人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念学案设计

第五章　数　　列

5.1　数 列 基 础

5.1.1　数列的概念

必备知识·素养奠基

1.数列及其相关概念

(1)定义:按照一定次序排列的一列数称为数列.

(2)项:数列中的每一个数都称为这个数列的项.项数:组成数列的数的个数称为数列的项数.

(3)通项:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的通项.

 (1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?

提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.

(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?

提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….

2.数列的分类

3.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.

4.函数与数列的关系

数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式就是相应函数的解析式.

函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?

提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (　　)

(2){an}与an是一样的,都表示数列. (　　)

(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的. (　　)

(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.(　　)

提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.

(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.

(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.

(4)×. 第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.

2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为 (　　)

A.an=n,n∈N+       B.an=n+1,n∈N+

C.an=n+2,n∈N+      D.an=2n,n∈N+

【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N+.

3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的 (　　)

A.第9项   B.第10项   C.第11项   D.第12项

【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).

4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________. 

【解析】a8=2×8-1=15.

答案:15

关键能力·素养形成

类型一　数列的概念以及分类

【典例】1.下列说法错误的是 (　　)

A.数列4,7,3,4的首项是4

B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3

C.数列1,2,3,…就是数列{n}

D.数列中的项不能是三角形

2.已知下列数列:

①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;

②1,,,…,,…;

③1,-,,…,,…;

④1,0,-1,…,sin,…;

⑤2,4,8,16,32,…;

⑥-1,-1,-1,-1.

其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号). 

【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.

2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.

【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.

同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.

按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.

数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.

2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.

答案:①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④

【内化·悟】

1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?

提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;

(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);

(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);

(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.

2.如何判断两个数列是相同数列?

提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.

　【类题·通】

数列概念的三个注意点

(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.

(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.

(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.

【习练·破】

下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 (　　)

A.1,,,,…

B.sin ,sin ,sin ,sin ,…

C.-1,-,-,-,…

D.1,2,3,4,…,30

【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.

【加练·固】

下列数列

(1)1,2,22,23,…,263;

(2)0,10,20,30,…,1 000;

(3)2,4,6,8,10,…;

(4)-1,1,-1,1,-1,…;

(5)7,7,7,7,…;

(6),,,,….

其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号) 

【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是 (3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是 (4),常数列是(5).

答案:(1)(2)　(3)(4)(5)(6)　(1)(2)(3)　(6)　(4)　(5)

类型二　观察法写出数列的通项公式

【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为 (　　)

A.an=3n       B.an=n(n+2)

C.an=n+2n       D.an=2n+1

2.写出下列数列的一个通项公式:

(1),2,,8,,…;

(2)1,-3,5,-7,9,…;

(3)9,99,999,9 999,…;

(4),,,,…;

(5),,,,…;

(6)4,0,4,0,4,0,….

【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.

2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.

【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,

所以an=n+2n.

2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,,,,,…,所以,它的一个通项公式为an=.

(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).

(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.

(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an==.

(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.

(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=

又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.

【素养·探】

在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.

将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?

【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,

奇数项为4-1,偶数项为4+1,

故通项公式还可写为an=4+(-1)n.

【类题·通】

　(1)用观察法求数列通项公式的策略

(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.

(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.

【习练·破】

写出下列数列的一个通项公式:

(1)0,3,8,15,24,…;

(2)1,2,3,4,…;

(3)1,11,111,1 111,….

【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1

(n∈N+).

(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N+).

(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9 999,…,易知数列9,99,999,

9 999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N+).

【加练·固】

根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

(1) 3,5,7,9,11,13,…;

(2), ,,,, …;

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…;

(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,…;

(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,….

【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.

(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积

an=;

(3)an=或an=;

　(4) 将数列变形为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, …,

所以an=n+;

(5) 将数列变形为1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,…,

所以an=(-1)n+1n(n+1).

类型三　数列通项公式的简单应用

【典例】已知数列{an}的通项公式为an=.

(1)求a10.

(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.

(3)求证:0<an<1.

【思维·引】(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10.

(2)令an=,若n为正整数,则是{an}的项,否则,不是{an}的项.

(3)分离常数后可证.

【解析】(1)根据题意可得a10==.

(2)令an=,即=,解得n=3,

所以为数列{an}中的项,为第3项.

(3)由题知an==1-,

因为n∈N+,所以3n+1>3,所以0<<1,

所以0<1-<1,即0<an<1.

【类题·通】

1.利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.

2.判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.

【习练·破】

数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.

(1)-60是否是{an}中的一项?

(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?

【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,

则-60=30+n-n2.

解得n=10或n=-9(舍去).

所以-60是{an}的第10项.

(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;

30+n-n2<0,

解得n=6;0<n<6;n>6,

即n=6时,an=0;

当0<n<6且n∈N+时,an>0;

当n>6且n∈N+时,an<0.

【加练·固】

已知数列{an}的通项公式为an=.

(1)写出数列的第4项和第6项.

(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.

【解析】(1)因为an=,

所以a4==,a6==.

(2)令=,则n2+3n-40=0,

解得n=5或n=-8,注意到n∈N+,

故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.

课堂检测·素养达标

1.有下列命题:

①数列,,,,…的一个通项公式是an=;

②数列的图象是一群孤立的点;

③数列1,-1,1,-1,…与数列-1, 1,-1,1,…是同一数列;

④数列,,…,是递增数列.

其中正确命题的个数为 (　　)

A.1    B.2    C.3    D.0

【解析】选A.由通项公式知a1=≠,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.

2.数列,,2,,…的一个通项公式是 (　　)

A.an= B.an=

C.an= D.an=

【解析】选B.因为数列,,2,,…的第三项可写成,这样,每一项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=.

3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________. 

【解析】由已知得a3=51-3=.

答案:

4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an=,n∈N+,则是数列中的第________项. 

【解析】根据题意,数列{an}中,已知an=,

若=,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).

答案:4

【新情境·新思维】

大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.

【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:

2=2×1=2×12=2×,

8=2×4=2×22=2×,

18=2×9=2×32=2×,

32=2×16=2×42=2×,

50=2×25=2×52=2×,…

则该数列第18项为2×=2×92=2×81=162.