浙教版（2024）九年级上册二次函数学案

这是一份浙教版（2024）九年级上册二次函数学案，共24页。学案主要包含了变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。

【题型 1 二次函数的识别】
【题型 2 根据二次函数的定义求参数】
【题型 3 二次函数的一般形式】
【题型 4 二次函数的各项系数】
【题型 5 二次函数图象上点的坐标特征】
【题型 6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】 【题型 7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】
1. 一般地，形如y = ax2 + bx + c （a,b,c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x 是 自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是 a,b，常数项是 c . 自变量的取值范围是 全体实数.
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次 数是 2；（3)二次项系数不为 0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实 际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化
为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成 用自变量表示的函数的形式.
【题型 1 二次函数的识别】
【例 1】（24-25 九年级上·上海青浦·阶段练习）
1 ．下列函数中，属于二次函数的是( )
A ．y = x - 3 B ．y = ax2 + bx + c C ．y = x (x -1) -1 D ．y = x2 - (x +1)2
【变式 1-1】（24-25 九年级上·广西南宁·期中）
2 ．在圆的面积公式S = τr2 中，s 与r 的关系是( )
A ．一次函数关系 B ．正比例函数关系
C ．反比例函数关系 D ．二次函数关系 【变式 1-2】【变式 1-2】（24-25 九年级上·安徽安庆·期中）
3 ．下列函数是二次函数的是( )
A．y ＝ax2+bx+c B．
C．y＝x（2x -1） D．y＝（x+4）2 -x2 【变式 1-3】（24-25 九年级上·上海浦东新·期中
4 ．观察：① y = 6x2 ；② y = -3x2 + 5 ；③ y = 200x2 + 400x + 200 ；④ y = x3 - 2x ；⑤ ⑥ y = (x +1)2 - x2 ．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【题型 2 根据二次函数的定义求参数】
【例 2】（24-25 九年级上·山东日照·阶段练习）
5 ．若函数y＝（m2＋m）xm 2 -2m-1 是二次函数，那么 m 的值是( )
A ．2 B ．-1或 3 C ．3 D ． 【变式 2-1】．（24-25 九年级上·浙江宁波·阶段练习）
6 ．当m = 时，y = (m -1)xm +1 是二次函数． 【变式 2-2】（24-25 九年级上·浙江杭州·期末）
7 ．若函数y = (m + 3)x2 - 2x +6 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围是( )
A ．m ≤ 3 B ．m ≠ -3 C ．m ≥ -3 D ．m ≠ 3
【变式 2-3】（24-25 九年级上·北京·期中）
8 ．已知关于 x 的函数 y=（ m﹣1）xm+（3m+2）x+1 是二次函数，则此解析式的一次项系数 是( )
A ．﹣1 B ．8 C ．﹣2 D ．1
【题型 3 二次函数的一般形式】
【例 3】（24-25 九年级上·吉林·阶段练习）
9 ．将二次函数y = x (x -1) + 3x 化为一般形式后，正确的是( )
A ．y = x2 - x + 3 B ．y = x2 - 2x + 3
C ．y = x2 - 2x D ．y = x2 + 2x 【变式 3-1】（24-25 九年级上·江苏徐州·阶段练习）
10 ．二次函数y = (x - 3)2 的一般式为 ． 【变式 3-2】（24-25 九年级·浙江绍兴·阶段练习）
11 ．把函数y = (2 - 3x)(6 - x) 化成y = ax2 + bx + c 的形式为 ． 【变式 3-3】（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）
12 ．二次函数y = -4(1+ 2x )(x - 3) 的一般形式y = ax2 + bx + c 是 ． 【题型 4 二次函数的各项系数】
【例 4】20-21 九年级上·广东汕尾·阶段练习）
13 ．把 y ＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【变式 4-1】（24-25 九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）
14 ．在二次函数y = 2x2 - 3x +1 中，二次项系数与一次项系数的和是 ． 【变式 4-2】（24-25 九年级·浙江绍兴·阶段练习）
15 ．设 a ，b ，c 分别是二次函数y = ﹣x2＋3 的二次项系数、一次项系数、常数 项，则( )
A ．a = ﹣ 1 ，b ＝3 ，c ＝0 B ．a = ﹣ 1 ，b ＝0 ，c ＝3
C ．a = ﹣ 1 ，b ＝3 ，c ＝3 D ．a ＝1 ，b ＝0 ，c ＝3
【变式 4-3】（24-25 九年级上·安徽安庆·阶段练习）
16 ．已知二次函数y = (x - 2)2 - 3x (x -1) ．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【题型 5 二次函数图象上点的坐标特征】 【例 5】（24-25 九年级上·四川泸州·期末）
17 ．某车的刹车距离y （m）与开始刹车时的速度 x （m/s）之间满足二次函数 ,若该车某次的刹车距离为4 m，则开始刹车时的速度为( )
A ．4m/s B ．5m/s C ．8m/s D ．10m/s 【变式 5-1】（2025·上海徐汇·一模）
18 ．下列各点中，在二次函数y = x2 - 8x - 9 图象上的点是( )
A ．(-1, -16) B ．(1, -16) C ．(-3, -8) D ．(3, 24)
【变式 5-2】（24-25 九年级上·湖北随州·期末）
19 ．关于x 的二次函数y = (a + 1)x2 + ax + a2 - 1的图象过原点，则a 的值为( ).
