数学九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习题

这是一份数学九年级上册1.4 二次函数的应用同步练习题，文件包含浙教版数学九年级上册考点提升训练第02讲二次函数的应用6大考点原卷版doc、浙教版数学九年级上册考点提升训练第02讲二次函数的应用6大考点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
二．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
三．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
四．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
五．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
六．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
考点精讲
一．抛物线与x轴的交点（共6小题）
1．（2022•滨江区二模）已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜2，记t＝a+b，则（ ）
A．B．﹣2＜t＜0C．D．﹣1＜t＜0
【分析】由二次函数解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）；然后由二次函数解析式与一元二次方程的关系以及根的判别式得到a2﹣4b＞0；结合根与系数的关系知：x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b；最后根据限制性条件1＜x1＜x2＜2列出相应的不等式并解答．
【解答】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次项系数＝1＞0，
∴抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），在x轴的正半轴上，与y轴交点在y轴的正半轴上，即b＞0，
∴Δ＝a2﹣4b＞0，
∵x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b，1＜x1＜x2＜2，
∴2＜﹣a＜4，1＜b＜4，
∴﹣4＜a＜﹣2，
∴x＝0时，y＝b＞0，
∴x＝1时，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，
∴t＞﹣1，
当x＝2时，y＝4+2a+b＝4+a+a+b＝4+a+t＞0，
∴2a+b＞﹣4，
∵1＜b＜4，﹣4＜a＜﹣2，
∴a+b＜0，即t＜0．
综上所述，t的取值范围是﹣1＜t＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的根本依据．
2．（2022•龙湾区模拟）若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝5，﹣3（x+3）（x﹣2）＝5，﹣4（x+3）（x﹣2）＝5的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x3＜x2＜x1C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2
【分析】作出草图，根据函数图象与性质，确定结果便可．
【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，
∴二次函数y1＝﹣2（x+3）（x﹣2），y2＝﹣3（x+3）（x﹣2），y3＝﹣4（x+3）（x﹣2），开口大小为：y1＞y2＞y3．
∴其函数图象大致为：
∴x1＜x2＜x3．
故选：A．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．
3．（2022春•北仑区期末）二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣3B．b＝﹣2C．b＝﹣1D．b＝2
【分析】由判别式Δ＞0可得b的值，进而求解．
【解答】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，
∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．（2022•衢江区二模）已知抛物线y＝x2+ax+b对称轴是直线x＝1，与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】函数与x轴两个交点坐标为：（0，0）、（2，0），则函数的表达式为：y＝（x﹣0）（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新抛物线表达式为：y′＝（x+1）2﹣4，进而求得与x轴的交点，即可求得新抛物线与x轴两个交点间的距离．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+b对称轴是直线x＝1，与x轴两个交点间的距离为2，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为：（0，0）、（2，0），
∴函数的表达式为：y＝（x﹣0）（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，
抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新抛物线表达式为：y′＝（x+1）2﹣4，
令y′＝0，则（x+1）2﹣4＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴新抛物线与x轴两个交点间的距离为：1﹣（﹣3）＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，熟知函数与坐标轴的交点代表的意义是解题的关键．
5．（2022•西湖区校级模拟）已知a，b，c是互不相等的非零实数，有三条抛物线：y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b．则这三条抛物线与x轴的交点个数情况是（ ）
A．三条抛物线中至少有一条与x轴有两个交点
B．三条抛物线中至多有一条与x轴有两个交点
C．三条抛物线与x轴都只有一个交点
D．三条抛物线与x轴都没有交点
【分析】对于“至少”型的问题，可利用反证法，导出矛盾即可．
【解答】证明：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，
则有 ，
∵三式相加，整理、化简得：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc≤0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∴a＝b＝c与a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，突出考查反证法的应用，利用反证法时得到a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc≤0是关键，也是难点，考查转化思想与推理证明的能力，属于中档题．
6．（2022•黄岩区一模）关于x的二次函数y＝﹣x2+2x﹣m（m≠0）与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式不成立的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．＞1
C．0＜＜1D．x1﹣x3＝x4﹣x2
【分析】由x2﹣2x+m﹣1＝0可得﹣x2+2x﹣m+1＝0，则y＝﹣x2+2x﹣m+1图象是由y＝﹣x2+2x﹣m向上平移1个单位所得，作出图象，通过抛物线与x轴的交点位置求解．
【解答】解：由x2﹣2x+m﹣1＝0可得﹣x2+2x﹣m+1＝0，
∴x3，x4为抛物线y＝﹣x2+2x﹣m+1与x轴的交点横坐标，
∵y＝﹣x2+2x﹣m+1图象是由y＝﹣x2+2x﹣m向上平移1个单位所得，
如图，
∴x3＜x1＜x2＜x4，选项A正确，
由抛物线的对称性可得x4﹣x2＝x1﹣x3，选项D正确，
∵y＝﹣x2+2x﹣m，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴0＜x2＜x4，
∴0＜＜1，选项C正确．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共4小题）
7．（2021秋•吴兴区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
（多选）8．（2021秋•瑞安市期末）下表是若干组二次函数y＝x2﹣5x+c的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是（ ）
A．1.4B．1.5C．3.5D．3.6
【分析】观察表格可得﹣0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由y＝x2﹣5x+c的对称轴为x＝得到方程x2﹣5x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.5．
【解答】解：观察表格得：方程x2﹣5x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是1.5，
∵y＝x2﹣5x+c的对称轴为x＝，
∴方程x2﹣5x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.5，
