必修 第二册平面向量的概念导学案

这是一份必修 第二册平面向量的概念导学案，共35页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3等内容，欢迎下载使用。

知识点01：向量的概念
（1）向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
【即学即练1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【答案】B
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
（2）数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
（3）向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).
知识点02：向量的几何表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
（2）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
（4）两种特殊的向量
零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
【即学即练2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0
【答案】C
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
知识点03：相等向量与共线向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
(2)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
（3）共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
【即学即练3】（2022下·辽宁大连·高一校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
题型01 向量的有关概念
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0B．1C．2D．3
【典例2】（2023上·安徽阜阳·高二校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量
C．同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1B．2C．3D．4
题型02 向量的几何表示
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．

【典例2】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A．B．C．D．
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是MD．终点是M
【变式2】（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示B．向量的方向由指向
C．向量的起点是D．向量的终点是
题型03 向量的模
【典例1】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A．B．C．D．与不能比较大小
【典例2】（2022·高一课时练习）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.
【变式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

题型04 零向量与单位向量
【典例1】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【变式1】（2022·全国·高一假期作业）下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0B．1C．2D．3
题型05 相等向量
【典例1】（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【典例2】（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2023下·陕西咸阳·高一校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若，，则
D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
题型06 共线向量
【典例1】（多选）（2023上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
【变式1】（多选）（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
【变式2】（多选）（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
第01讲 6.1平面向量的概念
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段和有向线段的长度相等
2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）若向量与向量不相等，则与一定（ ）
A．不共线B．长度不相等
C．不都是单位向量D．不都是零向量
3．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2018·高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与B．与C．与D．与
5．（2022·高一课时练习）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则. 其中的正确命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022·高一课时练习）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（ ）
A．B．或
C．D．与的长度相等
7．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动B．是单位向量，则
C．D．若，则
8．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
二、多选题
9．（2023下·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同B．方向相反C．D．
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
12．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
四、问答题
13．（2023·全国·高一课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？

14．（2023下·高一课时练习）如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)写出与相反的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
B能力提升
1．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
2．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021上·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2021下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
第01讲 6.1平面向量的概念
知识点01：向量的概念
（1）向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
【即学即练1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【答案】B
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
（2）数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
（3）向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).
知识点02：向量的几何表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
（2）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
（4）两种特殊的向量
零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
【即学即练2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0
【答案】C
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
知识点03：相等向量与共线向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
(2)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
（3）共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
【即学即练3】（2022下·辽宁大连·高一校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
题型01 向量的有关概念
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
【典例2】（2023上·安徽阜阳·高二校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量
C．同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【答案】C
【详解】根据向量的概念，可知A、B正确；
对于C项，向量不能比较大小，故C错误；
对于D项，根据平行向量以及相等向量的概念，可知D正确.
故选：C.
【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
【变式2】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B
题型02 向量的几何表示
【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析．
【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：

（2）从向西作长度为3m的有向线段：

（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：

（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：

【典例2】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.
故选：C.
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是MD．终点是M
【答案】D
【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．
【变式2】（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示B．向量的方向由指向
C．向量的起点是D．向量的终点是
【答案】D
【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.
故选：D
题型03 向量的模
【典例1】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A．B．C．D．与不能比较大小
【答案】D
【详解】由题意，作图如下：
则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，
则飞机飞行的路程为，，
所以.
故选：A.
【典例2】（2022·高一课时练习）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模.
【答案】
【详解】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为；
所以，
由勾股定理可知，，.
【变式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