A ．1 B ．-1 C ． ±1 D ．0
【变式 5-3】（24-25 九年级上·安徽安庆·阶段练习）
20 ．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距 离 x（米）之间的关系大致满足二次函数 则小朱本次投掷实 心球的成绩为( )
A ．7m B ．7.5m C ．8m D ．8.5m
【题型 6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】 【例 6】（24-25 九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）
21．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30 元．经市 场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （个）与销售单价x （元/ 个）有如下 关系：y = -x + 60 （ 30 ≤ x ≤ 60 ，且x 为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w
元．则w 与x 之间的函数关系式为w = ．
【变式 6-1】（24-25 九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）
22 ．一部售价为 5000 元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率 都是 x，则两次降价后的价格 y（元）与每次降价的百分率 x 之间的函数关系式 是 ．
【变式 6-2】（24-25 九年级上·辽宁大连·期中）
23 ．已知有 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为 m， 则 m 关于 n 的函数解析式为 ．
【变式 6-3】（24-25 九年级上·浙江宁波·单元测试）
24 ．某果园有100 棵枇杷树．每棵平均产量为40 千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量， 但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验， 每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25 千克，若设增种x 棵 枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为y 千克，则y 与x 之间的函数关系式为 ．
【题型 7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】 【例 7】（24-25 九年级上·浙江温州·阶段练习）
25 ．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用 15 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y 平方米，为 方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下 一个 1 米宽的缺口作小门，若设AB = x 米，则y 关于 x 的函数关系式为( )
A ．y = x (18 - 4x) B ．y = x (18 - 2x)
C ．y = x (12 - 4x) D ．y = x12 - 2x 【变式 7-1】（24-25 九年级上·浙江杭州·阶段练习）
26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修 建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住 （如图）.若设绿化带的 BC 边长为 xm ，绿化带的面积为 ym².则 y 与 x 之间的函 数关系式是 ，自变量 x 的取值范围是 ；
【变式 7-2】（24-25 九年级上·广东东莞·阶段练习）
27 ．如图所示，在Rt △ABO 中，AB 丄 OB ，且AB = OB = 3 ，设直线x = t 截此三角形 所得的阴影部分的面积为S ，则 S 与t 之间的函数关系式为( )
A ．S = t B ． C ．S = t2 D ． 【变式 7-3】（24-25 八年级下·福建福州·期末）
28 ．如图，正方形ABCD 和 ΘO 的周长之和为a （a 为常数）cm ，设圆的半径为
xcm ，正方形的边长为ycm ，阴影部分的面积为Scm2 ．当x 在一定范围内变化时， y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与 x ，S 与x 满足的函数关系分别是( )
A ．二次函数关系，二次函数关系 B ．二次函数关系，一次函数关系
C ．一次函数关系，一次函数关系 D ．一次函数关系，二次函数关系
1 ．C
【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理 （去括号、合并同类项）后，能写成 y = ax2 + bx + c(a ，b ，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，那么 这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：A ．y = x - 3 是一次函数，故不符合题意；
B ．y = ax2 + bx + c 当a = 0，b ≠ 0 时是一次函数，故不符合题意；
C ．y = x (x -1) -1 = x2 - x -1 是二次函数，故符合题意；
D ．y = x2 - (x +1)2 = -2x -1 是一次函数，故不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义， 一般地，形如y = ax2 + bx + c(a ，b ，c 为常数，a ≠ 0) 的函数叫做二次函数．
2 ．D
【分析】本题考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理
解：一般地形如y = ax2 + bx + x （ a、b、c 是常数，a ≠ 0 ）的函数叫做二次函数．
【详解】解：圆的面积公式 S = τr2 中，s 与r 的关系是二次函数关系， 故选：D ．
3 ．C
【分析】形如：y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，则y 是x 的二次函数，根据定义逐一判断各选项即 可得到答案．
【详解】A. y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，不是二次函数，故该选项不符合题意；
,不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. y＝x（2x -1）= 2x2 - x ，是二次函数，故该选项符合题意；
D. y＝（x+4）2 -x2 = 8x +16 ，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选 C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
4 ．①②③
【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如
y = ax2 + bx + c （a 、b 、c 是常数，a ≠ 0 ）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案．
【详解】① y = 6x2 ，是二次函数；
② y = -3x2 + 5 ，是二次函数；
③ y = 200x2 + 400x + 200 ，是二次函数；
④ y = x3 - 2x ，不是二次函数；
中 不是整 式，:不是二次函数；
⑥ y = (x +1)2 - x2 = x2 + 2x +1 - x2 = 2x +1 ，不是二次函数． :①②③是二次函数．
故答案为：①②③.
