数学人教A版2019必修二 6.1 平面向量的概念讲义（学生版＋教师版）

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知识点一 向量与数量
(1)向量： 叫做向量．
(2)数量： 称为数量．
[注意] 数量可以比较大小，而向量无法比较大小．
知识点二 向量的表示
具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 、 、 ，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度，
记作 |．
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|．
[注意] 向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段．
知识点三 向量的有关概念
特别强调：
(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
(3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性．
题型1 向量的有关概念
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
【例题精练】
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．物理学中的摩擦力、重力都是向量
B．平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量
C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量
D．身高是一个向量
3．已知向量a→如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用MN→表示B．方向是由M指向N
C．起点是MD．终点是M
4．有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若a→≠b→，则a→，b→不是共线向量；
③若|AB→|=|DC→|，则四边形ABCD是平行四边形；
④若m→=n→，n→=k→，则m→=k→；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．下列说法正确的是（ ）
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，AB→=DC→．
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
6．给出下列各命题：
（1）零向量没有方向；
（2）若|a→|＝|b→|，则a→=b→；
（3）单位向量都相等；
（4）向量就是有向线段；
（5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
（6）若a→=b→，b→=c→，则a→=c→；
（7）若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→；
（8）若四边形ABCD是平行四边形，则AB→=CD→，BC→=DA→．其中正确命题的序号是 ， ．
7．给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=A1C1→；
③若向量a→与向量b→的模相等，则a→，b→的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有AB→+AD→=AC→．
其中正确命题的序号是 ．
题型2 向量的几何表示
作向量的思路
【例题精练】
1．已知向量AB→，CD→在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则|AB→+CD→|=（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．|a→|=|b→|是向量a→=b→的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
3．以下命题中正确的个数是（ ）
①两个相等向量的模相等
②若a→和b→都是单位向量，则a→=b→
③相等的两个向量一定是共线向量
④零向量是唯一没有方向的向量
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
5．给出下列四个命题：①若|a→|=0，则a→=0；②|a→|=|b→|，则a→=b→；③若a→∥b→，则|a→|=|b→|，其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→B．若a→=b→，则a→∥b→
C．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→D．若a→=b→，b→=c→，则a→=c→
7．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．|AB→|=|BA→|
B．单位向量的方向相同或相反
C．零向量没有大小，没有方向
D．一物体在力F→的作用下由点A（2，15）移动到点B（7，8），已知F→=(−4，3)，则F→对该物体所做的功为1
题型3 相等向量与共线向量
1．相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的．
2．共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．
3．相等向量与共线向量的区别与联系
相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性．
【例题精练】
1．已知平面向量a→，b→和实数λ，则“a→=λb→”是“a→与b→共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知任意两个非零向量a→，b→则“|a→|=|b→|，且a→∥b→”是“a→=b→”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列命题：
①若|a→|=|b→|，则a→=b→；
②a→=b→的充要条件是|a→|=|b→|且a→∥b→
③若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→；
④若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→=DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．关于向量a→，b→，下列命题中，正确的是（ ）
A．若|a→|＝|b→|，则a→=b→B．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→
C．若a→=b→，则a→∥b→D．若a→∥b→，则a→=b→
5．已知点O是矩形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A．OA→+OC→=0→B．|AC→|=|BD→|C．OD→∥BO→D．AB→=CD→
6．（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若a→为非零向量，则a→|a→|与a→同向
C．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
D．已知λ，μ为实数，若λa→=μb→，则a→与b→共线
7．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→=b→或a→=−b→
B．若ma→=mb→，m∈R，则a→=b→
C．若a→∥b→，c→∥b→，则a→∥c→
D．若ma→=0→，m∈R，则m＝0或a→=0→
课时精练
1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．共线的单位向量都相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．相反向量指方向相反的两个向量
D．任意两个空间向量一定共面
2．已知向量a→，b→互为相反向量，|b→|＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．a→=b→B．a→+b→为实数0
C．a→与b→方向相同D．|a→|＝3
3．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量一定是相等向量
C．若向量a→，b→同向，且|a→|＞|b→|，则a→＞b→
D．单位向量的模都相等
4．已知平面向量a→，b→是单位向量，则“a→，b→是相等向量”是“a→，b→的方向相同”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知平面内不同的四点A，B，C，D，设甲：A，B，C，D四点位于同一条直线上；乙：AB→与CD→共线，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a→|=|b→|，则a→、b→的长度相等且方向相同
C．若向量AB→、CD→满足|AB→|＞|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→＞CD→
D．若两个非零向量AB→与CD→满足AB→+CD→=0→，则AB→∥CD→
7．下面命题中，正确的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→=b→B．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→
C．若a→=−b→，则a→∥b→D．若|a→|=0，则a→=0
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→=b→B．若a→=b→，则|a→|=|b→|
C．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→D．若|a→|=0，则a→=0
9．（多选）已知非零向量a→、b→，下列命题正确的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→∥b→B．若a→=b→，则|a→|=|b→|
C．若a→∥b→，则a→=b→D．若a→=b→，则a→∥b→
10．（多选）下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若a→，b→是共线的单位向量，则a→=b→
B．若a→=b→，则|a→|=|b→|
C．若a→≠b→，则a→，b→不是共线向量
D．若a→∥b→，则一定存在实数λ，使得a→=λb→
11．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若|a→|=|b→|，则a→=b→
C．零向量没有方向
D．模为0的向量与任意非零向量共线
12．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若|a→|=|b→|，则a→=b→或a→=−b→；
③对于任何向量a→，b→，必有|a→+b→|≤|a→|+|b→|．
其中正确命题的序号为 ．
13．下列四个说法：①若|a→|＝0，则a→=0→；②若|a→|=|b→|，则a→=b→或a→=−b→；③若a→∥b→，则|a→|=|b→|；④若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→．其中错误的是 （填序号）．
14．给出下列命题：
①若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ．
表示法
几何表示：用 来表示向量， 表示向量的大小，
表示向量的方向
字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，)
向量名称
定义
零向量
叫做零向量，记作0
单位向量
，叫做单位向量
平行向量(共线向量)
叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定： 与任意向量平行
相等向量
叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b