巩固所学方法，提高学生应用数学知识解决问题的能力。

思考题旨在开阔学生思维，共同本节课学有余力的同学课上思考；

四、课堂小结

本节课你的收获是什么？

1.解决有关二次函数的实际问题的一般步骤是什么？

2.①建系时需要考虑什么问题？

虽然建系的方法不唯一，求得的解析式也不同，但是建系的不同会影响实际问题的答案吗？答案是否定的，只是影响点的坐标而已；那么我们观察一下几种坐标系下的解析式，它们之间有什么联系吗？（其中的一个函数都可以看做由其它函数经过上或下或左或右的平移变换得到的）这也说明，如果从图象的平移角度来看，把同一个抛物线放在不同的坐标系下，可以看做是在平移坐标系。

②求解析式和坐标时需要注意什么就可以避免出现错误？

3.本节课运用了哪些数学思想？

4.解决实际问题的基本思路是什么？

最后：数学来源于生活，又应用于生活，它能够解决生活中的实际问题，这正是我们学习数学的价值！

归纳小结，梳理提升.

五、布置作业

基础：三级跳61页第2题.

提高：完成学案；书上86页B组第3题.

分层作业，各有所获.