5 ．C
【分析】根据二次函数的定义：y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：m2 - 2m - 1=2 ，解得：m = -1 或m=3 ；
又∵ m2 +m ≠ 0 ，解得：m ≠ -1且m ≠ 0 ， : m=3 ．
故选 C．
【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系 数不为零．
6 ．-1
【分析】本题考查二次函数的定义， 根据二次函数的定义可得
m +1 = 2 ，m -1 ≠ 0 ，再求解
即可．
【详解】解：由题意，得 m +1 = 2 ，m -1 ≠ 0 ， 解得m = -1，
即当m = -1 时，y = (m -1)xm +1 是二次函数， 故答案为：-1．
7 ．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵ y = (m + 3)x2 - 2x +6 是关于 x 的二次函数，
: m + 3 ≠ 0 ，
解得：m ≠ -3 ， 故选 B．
8 ．B
【分析】根据二次函数的一般形式为y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，其中二次项系数 a≠0，且二次 项指数为 2 求解即可.
【详解】∵ y = (m -1)xm + (3m + 2)x +1 是二次函数，: m -1≠ 0，m = 2 ，即 m = 2, m ≠ 1 ，:此 解析式的一次项系数是3m + 2 = 3 × 2 + 2 = 8 ，故本题正确答案为 B 选项.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式为y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)， 其中二次项系数 a≠0，且二次项指数为 2 是解决本题的关键.
9 ．D
【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】y = x (x -1) + 3x = x2 - x + 3x = x2 + 2x ，
故选：D．
10 ．y = x2 - 6x + 9
【分析】二次函数的一般形式为y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ，据此即可获得答案．
【详解】解：二次函数 y = (x - 3)2 的一般式为y = x2 - 6x + 9 ． 故答案为：y = x2 - 6x + 9 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式以及完全平方公式的应用，理解并掌握二次函 数的一般形式是解题关键．
11 ．y = 3x2 - 20x +12
【分析】把函数 y = (2 - 3x)(6 - x)右边相乘展开合并成y = ax2 + bx + c 形式即可.
【详解】y = (2 - 3x)(6 - x)=12 - 2x -18x+3x2 = 3x2 - 20x +12 ，则 y = 3x2 - 20x +12 .
【点睛】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的 关键.
12 ．y = -8x2 + 20x +12
【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式．
【详解】y = −4（1＋2x）（x−3）=−8x2＋20x＋12， 故答案为 y = −8x2＋20x＋12．
【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．
13 ．1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y ＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
:一次项系数为 7，常数项为-6
:一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
14 ．-1
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如y = ax2 + bx + c （a 、b 、c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫作二次函数．其中 x、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项；
由题意可得二次项系数是 2，常数项是 -3，再求和即可． 【详解】解：在二次函数 y = 2x2 - 3x +1 中，
二次项系数为 2 ， 一次项次数为-3 ，
:二次项系数与一次项系数的和是：2 +(-3) = -1， 故答案为：-1．
15 ．B
【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】解：二次函数y ＝ -x2+3 的二次项系数是 a ＝ -1，一次项系数是 b ＝0，常数项是 c =3；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和 常数项时，不要漏掉符号．
16 ．(1) y = -2x2 - x + 4
(2)二次项系数是-2 ，一次项系数是-1，常数项是 4．
【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握 以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案．
【详解】（1）解：Q y = (x - 2)2 - 3x (x -1) = x2 - 4x + 4 - 3x2 + 3x = -2x2 - x + 4
: 该二次函数的一般形式是y = -2x2 - x + 4 ；
（2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是 -2 ，一次项系数是-1，常数项是 4．
17 ．D
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去． 【详解】解：当刹车距离为 4 m 时，即可得y = 4 ，
代入二次函数解析式得： ，
解得x = ±10 ，（x = -10 舍），
故开始刹车时的速度为10 m/s， 故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确x 、y 代表的实际意义，刹车距离为4 m，即是y = 4 ， 难度一般．