故选：BC．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
9．（2021秋•临海市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 ①②④ （填序号）．
【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c＝3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，
∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
10．（2022•余杭区开学）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ﹣1≤t＜8 ．
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x＝﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答．
【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．
三．二次函数与不等式（组）（共7小题）
11．（2022•萧山区一模）已知二次函数y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）和y2＝（x﹣a）（x﹣b）（ab≠0）（ ）
A．若﹣1＜x＜1，a＞＞0，则y1＞y2
B．若x＜1，a＞＞0，则y1＞y2
C．若﹣1＜x＜1，＜a＜0，则y1＜y2
D．若x＜﹣1，＜a＜0，则y1＜y2
【分析】由于y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），则y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．对于A选项，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由a＞＞0，可得ab＞1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判断A选项；对于B选项，由x＜1，可知（x+1）（x﹣1）不确定正负，则y1与y2的大小无法确定，即可判断B选项；对于C选项，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，即可判断C选项；对于D选项，由x＜﹣1，可得（x+1）（x﹣1）＞0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判断D选项．
【解答】解：y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，
y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），
∴y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．
对于A选项，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵a＞＞0，
∴ab＞1，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故A选项错误；
对于B选项，
∵x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）不确定正负，
∴y1与y2的大小无法确定，
故B选项错误；
对于C选项，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，
即y1＞y2，
故C选项错误；
对于D选项，
∵x＜﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＞0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
12．（2022春•临平区月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）
（1）不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；
（2）9a2﹣b2＜0；
（3）一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为x1＝＝﹣1；
（4）6⩽3n﹣2⩽10．
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（3）（4）
【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴b＝﹣2a，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），
∴不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，
故①正确；
∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，
故②不正确；
∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，
即3x2+x﹣1＝0，
∴方程的根为x1＝，x2＝﹣1，
故③正确；
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，
∴2≤c≤3，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝﹣4a，
∵c＝﹣3a，
∴n＝c，
∴≤n≤4，
∴6≤3n﹣2≤10；
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
13．（2022•鄞州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝0；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3．正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0
∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故错误；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
14．（2022•宁波模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
【分析】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，可判断为错；
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确；
B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确；
C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜﹣＜﹣1，所以，y1＞c，所以C错误；
D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数关系以及结合不等式运算是解决问题的关键．
15．（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），
将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，
∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
16．（2022•江北区一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点A坐标为（1，﹣1），与直线相交于O、B两点，点O是原点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求点B的坐标．
（3）直接写出不等式的解．
【分析】（1）设抛物线为顶点式，将原点坐标代入解析式求解．
（2）联立抛物线方程与直线方程求解．
（3）由图象中O，B交点的横坐标求解．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将（0，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得0＝a﹣1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
（2）令x2﹣2x＝x，
解得x1＝0，x2＝，
将x＝代入y＝x＝，
∴点B坐标为（，）．
（3）由图象可得0＜x＜时，抛物线在直线下方，
∴不等式的解为0＜x＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
17．（2022春•杭州月考）已知，抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）求证：抛物线图象与x轴始终有交点；
（2）无论m取任何实数，抛物线的图象始终经过同一点M，则定点M的坐标为 （1，0） ．
（3）若m满足，抛物线经过点（x0，﹣4），且对于任意实数x，不等式x2+（2m﹣1）x﹣2m≥﹣4都成立，当k﹣2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k+1，求k的值．
【分析】（1）根据Δ≥0，可得结论；
（2）把函数解析式化为y＝2m（x﹣1）+x（x﹣1）形式，即可判断；
