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初中数学浙教版（2024）九年级上册1.4 二次函数的应用精品ppt课件
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这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册1.4 二次函数的应用精品ppt课件，文件包含浙教版数学九142《二次函数的应用2》课件pptx、浙教版数学九142《二次函数的应用2》教学设计doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共33页， 欢迎下载使用。
二次函数的应用是检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润问题易于理解和接受，此部分内容既是学习二次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
1.能把实际问题归结为数学知识来解决，并能运用二次函数的知识解决实际问题.2.经历在具体情境中抽象出数学知识的过程，体验解决问题方法的多样性，体会建模思想，渗透转化思想、数形结合思想，提高数学知识的应用意识.3.在运用数学知识解决问题的过程中，体会数学的价值、感受数学的简捷美，并勇于表达自己的看法.
教学重点:1.能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；2.掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点:培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力。
想一想：用二次函数解决几何面积最值问题的方法是什么？
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
审：仔细审题，理清题意.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
想一想：用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？
【例2】如图，B船位于A船正东26km处. 现在A，B两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
分析：设经过t（h）后，A，B两船分别到达A'，B'处，则两船之间的距离为
由此，本题可化归为求169t2-260t+676的最小值.
解：设经过t（h）后，A，B两船分别到达A'，B'处，则
几何动点问题：利用二次函数解决有关几何动点问题是常用的方法.解题关键是利用勾股定理、面积公式及几何知识建立函数表达式，求函数的最大(小)值.
【例3】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
分析：如果我们能够建立起日均毛利润与销售价之间的函数关系，那么就可以根据函数的性质来确定何时日均毛利润达到最大，这个最大值是多少.如果设这种饮料的售价为每瓶x元，日均毛利润为y元，根据题意就有日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1360-80x.∴y=(x-9)(1360-80x).这样问题就化归为求一个二次函数何时达到最大值，最大值是多少的问题.
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出.
求解最大利润问题的一般步骤：
利用二次函数求最大利润问题时注意：(1)分类讨论(涨价与降价)；(2)分清涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析.
【知识技能类作业】 必做题：1.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车. 已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足:y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( )A.30万元 B.38万元 C.46万元 D.48万元
2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，可列函数为:y=(30+x-20)(400-20x).对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( ).A.(30+x-20)表示涨价后商品的单价B.20x表示涨价后少售出商品的数量C.(400-20x)表示涨价后商品的数量D.(30+x)表示涨价后商品的单价
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元?
解：(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则y=(40-x)(20+2x)=800+80x-20x-2x2=-2x2+60x+800，当y=1200时，1200=(40-x)(20+2x)，解得x1=10，x2=20，经检验，x1=10，x2=20都是原方程的解，但要尽快减少库存，∴x=20.答:每件衬衫应降价20元;
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?
解：∵ y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250,∴当x=15时，y的最大值为1250，答:当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.
【知识技能类作业】 选做题：4.农特产品展销推荐会在某县举行.某农户销售一种商品，每千克成本价为40元，已知每千克售价不低于成本价，不超过80元，经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )元 B.60 C.70 D.80
5.某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个. 现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元(x>44)，商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是( )+740 B.y=10x-140C.w=(-10x+700)(x-40) D.w=(-10x+740)(x-40)
6.一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶，已知头盔的进价为每顶50元。设每顶头盔售价x元，每月的销售量为v顶，每月获利w元，(1)求y与x之间的函数表达式;
解:由题意得:y=200+10(80-x)=-10x+1000(50≤x≤80);
6.一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶，已知头盔的进价为每顶50元。设每顶头盔售价x元，每月的销售量为v顶，每月获利w元，(2)求w与x之间的函数表达式，并求出每顶头盔售价多少元时，每月的销售利润最大?最大利润是多少元?
解：由题意得：w=(x-50) × y=(x-50)(-10x+1000) =-10(x-75)2+6250∵-10<0.∴当x=75时，W最大=6250，答:每顶头盔售价75元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元。
本节课你学到了哪些知识？
【知识技能类作业】必做题
1.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动. P，O两点同时出发，设点P运动的时间为t(单位：秒)，△APO的面积为y. 则y关于的函数表达式为___________________。
y=-t2+5(0
选做题：3.某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-x+60(25≤x≤35)。(1)销售单价定为多少元时，每天可获利336元?
解:由题意，得(-x+60)(x-20)=336.整理方程，得x2-80x+1536=0. 解得x1=32，x2=48.∵25≤x≤35，∴x2=48，不合题意，舍去.答:销售单价定为32元时，每天可获利336元。
3.某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-x+60(25≤x≤35)。(2)写出每天获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售的最大利润.