18 ．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A ． y = 1+ 8 - 9 = 0 ≠ - 16 ，选项错误，不符合题意；
B ． y = 1- 8 - 9 = - 16 = - 16 ，选项正确，符合题意；
C ． y = 9 + 24 - 9 = 24 ≠ -8 ，选项错误，不符合题意；
D ． y = 9 - 24 - 9 = -24 ≠ 24 ，选项错误，不符合题意． 故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
19 ．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将 (0, 0) 代入二次函数解析式，得到关于 a 的方 程，解方程即可，注意二次项系数不能为 0．
【详解】解：:二次函数y = (a + 1)x2 + ax + a2 - 1 的图象过原点， : a2 - 1 = 0 ，a +1≠ 0 ，
: a = 1，
故选：A．
20 ．C
【分析】根据实心球落地时，高度 y=0，把实际问题可理解为当 y=0 时，求 x 的值即可．
解：在 中，令y=0 得：
解得 x=-2（舍去）或 x=8，
:小朱本次投掷实心球的成绩为 8 米， 故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意， 取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
21 ．-x2 + 90x -1800
【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答．
【详解】解：w = (x - 30)y = (x - 30)(-x + 60) = -x2 + 90x -1800 ， 故答案为：-x2 + 90x -1800 ．
22 ．y = 5000 (1- x)2
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， 根据两次降价后的价格等于原价乘以(1- 每 次降价的百分率) 2 ，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解： 依题意，每次降价的百分率都是 x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分 率 x 之间的函数关系式是y = 5000 (1- x)2 ．
故答案为：y = 5000 (1- x)2 ．
23 ．
【分析】根据 n 个球队都要与除自己之外的(n -1) 球队个打一场，因此要打n (n -1) 场，然 而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得 故答案为：
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
24 ．y = (100 + x)(40 - 0.25x)
【分析】投产后果园枇杷的总产量=每棵树的产量×树的棵树=（40-减少的产量）×（100+增 加的棵树），把相关数值代入即可求解．
【详解】∵每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量 0.25 千克， :每多种 x 棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量 0.25x 千克，
:每棵树的产量为（40-0.25x）千克， ∵原来有 100 棵树，现在增加了x 棵， :现在有（100+x）棵，
:y=（100+x）（40-0.25x）．
【点睛】解决本题的关键是找到所求枇杷的总产量的等量关系，难点是得到增加树木棵树后 平均每棵树的产量．
25 ．A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式， 由铁栅栏的全长及AB 的长，可得出 平行于墙的一边长为(18 - 4x ) 米，再利用长方形的面积公式，即可找出y 关于 x 的函数关系 式．
【详解】解：Q铁栅栏的全长为 15 米，AB = x 米， :平行于墙的一边长为15 + 3 - 4x = (18 - 4x ) 米．
根据题意得：y = x (18 - 4x ) ．
故选：A．
26 ．
【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x 、y 所表示的实际意 义来确定 x 的取值范围．
【详解】由题意得：
自变量 x 的取值范围是 0＜x≤25．
故答案是
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数模型是解题的关键.
27 ．B
【分析】Rt △ABO 中，AB 丄 OB ，且 AB = OB = 3 ，可得 上AOB = 上A = 45° ；再由平行线的性 质得出上OCD = 上A = 45° , 即上COD = 上OCD = 45° , 进而证明CD = OD = t ，最后根据三角 形的面积公式，求出S 与t 之间的函数关系式．
【详解】解：如图所示，
∵ Rt △ABO 中，AB 丄 OB ，且 AB = OB = 3 ， : 上AOB = 上A = 45° ,
∵ CD 丄 OB ， : CD Ⅱ AB ，
: 上OCD = 上A = 45° ,
: 上COD = 上OCD = 45° , : CD = OD = t ，
即： 故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法， 考查了等腰直角三角形的性质，平行线 的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中 的有关面积的等量关系．
28 ．D
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到 再根据
S阴影 = S正方形 - S圆 得到 由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形ABCD 和ΘO 的周长之和为acm ，圆的半径为xcm，正方形的边长为 ycm ，
: 4y + 2π x = a ，
∵S阴影 = S正方形 - S圆 ，
:y 与 x ，S 与 x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式， 理清题中的数量 关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．