（3）根据函数最小值为﹣4，可以求得m＝，然后分当k≤﹣1，k﹣2＜﹣1＜k，k﹣2≥﹣1三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
Δ＝（2m﹣1）2﹣4（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2，
∵（2m+1）2≥0，
∴△≥0，抛物线与x轴必有交点；
（2）y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝2m（x﹣1）+x（x﹣1），
令x﹣1＝0，即x＝1，则y＝0，
∴抛物线必过定点M（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）依题意可知y最小值＝﹣4，即4，
解得：m＝或m＝，
∵m，
∴m＝，此时抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
①当k≤﹣1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，y随x增大而减小．此时y最小值＝k2+2k﹣3，
∴k2+2k﹣3＝2k+1，
解得：k1＝2＞﹣1（舍去），k2＝﹣2；
②当k﹣2＜﹣1＜k，即﹣1＜k＜1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，y最小值＝﹣4，
∴2k+1＝﹣4，
∴解得：k＝1 （舍去）；
③当k﹣2≥﹣1，即k≥1时，抛物线在k﹣2≤x≤k上，y随x增大而增大，
此时y最小值＝（k﹣2）2+2 （k﹣2）﹣3，
∴（k﹣2）2+2 （k﹣2）﹣3＝2k+1，
解得：k1＝2+2，k2＝2﹣21（舍去）；
综上所述，k＝﹣2或k＝2+2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）的关系、判别式的应用、二次函数的性质、不等式的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用二次函数的性质和分类讨论．
四．根据实际问题列二次函数关系式（共6小题）
18．（2020秋•远安县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）2
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
19．（2021•衢江区开学）把一根长为2m的铅丝折成一个矩形，当矩形的一边长为xm时，它的面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2x2﹣2xB．y＝﹣2x2+2xC．y＝x2﹣xD．y＝﹣x2+x
【分析】根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为（1﹣x）m，再根据矩形的面积计算方法进行列式计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
矩形的另一边长为：（2﹣2x）＝1﹣x，
则y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意列出函数关系式是解决本题的关键．
20．（2021秋•平阳县期中）小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝500（x+1）2B．y＝x2+500
C．y＝x2+500xD．y＝x2+5x
【分析】根据两年后的本息和＝本金×（1+一年定期储蓄的年利率）×（1+一年定期储蓄的年利率），可得两年后的本息和y与年利率x的表达式是：y＝500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，据此解答即可．
【解答】解：∵人民币一年定期储蓄的年利率是x，
∴两年后的本息和y与年利率x的表达式是：y＝500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，
故选：A．
【点评】此题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
21．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【解答】解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x
＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．
22．（2018秋•海宁市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
【分析】根据题意表示出BP，BQ的长进而得出△PBQ的面积S随出发时间t（s）的函数关系式．
【解答】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：S＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出BP，BQ的长是解题关键．
23．（2018秋•金华月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB于点E，点F在AC上，DC＝DF，若BC＝3，EB＝4，CD＝x，CF＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】CD和CF在△CDF中，EB在△BDE中，可判断应证明△BDE∽△FCD，根据题中所给条件利用等边对等角，以及平行线的性质也能证得△BDE∽△FCD．然后得到相应各边的比例关系即可．x在BC上，应大于0，小于BC长．
【解答】解：∵AB＝AC，DC＝DF
∴∠B＝∠C＝∠DFC
又∵DE∥AC
∴∠BDE＝∠C
∴△BDE∽△FCD
∴
∴
∴
自变量x的取值范围0＜x＜3．
【点评】解决本题的关键是利用相似得到相应的线段的比例关系．
五．二次函数的应用（共5小题）
24．（2022春•余杭区期末）一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利（m﹣8）（900﹣15m）．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（ ）
A．﹣15（m﹣34）2+10140B．（m﹣8）（900﹣15m）
C．﹣15m2+1020m﹣7200D．﹣15（m﹣60）（m﹣8）
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：根据题意，设一个月可以获利为y元，则y＝（m﹣8）（900﹣15m），
＝﹣15（m﹣34）2+10140，
根据顶点式直接看出最大获利润和此时销售价格，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k是解决本题的关键．
25．（2022•平阳县一模）二次函数y＝ax2﹣4ax+c的自变量x与函数值y的部分对应值如表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当x＝0时y的值是负数，已知当0≤x≤3时，y的最大值为﹣9，则c的值为（ ）
A．﹣17B．﹣9C．﹣D．﹣5
【分析】观察表中数据可得到抛物线过（﹣2，7）点，从而得到抛物线开口向上，然后比较x＝3和x＝0离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到c＝﹣9．
【解答】解：由题知二次函数y＝ax2﹣4ax+c，
当x＝0时，y值为负数，
即 c＜0．
又由图表可知，
y＝ax2﹣4ax+c过（﹣2，7）点，
即：4a+8a+c＝7，
12a＝7﹣c，
∵c＜0，
∴7﹣c＞0，
∴12a＞0．
即：a＞0．
∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c开口方向向上．
其对称轴为x＝＝2，
又∵当0≤x≤3时，y有最大值﹣9，
∵x＝3相比于x＝0离对称轴更近，
∴应该在x＝0处取得大值﹣9．
∴y＝ax2﹣4ax+c过（0，﹣9）点．
即 c＝﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
26．（2022•长兴县开学）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
【分析】设另一边为y，矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【解答】解：设另一边为y，
由题意得，2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，
∴函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
27．（2022春•拱墅区期末）一名高尔夫球手某次击出的球的高度h（m）和经过的水平距离d（m）满足下面的关系式：h＝d﹣0.01d2．
（1）当球经过的水平距离为50m时，球的高度是多少？
（2）当球第一次落到地面时，经过的水平距离是多少？
（3）设当球经过的水平距离分别为20m和80m时，球的高度分别为h1和h2，比较h1和h2的大小．
【分析】（1）当d＝50时，h＝50﹣0.01×502＝25，即得当球经过的水平距离为50m时，球的高度是25m；
（2）在h＝d﹣0.01d2中，令h＝0得d＝0或d＝100，可知当球第一次落到地面时，经过的水平距离是100m；
（3）算出h1＝20﹣0.01×202＝16，h2＝80﹣0.01×802＝16，即可得答案．
【解答】解：（1）当d＝50时，
h＝50﹣0.01×502＝25，
答：当球经过的水平距离为50m时，球的高度是25m；
（2）在h＝d﹣0.01d2中，令h＝0得：
