高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教案，共10页。教案主要包含了导入新课，推进新课，例题剖析，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、导入新课
师:现实生活中,有许多成倍增长的实例.如,将一张报纸对折、对折、再对折对折了三次,手中的报纸的层数就成了8层;对折了5次,报纸的层数就成了32层.你能举出类似的例子吗?
生:一粒种子繁殖出第二代120粒种子,用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代粒种子,用第三代的粒种子可以繁殖出第四代粒种子
师:非常好的一个例子！现实生活中,我们会遇到许多这类的事例.
教师出示课件一:某种细胞分裂的模型.
如图所示.
师：细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？
学生通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：
1,2,4,8,…①
教师出示课件二：“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
师：这是《庄子》中的一个论述，你能解释这个论述的含义吗?
学生思考、讨论,用现代语言叙述.
师:(用现代语言叙述后)如果把“一尺之捶”看成单位“1”,那么得到的数列是什么样的呢?
学生发现等比关系,写出一个无穷等比数列:, = 2 \* GB3 ②
教师出示课件三：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传后.如果把病毒制造者发送病䩰称为第一轮,邮件接收者发送病病称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病都感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
师:(读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢?
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴含的等比关系.
学生发现等比关系,写出一个无穷等比数列:
. = 3 \* GB3 ③
教师出示课件四:银行存款利息问题.
如果存人本金10000元,每年利率为,试计算5年后的本利和.
教师介绍复利的背景:复利是我国现行定期储机中的一种支付利息的方式,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储机中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.
给出计算本利和的公式:
本利利本,这里为存期.
学生列出5年内各年末的本利和,并说明计算过程.
师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系,并写出:各年末本利和(单位:元)组成了下面的数列:
. = 4 \* GB3 ④
师:回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④,说说它们有什么共同特点?
教师引导学生类比等差关系和等差数列的定义.发现等比关系.
设计意图：通过生活实例，引入等比数列的概念，既可激发学生的学习兴趣，也可使学生从不同角度了解等比数列，为等比数列的分类奠定基础
二、推进新课
[合作探究]
师：从上面的数列①②③④中，我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系，如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个定义吗？
学生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出等比数
列的定义:
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,即恒成立,则称为等比数列,其中称为等比数列的公比.
设计意图:类比等差数列,学生比较容易得出等比数列的定义,借助旧知识引出新知识,水到渠成.
[教师精讲]
师:同学们概括得很好,这就是等比数列的定义.定义中的这个常数称为等比数列的公比,公比通常用字母表示.
请同学们想一想,为什么呢?
学生独立思考、合作交流、自主探究.
师:假设,数列的第二项就应该是0,那么对第一项后面的任一项与它的前一项作比时就出现了什么呢?
生:分母为.
师:对了,问题就出在这里了,所以,必须.
师:那么,等比数列的首项能不能为0呢?
生:等比数列的首项不能为0.
师:是的,等比数列的首项和公比都不能为0,等比数列中的任一项都不会是0.
[合作探究]
探究:
（1）一个数列是等差数列,同时还能不能是等比数列呢?
（2）写出两个首项为1的等比数列的前5项,比较这两个数列是否相同?写出两个公比为2的等比数列的前5项,比较这两个数列是否相同?
（3）任一项及公比相同,则这两个数列相同吗?
（4）任意两项相同,这两个数列相同吗?
（5）若两个等比数列相同,需要什么条件?
教师引导学生探究,并给出（1）的答案,（2）——（5）可留给学生回答.
学生探究并分组讨论上述问题的解答方法,并交流(1)的解答.
[教师精讲]
概括总结对上述问题的探究,得出:
（1）中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的,每一个非零常数列都是公差为0的等差数列,又是公比为1的等比数列.
概括学生对（2）——（5）的解答.
（2）中,首项为1,而公比不同的等比数列是不会相同的;公比为2,而首项不同的等比数列也是不会相同的.
（3）中,是指两个数列中的任一对应项与公比都相同,可得出这两个数列相同;
（4）中,是指两个数列中的任意两个对应项都相同,可以得出这两个数列相同;
（5）中,结论是:若两个数列相同,需要“首项和公比都相同”.
设计意图:通过上述探究,为等比数列的通项公式的推导做准备.
[合作探究]
师：回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？学生推导等比数列的通项公式方法引导
教师让学生类比等差数列的推导过程，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.
设等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义,我们有:
,
,
.
,
即.
师:根据等比数列的定义,我们还可以写出
,
进而有.
亦得.
师:观察一下上式中项的下标与的指数,你能发现有什么共同的特征吗?
生:把看成,那么,上式中,项的下标与的指数的和都是.
师:非常正确,这里不仅给出了一个由倒推得到与的关系,从而得出通项公式的过程,而且其中还蕴含了等比数列的基本性质,在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.
