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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.1 数列的概念优质ppt课件

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.1 数列的概念优质ppt课件,文件包含人教B版高二数学选择性必修第三册511《数列的概念》课件pptx、人教B版高二数学选择性必修第三册511《数列的概念》教学设计docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共34页, 欢迎下载使用。

    5.1.1 数列的概念       

            

     

    本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修》第章《数列》,本节课主要学习数列

    的概念与表示

    “数列的概念与简单表示法”,主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型,是一种离散型函数,在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义,数列是以后学习极限的基础,因此,数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础,因而建立数列的概念是本章教学的重点,更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念,需要经历辨析、抽象、概括等过程,影响概念学习过程的因素又是多样的,所以,数列特征的感知和描述,函数意义的概括和理解,是教学的难点.

    课程目标

    学科素养

    A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.

    B.掌握数列的分类.

    C.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.

    D.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

    1.数学抽象数列的概念及表示数列的分类

    2.逻辑推理:数列的通项公式

    3.数学运算:运用数列通项公式求特定项

    4.数学建模:数列的概念

     

    重点:数列的有关概念与数列的表示方法

    难点:数列的函数特征

    多媒体

     

     

    教学过程

    教学设计意图

    核心素养目标

    一、    情景导学

    古希腊的毕达哥拉斯学派将14 916等数称为正方形数,因为这些数目的点可以摆成一个正方形,如下图所示:依据这个规律我们很容易就能知道,下一个正方形数应该是25,再下一个是36,等等。

    你知道吗?通过寻找数字出现的规律,可以产生新的发现。

    、问题探究

    1.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话一尺之棰,日取其半,万世不竭。从数学上来说,如果木棍初始长度为1,则每天之后木棍的长度分别为

                  
    2.2009年至2015年,我国每一年专利申请受理数(精确到万)分别为
        98122163205236238280.

    3.有些购物网站推出了分期付款服务,如图所示标价为3000元的电脑可以享受

       分期服务,不同的付款方式,所对应的付款总金额分别为
    30003045  309031803360.

     

    一、数列

    1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.

    2.:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2,a2表示……n个位置上的数叫做这个数列的第n,an表示.其中第1项也叫做首项.

    3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.

    点睛:(1)数列是按一定的顺序排列的一列数,有序性是数列的基本属性.

    数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,

    例如1,2,3,…3,2,1…就是不同的数列.

    (2)符号{an}an是不同的概念,{an}表示一个数列,an表示数列中的第n.

    二、数列的分类

     

    类别

    含义

    按项的

    个数

    有穷数列

    项数有限的数列

    无穷数列

    项数无限的数列

    按项的变化趋势

    递增数列

    从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列

    递减数列

    从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列

    常数列

    各项相等的数列

    摆动数列

    从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项

    小于它的前一项的数列

    1. 下列叙述正确的是(  )

    A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类

    B.数列中的数由它的位置序号唯一确定

    C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

    D.同一个数在数列中不可能重复出现

    解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.

    答案:B

    三、数列的通项公式

          如果数列{an}的第nan与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

    点睛:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.

    (2)并不是所有的数列都有通项公式.

    (3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列

    -1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ.

    1.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10a10=     ,224是该数列的第     . 

    解析:a10=102-1=99.an=n2-1=224,解得n=15,224是该数列的第15.

    答案:99 15

    典例解析

    1. 根据下列数列的通项公式,写出数列的第2项和第5项;

    1    2.

    :1)由通项公式可知

    1.

    .
    2)由通项公式可知

      0.

    2. 写出以下各数列{an}的一个通项公式:

    (1),…;

    (2)1,3,5,7,9,…;

    (3)0,2,0,2,0,…;

    (4)-,-, -….

    分析:观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.

    :(1)观察数列的前5项可知,每一项都是序号的2倍,因此数列的一个通项公式为an=2n.

    (2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的每一项小1

    因此数列的一个通项公式为an=2n-1

    3)因为数列的第1,3,5项都是0,而第2,4项都是2.

    因此它的一个通项公式为an=

    4)忽略正负号时,数列每一项的分子构成的数列是2,4,6,8,10,…其中每一个数都是序号的2倍;而且,数列每一项的分母都是分子平方减去1.又因为负号、正号是交替出现的。因此它的一个通项公式为an=(-1)n

    根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:

    (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.

    (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.

    (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.

    (4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.

    2.常见数列的通项公式

    (1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an=(-1)n+1(-1)n-1.

    (2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.

    (3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.

    (4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.

    (5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.

    (6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.

    (7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=.

    (8)数列1,,…的一个通项公式是an=.

    跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

    (1)1,;

    (2)2,4,6,8;

    (3)3,5,9,17;

    (4);

    (5)7,77,777,7 777.

    :(1)an=;(2)an=2n+;

    (3)an=2n+1;(4)an=;

    (5)an=(10n-1).