d﹣0.01d2＝0，
解得d＝0或d＝100，
∴当球第一次落到地面时，经过的水平距离是100m；
（3）当d＝20时，h1＝20﹣0.01×202＝16，
当d＝80时，h2＝80﹣0.01×802＝16，
∴h1＝h2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能根据已知求出相应的h和d的值．
28．（2022春•余姚市期末）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝x0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．
（1）球抛出后经多少秒回到起点？
（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？
（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．
【分析】（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，可解得球抛出后经2秒回到起点；
（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，可解得0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；
（3）若h＝6，则10t﹣5t2＝6，可得Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，原方程无实数解，即可知球离起点的高度不能达到6m．
【解答】解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，
∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，
（1）当h＝0时，
10t﹣5t2＝0，
解得t＝0或t＝2，
∴球抛出后经2秒回到起点；
（2）当h＝1.8时，
10t﹣5t2＝1.8，
解得t＝0.2或t＝1.8，
∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；
（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：
若h＝6，则10t﹣5t2＝6，
整理得5t2﹣10t+6＝0，
Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，
∴原方程无实数解，
∴球离起点的高度不能达到6m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握解一元二次方程的方法．
六．二次函数综合题（共6小题）
29．（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴﹣＞2，
∴﹣＞2，
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞0，③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
30．（2022•西湖区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象过点（﹣1，0）．
（1）若它的图象的对称轴为直线x＝1，求9a+3b+c的值；
（2）若点（3，0），（m，p），（4，q）是图象上的三个点，且p＜q，求m的取值范围；
（3）若对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6，求a的值．
【分析】（1）由抛物线对称性可得抛物线经过（3，0），从而可得9a+3b+c的值．
（2）由抛物线经过（﹣1，0），（3，0）可得抛物线对称轴为直线x＝1，从而可得（4，q）关于对称轴的对称点坐标，进而求解．
（3）将不等式组转化为图象问题，由直线y＝4x﹣12及抛物线y＝2x2﹣8x+6相切可得抛物线y＝ax2+bx+c经过（3，0）且和直线y＝4x﹣12相切时符合题意．
【解答】解：（1）∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＝0．
（2）∵抛物线经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点（4，q）关于对称轴的对称点坐标为（﹣2，q），
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵p＜q，
∴﹣2＜m＜4．
（3）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，整理得2x2﹣12x+18＝0，
解得x1＝x2＝3，
将x＝3代入y＝4x﹣12得y＝0，
∴直线y＝4x﹣12与抛物线y＝2x2﹣8x+12经过点（3，0），如图，
∵抛物线开口向上，经过（﹣1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c经过（3，0）时满足题意，即y＝a（x﹣3）（x+1）＝ax2﹣2ax﹣3a，
令4x﹣12＝ax2﹣2ax﹣3a，整理得ax2﹣（2a+4）x﹣3a+12＝0，
当Δ＝0时，（2a+4）2﹣4a（﹣3a+12）＝0，
解得a＝1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
31．（2022•舟山模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣3+4m的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的表达式，并在图中画出函数图象；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＞y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线y＝kx﹣4（k≠0）有交点，求k的取值范围．
【分析】（1）将原抛物线的解析式配方化为顶点式，根据对称轴x＝1列式可得m的值；
（2）把点E的横坐标代入y＝﹣x2+2x求得E的坐标，根据对称轴得到其对称点，再由图形写出n的取值范围；
（3）先确定M的对称点的取值，及原抛物线关于y轴对称的抛物线，即可以看作是沿y轴翻折所得，计算两个边界点时直线y＝kx﹣4的k值，写出结论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣3+4m的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：m＝1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x，函数图象如图1所示；
（2）如图1，当x＝3时，y＝﹣x2+2x＝﹣32+2×3＝﹣3，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
则E（3，y2）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，﹣3），
由图象可知，﹣1＜n＜3时，y1＞y2；
（3）由题意可得M′（﹣p，q），翻折后的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x，
∴结合﹣1＜p＜2，确定动点M及M′，
当x＝﹣1时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝0，
因为动点M与M’关于y轴对称，所以图象确定如下，如图2，
当过（1，﹣3）时，代入 y＝kx﹣4，k＝1，
当过（﹣2，0）时，代入 y＝kx﹣4，k＝﹣2，
综上所述：k＞1或k＜﹣2．
【点评】本题考查了利用条件确定二次函数的解析式、一次函数图象与系数k的关系、关于坐标轴对称的点的特点，运用了数形结合的思想，第三问的关键是理解“点M关于y轴的对称点形成的图象”，正确画出符合条件的图象，此题有难度，尤其是第三问．
32．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．
（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；
（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．
【分析】（1）由m＝1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）①将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；
②分类讨论，数形结合解题，由图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，则只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，矩形与图象G只有一个交点A；当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；当0＜m＜时，2m＞m，图象G与矩形ABCD有三个交点；当y＝3时，x2﹣2mx+4m＝3，Δ＝0时解得m＝1或m＝3，此时图象G与BC边有一个交点，当＜m≤1时，图象G与矩形有三个交点；当1＜m＜3时，图象G与矩形有两个交点；当m＝3时，图象G与矩形有三个交点；当m＞3时，图象G与矩形有四个交点．
【解答】解：（1）m＝1时，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴顶点为（1，5），
∵x≤2，
∴图象G的最低点坐标为（1，5）；
（2）①当x＝2m时，y＝6m，