师:请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子:,再思考:
如果我们把上面的式子改写成,,那么我们就有了个等式,将这个等式两边分别相乘(累乘),得到的结果是,于是,得.
师:这又是一个推导等比数列的通项公式的方法.
师:在上述方法中,前两种方法采用的是不完全归纳法,还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法,是一个完美的推导过程,不再需要证明.
教师让学生说出公式中首项和公比的限制条件.生:都不能为.
[合作探究]
师:类比等差中项的概念,请同学们自己给出等比中项的概念.
生:如果是等比数列,那么称为与的等比中项.
师:想一想,如果是等比数列,那么的符
号有什么特点呢?你能用表示吗?
学生分组探究,得出结论:是同号,.
教师观察学生所得到的的关系式,并给予肯定.
补充练习:与等差数列一样,等比数列也具有一定的对称性.对于等差数列来说,与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍,即.对于等比数列来说,有什么类似的性质呢?
学生独立探究,得出:等比数列有类似的性质:..
师:若是等比数列,而且正整数满足,则满足什么关系呢?
学生小组讨论探究,得出:
一般地,如果是等比数列,而且正整数满足,则.
特别地,如果,则.
[知识拓展]
教师出示课件:某种储蓄按复利计算利息,若本金为元,每期利率为,设存期是,本利和为元.
（1）写出本利和随存期变化的函数关系式;
（2）如果存入本金1000元,每期利率为,试计算.5期后的本利和.
师:前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”"复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的,也可以用等比数列的相关知识解决.
学生比较两种方法,思考它们的异同.
[教师精讲]
通过用不同的数学知识解决类似的数学问题,从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.
（1）在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图像和函数的图像,你发现了什么?
（2）在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图像和函数的图像,你又发现了什么?
学生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图像,然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.
教师出示课件:借助信息技术作出的上述两组图像(如下).
观察它们之间的关系,得出结论:等比数列可看作是特殊的指数函数,等比数列的图像是一些孤立的点.
师:现在说一说在等比数列的通项公式中,与的关系与以前学过的什么函数有关?
因为,
所以如果记,
则可以看出,而且
（1）当公比时,是常数函数,此时数列是常数列(因此,公比为1的等比数列是常数列);
（2）当公比时,是与的乘积,此时,的增减性既与有关,也与有关.
师:请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列,并填充下列表格.
设计意图:从函数角度研究等比数列,与等差数列对比,找出异同,使学生对等比数列的理解更加深入.
三、例题剖析
例1(教材第30页例2)已知等比数列的首项为,公比.
（1）求.
（2）判断18是否是这个数列中的项.如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解 （1）由等比数列的通项公式可知.
（2）设18是数列中的第项,则,化简得,因为这个方程无正整数解,所以18不是数列中的项.
设计意图:熟悉等比数列的通项公式,能是求出等比数列的某一项或判断某个数是否为等比数列中的项.
例2(教材第31页例3)已知数列的通项公式为,判断这个数列是否是等比数列.如果是,求出公比;如果不是,说明理由.
解 因为,
所以数列是等比数列,且首项为6,公比为2.
设计意图:掌握利用通项公式判定等比数列的方法.
例3(教材第33页例7)在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.
解 方法一:依题意,,由等比数列的通项公式,得,解得.
当时,插入的3个数分别为；
当时,插入的3个数分别为；
因此,插入的3个数分别为或.
方法二:因为等比数列共有5项,即.
又因为,所以,
即.又因为要与同号,因此.
类似地,有,而且与同号.因此当时,；
当时,.
因此，插入的3个数分别为2,1,2或或,1,.
对于教材第30页例1第31页例4第32页例5和例6，可作为练习题让学生自主完成，集体订正.
练习：
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.
教师启发、引导学生列方程求未知量.
学生探究、交流、列式、求解.
2.教材第34页练习A第1，2题.
3.教材第34页“探索与研究”.
四、课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列的定义.
2.等比数列的通项公式.
3.等比数列的性质.
4.等比数列与函数的联系.
设计意图：提高学生的归纳总结能力，使所学知识更加条理化、系统化.
五、布置作业
1.教材第35页练习B第1，2题.
2.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？
板书设计
等比数列
1.等比数列的定义
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,即恒成立,则称为等比数列,其中称为等比数列的公比
2.等比数列的通项公式:
3.等比数列的性质
（1）如果是等比数列,那么称为与的等比中项
（2）一般地,如果是等比数列,而且正整数,满足,则
特别地,如果,则
4.等比数列与函数的关系
等比数列可看作是特殊的指数函数,等比数列的图像是一些孤立的点
5.例题剖析
例1
例2
例3
6.小结与作业