【答案】2 n mile．
【详解】由题意，
所以向量的长度为2 n mile．
题型04 零向量与单位向量
【典例1】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为0
D．任意两个单位向量方向相同
【答案】C
【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.
故选：C.
【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．
故选：D.
【变式1】（2022·全国·高一假期作业）下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
【变式2】（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；
零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；
零向量的模等于0，故④错.
故选：B.
题型05 相等向量
【典例1】（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
【典例2】（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
【变式1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
【变式2】（多选）（2023下·陕西咸阳·高一校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若，，则
D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
【答案】DBD
【详解】对于A选项，因为，若，则零向量的方向任意，A错；
对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错；
对于C选项，，，则，C对；
对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，D错.
故选：ABD.
题型06 共线向量
【典例1】（多选）（2023上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
【答案】BD
【详解】对于A，平行四边形中，，满足向量与共线，而四点不共线，A错误；
对于B，四点在一条直线上，则向量与方向相同或相反，即向量与共线，B正确；
对于C，平行四边形中，满足四点不共线，有，即向量与共线，C错误；
对于D，向量与共线，而向量与有公共点，因此三点在一条直线上，D正确.
故选：BD
【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
【答案】(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
【变式1】（多选）（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】DBD
【详解】对A, 有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误；
对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；
对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；
对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；
故选:ABD.
【变式2】（多选）（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
【答案】DC
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
第01讲 6.1平面向量的概念
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段和有向线段的长度相等
【答案】D
【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；
D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.
故选：D
2．（2023下·河南商丘·高一校考阶段练习）若向量与向量不相等，则与一定（ ）
A．不共线B．长度不相等
C．不都是单位向量D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果.
【详解】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，
所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，
所以A，B，C都是错误的，
但是与一定不都是零向量．
故选：D.
3．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.
【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；
零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，
则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；
同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.
综上正确的是1个.
故选：B
4．（2018·高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与B．与C．与D．与
【答案】C
【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
5．（2022·高一课时练习）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则. 其中的正确命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据向量的概念及零向量，平行向量的概念进行判断.
【详解】对于①，前一个零是实数，后一个应是零向量，故①错误；
对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误；
对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等，③错误；
对于④，若，则，④正确.
故选：A.
6．（2022·高一课时练习）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（ ）
A．B．或
C．D．与的长度相等
【答案】D
【分析】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.
【详解】依题意，，显然向量的关系不确定，
而与同方向，与同方向，因此与关系不确定，A，B，C都错误，
又都是单位向量，所以与的长度相等，D正确.
故选：D
7．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动B．是单位向量，则
C．D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
8．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：B.
二、多选题
9．（2023下·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】DBD
【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知.
【详解】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误；
ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确.
故选：ABD.
10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同B．方向相反C．D．
【答案】DC
【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可.
【详解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，
则方向相同，长度相等，故AC正确，B错误；
而，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 与，与 与，与
【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.
【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，
显然，因此的模相等.
故答案为：与，与；与，与；
12．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【分析】根据向量的概念判断即可.
【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.
故答案为：③⑤⑥.
四、问答题
13．（2023·全国·高一课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？

【答案】7个，个.
【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答.
【详解】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量，
这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等；
与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量，
所以与长度相等的共线向量共有（个）.

14．（2023下·高一课时练习）如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：

(1)写出与相反的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
【答案】(1)，，
(2)，，，，
(3)，
【分析】（1）根据已知可推得，且.结合图象，即可得出答案；
（2）根据已知，结合（1）的结论以及图象，即可得出答案；
（3）根据（1）（2），结合图象，即可得出答案.
【详解】（1）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
所以，，且.
所以，与相反的向量为，，.
（2）因为的三边均不相等，
又，
所以，与的模相等的向量为，，，，.
（3）由（1）（2）可知，与相等的向量为，.
B能力提升
1．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.
故选：C.
2．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
3．（2021上·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由分别表示方向上的单位向量，
当，即共线，充分性成立；
当与共线，若同向共线时，不成立，必要性不成立.
“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选：B
4．（2021下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【答案】①③
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
课程标准
学习目标
①能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。
②会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别。
③理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念。
1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系；
2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别；
3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法；
课程标准
学习目标
①能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。
②会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别。
③理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念。
1.通过阅读课本，查阅资料，并能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系；
2.认真阅读课本，在读书过程中学会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别；
3.在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法；