∴A（2m，6m），
∵C（﹣2，2），
∵正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，
∴B（﹣2，6m），
同理得D（2m，2），
∵AD＝CD，
∴|6m﹣2|＝|2m+2|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴点A的坐标为（0，0）或（2，6）；
②∵点A在图象G上，
∴图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，
∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；
∵点A的横坐标为2m，
∴A（2m，6m），
当x＝﹣2时，y＝4+10m，
当4+10m＝6m时，m＝﹣1，
如图1，当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
∴矩形与图象G只有一个交点A；
当m＝﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，
当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；
当4m＝3时，m＝，
如图3，当0＜m＜时，2m＞m，
∴图象G与矩形ABCD有三个交点；
当y＝3时，x2﹣2mx+4m＝3，
整理得，x2﹣2mx+4m﹣3＝0，
∴Δ＝4m2﹣16m+12＝0，
∴m＝1或m＝3，此时图象G与BC边有一个交点，
如图4，当＜m≤1时，图象G与矩形有三个交点；
如图5，当1＜m＜3时，图象G与矩形有两个交点；
当m＝3时，图象G与矩形有三个交点；
当m＞3时，图象G与矩形有四个交点；
综上所述：﹣1＜m≤0或1＜m＜3时，图象G与矩形ABCD有两个交点．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过数形结合求解．
33．（2022•金东区三模）在一元二次方程中，根的判别式Δ＝b2﹣4ac通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数y＝x2﹣6x+6，当x为何值时，y取最小值，最小值是多少？
解答：已知函数y＝x2﹣6x+6，
∴x2﹣6x+（6﹣y）＝0（把y当作参数，将函数转化为关于x的一元二次方程）
∵b2﹣4ac≥0，即36﹣4（6﹣y）≥0，y≥﹣3，（当y为何值时，存在相应的x与之对应，即方程有根）
因此y的最小值为一3，此时x2﹣6x+6＝﹣3，解得x1＝x2＝3，符合题意，所以当x＝3时，ymin＝﹣3．
（1）已知函数y＝﹣4x2+6x﹣3，y的最大值是多少？
（2）已知函数y＝，y最小值是多少？
（3）如图，已知Rt△ABC、Rt△AED，D是线段BC上一点，∠B＝∠EAD＝90°，AB＝BC，DC＝AE＝1，当BD为何值时，取最小值，最小值是多少？
【分析】（1）由y＝﹣4x2+6x﹣3，得4x2﹣6x+3+y＝0，根据Δ≥0，可得y≤﹣，即可得答案；
（2）由y＝，得（y﹣1）x2+（2﹣4y）x+4y﹣3＝0，根据Δ≥0，即得y≥，故y最小值是；
（3）设BD＝x，＝y，由亘古定理可得DE＝＝，即得y＝，（y2﹣2）x2+（2y2﹣2）x+y2﹣2＝0，根据（2y2﹣2）2﹣4（y2﹣2）2≥0，可得y≥，y最小值为，从而（﹣2）x2+（2×﹣2）x+﹣2＝0，解得BD＝1．
【解答】解：（1）∵y＝﹣4x2+6x﹣3，
∴4x2﹣6x+3+y＝0，
∵Δ≥0，即（﹣6）2﹣4×4（3+y）≥0，
∴36﹣48﹣16y≥0，
解得：y≤﹣，
∴y的最大值是﹣；
（2）∵y＝，
∴（x2﹣4x+4）y＝x2﹣2x+3，
∴（y﹣1）x2+（2﹣4y）x+4y﹣3＝0，
∵Δ≥0，
∴（2﹣4y）2﹣4（y﹣1）（4y﹣3）≥0，
解得y≥，
∴y最小值是；
（3）设BD＝x，＝y，
∴BC＝AB＝x+1，
∵∠B＝90°，
∴AD2＝AB2+BD2＝（x+1）2+x2，
∵∠EAD＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴y＝，
∴（x+1）y＝，
变形整理得：（y2﹣2）x2+（2y2﹣2）x+y2﹣2＝0，
∵（2y2﹣2）2﹣4（y2﹣2）2≥0，
∴y2≥，
∵y＞0，
∴y≥，
∴y最小值为，
此时y2＝，
∴（﹣2）x2+（2×﹣2）x+﹣2＝0，
解得x＝1，
∴BD＝1，
答：当BD为1时，取最小值，最小值是．
【点评】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握用判别式求最大（小）值．
34．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．
已知OE＝m，OF＝t
①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？
②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R（﹣m，2t），点Q（2t，﹣m），代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（4，0），点C（0，4）．且四边形OABC是正方形，
∴QA＝QC＝BC＝4，
∵CG：GB＝3：1．
∴CG＝3，BG＝l，
∴点G的坐标为（3，4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0）；．
（2）①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，
∴∠EFO+∠FEO＝∠EFO+∠CFG＝90°，．
∴∠FEO＝∠CFG，
∴△EOF∽△FCG，
∴＝，即＝，
∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∴当t＝2时，m有最大值，最大值为；
②∵点A（4，0），点C（0，4），且四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为（4，4），
设直线OB的解析式为y＝kx，
把（4，4），代入得：4＝4k，
解得k＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x，
过点R作RS⊥y轴于点S，如图：
∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，
∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，
∴△RFS≌△EFO（AAS），
∴RS＝EO＝m，FS＝FO＝t，则SO＝2t，
∴点R的坐标为（﹣m，21）
∵点R与点Q关于直线OB对称，
同理点Q的坐标为（2t，﹣m），
把Q（2t，﹣m）代入y＝﹣x2+3x+4，
得：﹣m＝﹣4t2+6t+4，
由①得m＝﹣t2+t，
∴t2﹣t＝﹣4t2+6t+4，
解得：t1＝，t2＝，
∵0≤t1≤4，
∴当t＝时，点G恰好落在抛物线上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析质，二次函数的性质、轴对称图形的性质，根据题意画出图形是解答问题的关键．
一．选择题（共7小题）
1．（2022•乐清市三模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为（ ）
A．4B．2C．0D．﹣4
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
2．（2022•瓯海区模拟）已知y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3B．有最小值﹣1，有最大值3
C．有最小值﹣3，有最大值4D．有最小值﹣1，有最大值4
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2及抛物线经过（1，0）可求出a，b的值，将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+3图象的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+3＝0，
将b＝﹣4a代入a+b+3＝0得﹣3a+3＝0，
解答a＝1，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴1≤x≤4时，函数最小值为y＝﹣1．当x＝4时，y＝3为最大值，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
3．（2022•镇海区二模）定义：已知二次函数y1＝ax2+bx+c与二次函数y2＝cx2+bx+a，其中a，b，c为常数，且a≠c，ac≠0，则称这两个函数互为倒函数，下列结论正确的是（ ）
A．若（2，0）是y1＝x2+2x+c的倒函数图象上的一点，则c＝
B．当两个互为倒函数的图象的开口方向相反时，则它们与x轴均无交点
C．若二次函数y1图象上存在一点（m，n），则它的倒函数y2图象上必存在一点（，）
D．两个互为倒函数的图象必有两个交点
【分析】把点（2，0）代入y1＝x2+2x+c得出c＝﹣8．可以判断A；当两个互为倒函数的图象的开口方向相反时ac＜0，由Δ＞0可以判断B；把点（m，n）代入y1＝ax2+bx+c得出c×（）2+b×（）+a＝可以判断C；联立两个函数解析式得出关于x的一元二次方程，解方程得出x＝±1，说明两个函数有两个不同交点，可以判断D．
【解答】解：∵（2，0）是y1＝x2+2x+c的倒函数图象上的一点，
∴4+4+c＝0，
解得：c＝﹣8≠﹣，
故A错误；
当两个互为倒函数的图象的开口方向相反时，则ac＜0，
∴﹣ac＞0，
Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴两个互为倒函数的图象与x轴都有两个不同的交点，
故B错误；
若二次函数y1图象上存在一点（m，n），
则am2+bm+c＝n，
∴c×（）2+b×（）+a＝≠，
∴（，）不在倒函数y2图象上，
故C错误；
联立二次函数y1＝ax2+bx+c与二次函数y2＝cx2+bx+a得，
（a﹣c）x2﹣（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（x2﹣1）＝0，
∵a≠c≠0，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
∴两个互为倒函数的图象必有两个交点，
故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的特点以及新定义，关键是对新定义的理解．
4．（2022•南浔区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+2＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝100B．x1＝50，x2＝150
C．x1＝0，x2＝200D．x1＝50，x2＝250
【分析】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝0和x＝200时对应的函数值都是1，再将x＝50，y＝﹣1代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+2＝0，从而可以得到该方程的解．
【解答】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝100，
则x＝0和x＝200时对应的函数值都是1，
当x＝0时，y＝1，即c＝1，
所以，当x＝50时，y＝﹣1，即﹣1＝ax2+bx+1，
整理，得ax2+bx+2＝0，
则方程ax2+bx+2＝0的解是x1＝50，x2＝150，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（2022•拱墅区模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），则n的值为（ ）
A．﹣32B．﹣18C．﹣16D．﹣12
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m﹣2．故设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过点A（m﹣6，n），B（m+2，n），
∴对称轴是直线x＝m﹣2．
又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣m+2）2，
把A（m﹣6，n）代入，得
n＝﹣2（m﹣6﹣m+2）2＝﹣32，即n＝﹣32．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
6．（2021秋•椒江区期末）小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画．于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中AB和A'B'上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分．若第一个鸡蛋的高度CD为8.4cm，则第二个鸡蛋的高度C′D′为（ ）
A．7.29cmB．7.34cmC．7.39cmD．7.44cm
【分析】首先建立直角坐标系，根据待定系数法得到第一个鸡蛋抛物线的解析式，再根据两条抛物线开口大小方向相同得到第二条抛物线的解析式，可得第二个鸡蛋的高度．
【解答】解：如图，以AB所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
由图可得，∠BOE＝∠AOE＝60°，
∴BE＝×3.6＝，
∴B（，0），C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+3，
把B的坐标代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3．
如图，以A′B′所在的直线为x轴，C′D′所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
由图可得，∠B′O′E′＝∠A′O′E′＝60°，
∴B′E′＝×3.24＝，O′E′＝O′B′＝1.62，
∴B′（，0），
∵两条抛物线的开口大小相同，
∴设第二条抛物线为y′＝﹣x2+c．
把B的坐标代入可得c＝2.43，
∴C′E′＝2.43，
∴C′D′＝2.43+1.62+3.24＝7.29（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键．
7．（2022•鹿城区校级一模）已知关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两个根分别是x1＝﹣，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．2B．C．D．3
【分析】根据根与系数的关系求出b、c的值，从而求出二次函数的解析式，令x＝0，得y＝，根据AB⊥y轴，得AB∥y轴，得B点的纵坐标为，从而求出B点的坐标，进而求出AB的长．
【解答】解：∵x1＝﹣，x2＝，
∴x1+x2＝﹣b＝2，x1•x2＝﹣c＝﹣，
∴b＝﹣2，c＝，
∴y＝x2﹣2x+，
令x＝0，y＝，
∴A（0，），
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
把y＝代入y＝x2﹣2x+，
得＝x2﹣2x+，
解得x1＝0，x2＝2，
∴B（2，），
∴AB＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这四个知识点的综合应用，根与系数的应用是解题关键．
二．填空题（共6小题）
8．（2022•衢州二模）为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣+2，由此可知小豪此次投掷的成绩是 9 m．
【分析】当y＝0时代入解析式y＝﹣（x﹣4）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：由题意得，
当y＝0时，﹣（x﹣4）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
故答案为：9．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式建立方程是关键．
9．（2022•兰溪市模拟）已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝x2﹣x﹣2a，若这两个抛物线与x轴共有3个交点，则a的值为 ﹣或1或3 ．
【分析】先求出抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点的坐标．再根据两个抛物线与x轴共有3个交点，可以判断抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个公共点或经过（﹣1，0）或（3，0），然后求值即可．
【解答】解：令y1＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵两个抛物线与x轴共有3个交点，
∴抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点或与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点，
令y2＝0，则x2﹣x﹣2a＝0，
①当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与x轴有一个交点时，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2a）＝1+8a＝0，
解得：a＝﹣；
②当抛物线y2＝x2﹣x﹣2a与抛物线y1＝x2﹣2x﹣3有一个公共点时，
当（﹣1，0）是两条抛物线的公共点时，
1+1﹣2a＝0，
解得：a＝1；
当（3，0）是两条抛物线的公共点时，
9﹣3﹣2a＝0，
解得：a＝3．
故答案为：﹣或1或3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是理解二次函数与x轴的交点与一元二次方程的关系．
10．（2022•玉环市一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BC＝h1，若OB＝90dm，OA＝2AB．则为 ．
【分析】先求出OB＝60，OE＝30，设第一次反弹后的抛物线的解析式＝a（x﹣30）2+h1 得h1＝﹣900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y＝a（x﹣m）2+h2，得，得出h2＝﹣625a即可．
【解答】解：∵OB＝90，OA＝2AB，
∴OA＝60，OE＝30，
设第一次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣30）2+h1，
∵抛物线过原点O，
∴a（x﹣30）2+h1＝0，
解得：h1＝﹣900a，
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），
∴两个抛物线的a是相同的，
设二次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+h2，