    1)已知函数你能根据这个函数构造出一个数列吗?

    2)你能总结出一般数列与函数的关系吗?

    分析:=1,2,3,4n…,可得到数列

    21….

     

    四、数列与函数

    数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2n})到实数集R的函数,

    其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第nan

    记为anf(n)

    另一方面,对于函数yf(x)

    如果f(n)(nN*)有意义,

    那么                  构成了一个数列{f(n)}

    f(1)f(2)f(n)

     

    3.已知函数设数列{an}的通项公式为an=其中nN*

    1)求证:<1 ;

    2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.

    解:(1)由题意可知an=

    又因为nN* ,所以0<

    因此<1 ;<1.

    2)因为=

    又因为> ,所以>0

    从而>0,即

    因此{an}是递增数列.

    数列增减性的判定方法

    (1)作差比较法

    an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;

    an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;

    an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.

    (2)作商比较法

    类别

    >1

    0<<1

    =1

    an>0

    递增数列

    递减数列

    常数列

    an<0

    递减数列

    递增数列

    常数列

    跟踪训练2.已知函数f(x)= x- 数列{an}满足f(an)=-2n,an>0.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.

    分析:先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列.

    :(1)f(x)=x-,f(an)=-2n,

    an-=-2n,+2nan-1=0,

    解得an=-n±,

    an>0,an=-n.

    (2)(方法一:作差法)

    an+1-an=-(n+1)-(-n)

    =-1

    =-1=-1,

    >n+1,>n,

    <1.

    an+1-an<0,an+1<an.

    数列{an}是递减数列.

    (方法二:作商法)

    an>0,=<1.

    an+1<an.

    数列{an}是递减数列.

     

     

     

     

    通过正方形数,引导学生运用数学眼光,分析问题,进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

    通过具体问题的思考和分析,帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过数列概念的解读,与集合、函数概念的比较,深化对数列概念的理解发展学生数学抽象逻辑推理和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典型例题,加深学生对数列概念通项公式的理解和运用,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典型例题帮助灵活运用数列的概念解决问题,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

     

     

    三、达标检测

    1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项(  )

    A.380          B.39             C.32             D.23

    解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,an=n(n+1).

    380=19×20=19×(19+1),

    380是该数列中的第19,或者令n(n+1)=380,n=19,是整数,符合题意.故选A.

    答案:A

    2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是(  )

    A.19        B.20       C.21                D.22

    解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,,8+13=x=21,13+21=34,x=21,故选C.

    答案:C

    3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为(  )

    A. B.cos C.cosπ D.cosπ

    解析:n=4,=1≠-1,cos=cos=cos 2π=1≠-1,排除A,B;n=2,cos=cos=0≠1,排除C;经检验,D项符合题意.故选D.

    答案:D

    4.已知数列{an},an=-2n2+31n+9(nN+),{an}中的最大项为   . 

    解析:an=-2n2+31n+9=-2(n-)2+(nN+),

    7<<8,a7=128,a8=129,a7<a8,

    数列{an}中的最大项为129.

    答案:129

    5.分别写出下列数列的一个通项公式:

    (1)-1,3,-5,7,-9,…;

    (2)4,-,2,-,…;

    (3)1,1,,…;

    (4),3,,3,….

    :(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项

    公式为an=(-1)n.

    (2)将数列前4项改写成分数的形式,-,-,可得该数列的一个通项公式an=(-1)n+1.

    (3)原数列可写成,…,得该数列的一个通项公式为an=.

    (4)原数列可写成,…,

    得该数列的一个通项公式为an=.

    6.在数列{an},已知an=(nN*).

    (1)写出a10,an+1.

    (2)79是不是该数列中的项?如果是,是第几项?

    :(1)a10=;

    an+1=.

    (2)an==79,解得n=15(n=-16舍去),

    所以79是该数列中的项,并且是第15.

    7.已知数列{an}的通项公式an=(kR).

    (1)k=1,判断数列{an}的单调性;

    (2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.

    分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项anan+1的大小来确定数列的单调性;

    对于(2),可根据数列是递减数列,得出anan+1的大小关系,从而确定k的取值范围.

    :(1)k=1,an=,所以an+1=,

    所以an+1-an=>0,

    故数列{an}是递增数列.

    (2)若数列{an}是递减数列,an+1-an<0恒成立,

    an+1-an=<0恒成立.

    因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,k<0.

     

     

    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

     

     

     

     

    四、小结

    五、课时练

    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。

     

     

     

    学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识,初步掌握了函数的研究方法,在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面,有了一定的基础.况且,数列概念的学习并不需要很多的知识基础,可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生,自己主动地建构概念的意识还不够强,能力还不够高.同时,在建立概念的过程中,学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征,概括形成概念,并且用数学语言(符号)表达等方面,会表现出不同的水平,从而会影响整体的教学.

     

     

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