(2)解:w=(-x+60)(x-20)=-x2+80x-1200,即w=-(x-40)2+400.∵a=-1<0，∴抛物线的开口向下.∴当x<40时，w的值随着x值的增大而增大.∵25≤x≤35,∴当x=35时，W最大=375.答:日销售最大利润为375元。
二次函数的应用是检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润问题易于理解和接受，此部分内容既是学习二次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
1.能把实际问题归结为数学知识来解决，并能运用二次函数的知识解决实际问题.2.经历在具体情境中抽象出数学知识的过程，体验解决问题方法的多样性，体会建模思想，渗透转化思想、数形结合思想，提高数学知识的应用意识.3.在运用数学知识解决问题的过程中，体会数学的价值、感受数学的简捷美，并勇于表达自己的看法.
教学重点:1.能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；2.掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点:培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力。
想一想：用二次函数解决几何面积最值问题的方法是什么？
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
审：仔细审题，理清题意.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
想一想：用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？
【例2】如图，B船位于A船正东26km处. 现在A，B两船同时出发，A船以12km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
分析：设经过t（h）后，A，B两船分别到达A'，B'处，则两船之间的距离为
由此，本题可化归为求169t2-260t+676的最小值.
解：设经过t（h）后，A，B两船分别到达A'，B'处，则
几何动点问题：利用二次函数解决有关几何动点问题是常用的方法.解题关键是利用勾股定理、面积公式及几何知识建立函数表达式，求函数的最大(小)值.
【例3】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
分析：如果我们能够建立起日均毛利润与销售价之间的函数关系，那么就可以根据函数的性质来确定何时日均毛利润达到最大，这个最大值是多少.如果设这种饮料的售价为每瓶x元，日均毛利润为y元，根据题意就有日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1360-80x.∴y=(x-9)(1360-80x).这样问题就化归为求一个二次函数何时达到最大值，最大值是多少的问题.
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出.
求解最大利润问题的一般步骤：
利用二次函数求最大利润问题时注意：(1)分类讨论(涨价与降价)；(2)分清涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析.
【知识技能类作业】 必做题：1.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车. 已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足:y1=-x2+10x，y2=2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( )A.30万元 B.38万元 C.46万元 D.48万元
2.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，可列函数为:y=(30+x-20)(400-20x).对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( ).A.(30+x-20)表示涨价后商品的单价B.20x表示涨价后少售出商品的数量C.(400-20x)表示涨价后商品的数量D.(30+x)表示涨价后商品的单价
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元?
解：(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则y=(40-x)(20+2x)=800+80x-20x-2x2=-2x2+60x+800，当y=1200时，1200=(40-x)(20+2x)，解得x1=10，x2=20，经检验，x1=10，x2=20都是原方程的解，但要尽快减少库存，∴x=20.答:每件衬衫应降价20元;
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?
解：∵ y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250,∴当x=15时，y的最大值为1250，答:当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.
【知识技能类作业】 选做题：4.农特产品展销推荐会在某县举行.某农户销售一种商品，每千克成本价为40元，已知每千克售价不低于成本价，不超过80元，经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )元 B.60 C.70 D.80
5.某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个. 现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元(x>44)，商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是( )+740 B.y=10x-140C.w=(-10x+700)(x-40) D.w=(-10x+740)(x-40)
6.一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶，已知头盔的进价为每顶50元。设每顶头盔售价x元，每月的销售量为v顶，每月获利w元，(1)求y与x之间的函数表达式;
解:由题意得:y=200+10(80-x)=-10x+1000(50≤x≤80);
6.一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶。在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶，已知头盔的进价为每顶50元。设每顶头盔售价x元，每月的销售量为v顶，每月获利w元，(2)求w与x之间的函数表达式，并求出每顶头盔售价多少元时，每月的销售利润最大?最大利润是多少元?
解：由题意得：w=(x-50) × y=(x-50)(-10x+1000) =-10(x-75)2+6250∵-10<0.∴当x=75时，W最大=6250，答:每顶头盔售价75元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元。
本节课你学到了哪些知识？
【知识技能类作业】必做题
1.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动. P，O两点同时出发，设点P运动的时间为t(单位：秒)，△APO的面积为y. 则y关于的函数表达式为___________________。
y=-t2+5(0
选做题：3.某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-x+60(25≤x≤35)。(1)销售单价定为多少元时，每天可获利336元?
解:由题意，得(-x+60)(x-20)=336.整理方程，得x2-80x+1536=0. 解得x1=32，x2=48.∵25≤x≤35，∴x2=48，不合题意，舍去.答:销售单价定为32元时，每天可获利336元。
3.某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-x+60(25≤x≤35)。(2)写出每天获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售的最大利润.
(2)解:w=(-x+60)(x-20)=-x2+80x-1200,即w=-(x-40)2+400.∵a=-1<0，∴抛物线的开口向下.∴当x<40时，w的值随着x值的增大而增大.∵25≤x≤35,∴当x=35时，W最大=375.答:日销售最大利润为375元。
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