∵BC＝h1，h1＝﹣900a，
∴BC＝﹣600a，
∵抛物线过A，B两点，
∴，
解得：，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式的求法，解题的关键是掌握二次函数的性质．
11．（2022•北仑区一模）北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱．有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完．经调查发现，零售价每上涨1元，每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为 25 元时，该种植户一天的销售收入最大．
【分析】设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，由题意得y＝﹣30x2+1500x﹣11880，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，
由题意得，y＝x[300﹣30（x﹣22）]+18×30（x﹣22）＝﹣30x2+1500x﹣11880，
当x＝﹣＝﹣＝25时，y最大，
所以当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．
故答案为：25．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
12．（2022•金东区三模）一个玻璃杯坚直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE 5 cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 7 cm．
【分析】以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，得出A，B，C，D的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动，所以旋转前BE与水平方向的夹角为45°，即∠ABE＝45°，求出BE与y轴的交点坐标P，把点B、P代入求出直线BE的解析式，水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N，根据题意可得△CMN是等腰直角三角形，由此可得出点M的坐标，用两点间的距离公式求出C点到BE的距离．
【解答】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，
将B（2，0），C（4，﹣12），代入得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+4；
根据题意可知，∠ABE＝45°，设BE与y轴的交点坐标P，
∴△OBP是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝2，
∴P（0，﹣2），
∴直线BP的解析式为：y＝x﹣2，
令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣5）．
∴BE＝＝5，DE＝7，
水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∵C（4，﹣12），
∴N（4，2）．
∴CN＝14．
过点P作MQ⊥CN于点Q，
∴Q是CN的中点，且MQ＝NQ＝CQ，
∴Q（4，﹣5），
∴M（﹣3，﹣5）．
∴CM＝＝7．
故答案为：5；7．
【点评】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
13．（2022•镇海区校级模拟）如图，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣2）过点A（﹣1，6）和点B（﹣2，m），与x轴的正半轴交于点C，点M是抛物线上一点且A，B两点到直线MC的距离相等，点M的横坐标为 ﹣或﹣5 ．
【分析】利用待定系数法求解二次函数的解析式，进而得B、C点坐标，连接AB，设AB的中点为T．分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM′∥AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+3）（x﹣2）过点A（﹣1，6），
∴6＝﹣6a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣2），
令y＝0，则﹣（x+3）（x﹣2）＝0，解得x＝﹣3或2，
∴C（2，0），
把B（﹣2，m）代入y＝﹣（x+3）（x﹣2），得m＝﹣（﹣2+3）（﹣2﹣2）＝4，
∴B（﹣2，4），
连接AB，设AB的中点为T，
①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
∵A（﹣1，6），B（﹣2，4），TA＝TB，
∴T（﹣1.5，5），
∵C（2，0），
∴直线CT的解析式为y＝﹣x+，
由得或
∴M（﹣，）；
②CM′∥AB时，满足条件，
∵直线AB的解析式为y＝2x+8，
∴直线CM′的解析式为y＝2x﹣4，
由得或，
∴M′（﹣5，﹣14），
综上所述，满足条件的点M的横坐标为﹣或﹣5．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．
三．解答题（共10小题）
14．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
15．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
16．（2022•衢江区一模）3月14日，衢州进行了第一次全民核酸检测，某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到表：
小明把数据在平面直角坐标系里，描成点，连成线，得到如图所示函数图象，在0～90分钟，y是x的二次函数，在90～110分钟，y是x的一次函数．
（1）如果B是二次函数图象的顶点，求二次函数解析式；
（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？
（3）采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？
【分析】（1）将A，B点的坐标代入二次函数解析式中即可；
（2）利用待定系数法将一次函数解析式求出来，然后将y＝220分别代入两个函数求出x，相减即可得出答案；
（3）首先利用一次函数求出一个窗口每分钟可以采样的人数，然后表示出总窗口数与时间的表达式，按照要求大于当前的人数即可；
【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣90）2+240，
将A（0，60）代入得a＝﹣，
∴曲线ABC部分的函数解析式为：y＝﹣x2+4x+60；
（2）设CD的解析式为：y＝kx+b，
将C（90，240），D（110，0）代入，
解得：k＝﹣12，b＝1320，
∴CD的解析式为：y＝﹣12x+1320，
将y＝220代入y＝﹣x2+4x+60中，
解得：x＝60或x＝120（舍去），
将y＝220代入y＝﹣12x+1320中，
解得：x＝，
∵﹣60＝，
∴满负荷状态的时间为分；
（3）设至少需要新增m个窗口，
1个窗口1分钟采样的人数为：240÷20÷6＝2，
4：15分时的排队人数为：
将x＝75代入y＝﹣x2+4x+60中，
解得：y＝235，
3：45分至4：15分之间采样的人数为：
2×30×6＝360，
235+360＝595，
∴4点15分后，采样可以随到随采表示595人需要在30分钟内采样完毕，
∴2×（m+6）×30≥595，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m＝4，
∴至少需新增4个采样窗口．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数图象与性质的实际应用，解题的关键是正确提取图象信息，正确求解解析式，理解问题中给出的限制条件，属于中考必考题．
17．（2022•嘉兴二模）某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件．公司按订单生产该产品（销售量＝产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P＝x2﹣4x+m．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式．
（3）当售价x为多少元时，年利润W最大，并求出这个最大值．
【分析】（1）根据题意设y与x的函数关系式为：y＝kx+bkx+b，将点（5，30），（15，10）代入求解即可得；
（2）根据题意及函数图像可得，需要分两部分进行讨论分析：当5≤x≤10时，根据图像可得：P＝60；当10≤x≤15时，P＝x2﹣4x+75；利用利润列出函数解析式即可；
（3）由（2）中结论将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把x＝5时，y＝30，x＝15时，y＝10代入，
得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+40（5≤z≤15）；
（2）由题意知，当5≤x≤10时，P＝60，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣60＝﹣2x2+50x﹣260；
当10≤x≤15时，P＝x2﹣4x+m．
把x＝10时，P＝60代入P＝x2﹣4x+m得，
60＝×102﹣4×10+m，
解得：m＝75，
∴P＝x2﹣4x+75，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣（x2﹣4x+75）＝﹣x2+54x﹣275；
综上：W＝；
（3）由（2）可得：当5≤x≤10时，
W＝﹣2x2+50x﹣260＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，5≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W增大，最大值为40；
当10≤x≤15时，
W＝﹣x2+54x﹣275＝﹣（x﹣12）2+49，
∵﹣＜0，10≤x≤15，
∴当x＝12时，W有最大值，最大值为49；
综上可得：当x＝12时，年利润W最大，最大值为49．
【点评】本题主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
18．（2022•诸暨市二模）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是50元．超市规定每盒售价不得少于60元．根据以往销售经验发现，当售价定为每盒60元时，每天可以卖出900盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出30盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于68元．如果超市想要每天获得不低于9000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出30盒，可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得P关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；
（3）根据题意，令利润等于9000，解得x的值，结合题意可得x范围，再由一次函数性质即得答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝900﹣30（x﹣60）＝﹣30x+2700，
即每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣30x+2700；
（2）由题意可得，
P＝（x﹣50）（﹣30x+2700）＝﹣30x2+4200x﹣135000＝﹣30（x﹣70）2+12000，
∴当x＝70时，P取得最大值，此时P＝12000，
即当每盒售价定为70元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是12000元；
（3）由题意可得，
（x﹣50）（﹣30x+2700）＝9000，
解得，x1＝80，x2＝60，
∵每盒售价不得少于60元，每盒售价不得高于68元，且P＝﹣30（x﹣50）2+12000，
∴当60≤x≤68时，销售利润不低于9000元，
∴当x＝68时，销售的盒数最少，此时销售盒数为﹣30×68+2700＝660（盒），
答：如果超市想要每天获得不低于9000元的利润，那么超市每天至少销售粽子660盒．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．（2022•海曙区校级模拟）某城市发生疫情，第x天（1≤x≤15）新增病例y（人）如下表所示：
（1）疫情前15天的人数模型基本符合二次函数y＝ax2+bx+c．根据图表，求出二次函数解析式．
（3）由于疫情传染性强，第15天开始新增病例人数模型发生变化，第x天（x≥15）新增病例y（人）近似满足y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）．请预计第几天新增病例清零．
（3）为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需当天提供一张病床的要求，政府应该在哪一天提供的病床最多？最多应该提供多少张？
【分析】（1）把x＝1，y＝2和x＝2，y＝11，x＝3，y＝22代入二次函数y＝ax2+bx+c解方程组即可；
（2）令y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）中y＝0，解方程即可求得；
（3）分别求出当当0＜x＜15时和当x＞15时，y的最大值，再进行比较可得出结论．
【解答】解：（1）把（1，2），（2，11），（3，22）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得，．
∴二次函数解析式为y＝x2+6x﹣5；
（2）由（1）知，当x＝15时，y＝310，
将（15，310）代入y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13），
解得：m＝46．
∴y＝﹣5（x﹣46）（x﹣13），
由题意y＝0，则﹣5（x﹣46）（x﹣13）＝0，
解得：x＝46或x＝13，
∵第15天开始新增病例逐渐下降，
∴预计第46天新增病例清零；
（3）由题意得，
①当0＜x＜15时，第15天时新增确诊病例最多，y＝310，
②当x＞15时，y＝﹣5（x﹣46）（x﹣13）的对称轴为直线x＝29.5，
∴当x＝30和x＝29时，y取最大，此时y＝﹣5（30﹣46）（29﹣13）＝1280，
∵310＜1280，
∴政府应该在第30天提供的病床最多，最多应该提供1280张．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
20．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6cm；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
21．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【分析】（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；
（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据y1＞y2，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，n的值最大，最大值是．
【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口．
23．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 y＝﹣x+ ，点A的坐标为 （﹣2，2） ，点B的坐标为 （1，0） ．
（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由定义求出“梦想直线”为y＝﹣x+，再求直线与抛物线的交点即可；
（2）分两种情况，①当N点在y轴上时，②当M点在y轴上时，分别求出N的坐标即可；
（3）设E（﹣1，m），F（n，﹣n+），分所求情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线，②当AE为平行四边形的对角线，③当AF为平行四边形的对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出E、F点坐标即可．
【解答】解：（1）由定义可得抛物线与其“梦想直线”为y＝﹣x+，
∵﹣x2﹣x+2＝﹣x+，
解得x＝﹣2或x＝1，
∴A（﹣2，2），B（1，0），
故答案为：y＝﹣x+，（﹣2，2），（1，0）；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
①当N点在y轴上时，设N（0，t），
由折叠可知，AN＝AC，
∵AC＝，
∴AN＝＝，
解得t＝2+3或t＝2﹣3，
当t＝2+3时，N（0，2+3），此时M点在B点右侧，不合题意；
当t＝2﹣3时，N（0，2+3）；
②当M点在y轴上时，此时M（0，0），
过点N作NG⊥x轴交于G点，设N（x，y），
由折叠可知，AN＝AC＝，CM＝MN＝3，
∴x2+y2＝9，（x+2）2+（y﹣2）2＝13，
解得x＝0（舍）或x＝，
∴N（，）；
综上所述：N点坐标为（0，2+3）或（，）；
（3）存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E（﹣1，m），
∵抛物线与其“梦想直线”为y＝﹣x+，
设F（n，﹣n+），
①当AC为平行四边形的对角线时，
﹣2﹣3＝﹣1+n，2＝m﹣n+，
解得n＝﹣4，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
②当AE为平行四边形的对角线时，
m+2＝﹣n+，﹣2﹣＝n﹣3，
解得n＝0，m＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（0，）；
③当AF为平行四边形的对角线时，
n﹣2＝﹣3﹣1，m＝2+﹣n，
解得n＝﹣2，m＝，
∴E（﹣1，），F（﹣2，﹣）；
综上所述：E（﹣1，﹣），F（﹣4，）或E（﹣1，﹣），F（0，）或E（﹣1，），F（﹣2，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
x
…
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
…
y
…
0.36
0.13
﹣0.08
﹣0.27
﹣0.44
…
x
﹣2
0
y
7
﹣■
x
…
0
50
200
…
y
…
1
﹣1
1
…
时间x（分）
0
15
30
45
75
90
95
100
110
人数y（个）
60
115
160
195
235
240
180
120
0
x
1
2
3
4
…
11
…
y
2
11
22
35
…
182
…