高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教学设计及反思，共10页。教案主要包含了情境引入，探究新课，典例探究，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境引入
实例分析在前面我们认识了二进制数,它是一串由“0”和“1”构成的数.计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的.计算机存储的最基本单位是“位(bit)”,每一位只能存储一个“0”或一个“1”,所以1个位可以存储0,1两种不同的信息.如果有2个位,就可以存储四种不同的信息.我们记个位共能储存的不同信息为种,写出的前5项.
【教师】首先请一位同学读题,最后一句话说的是什么含义呢?
教师引导学生分析本题的含义,并画出树状图.
【学生】通过观察、分析,理解题意,从而得到的前5项分别为. = 1 \* GB3 ①
实例分析2：《庄子》一书中有“一尺之捶,日取其半,万世不竭”的关于物质无限可分的观点.你能解释这个论述的含义吗?
【学生】思考、讨论,用现代语言叙述.
【教师】(用现代语言叙述后)如果把“一尺之捶”看成单位“1”,那么得到的数列是什么样的呢?
【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：. = 2 \* GB3 ②
【教师】大家知道，计算机病毒的传播速度是非常快的，让我们看一个这样的实例.
实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？
【学生】合作讨论，得出什么为第一轮、第二轮.从而得到此种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是. = 3 \* GB3 ③
【教师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③，说说它们有什么共同特点？
引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系我们可以发现
数列①从第2项起，每一项与它前一项的比都等于_____;
数列②从第2项起，每一项与它前一项的比都等于_____;
数列③从第2项起，每一项与它前一项的比都等于_____.
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起每一项与它前一项的比等于同一个常数.
我们把这样的数列称为等比数列这就是我们今天要研究的课题：等比数列.
设计意图：让学生明白等比数列来源于生活中的例子观察所给各个数列的共同特点，进一步归纳出等比数列的定义.
二、探究新课
1.等比数列的定义
探究1：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？
设计意图：学会类比的思想.
【学生】独立思考，类比等差数列的定义给等比数列下定义.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就称为等比数列这个常数称为等比数列的公比，公比通常用字母q表
【教师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？如果我们把第n项用表示，那么它的前一项该怎么表示，每一项与它的前一项的比怎么表示？这里的n的取值范围是什么呢？
【学生】讨论，交流.
【教师】请同学们打开教材,看看教材上是怎样给等比数列下定义的,和刚才那位同学下的定义一样吗?有什么不同?
【学生】阅读教材,仔细对比,找出不同.
等比数列的定义:一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,即恒成立,则称为等比数列,其中称为等比数列的公比.
思考:等比数列的定义中,你是否发现暗含了“"的条件?为什么?能否将“”的条件改写成“”?为什么?
设计意图:引导学生对等比数列的内涵进行再认识和进一步理解.
【学生】讨论,辨析,得到结论.暗含"”的条件,因为如果,则分子为0,而每一个分子都可能出现在分母中,则分母可能为0,无意义;,此表达式说明等比数列中的任意项都不能为0.
感悟:等比数列中,.
【教师】那么是否存在既是等差数列又是等比数列的数列呢?
【学生1】常数列.
【教师】是吗?有不同意见吗?
【学生2】非零的常数列既是等差数列,又是等比数列.练习1:判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比.
（1）;——不是
（2）;——是
（3）;——是
（4）;——是
（5）.——不是
【教师】思考:公比的取值范围是什么呢?
【学生】正数、负数,但是不能为零.
2.等比数列的通项公式
我们继续来研究一下情境中的这三个数列.
探究试着写出上面情境中三个数列的通项公式,并猜想等比数列的通项公式.
设计意图:体现由特殊到一般的思想,先写出具体实例的通项公式,使学生经历观察、归纳、猜想的过程.
【学生】通过观察,看出这三个数列的通项公式分别为 = 1 \* GB3 ①; = 2 \* GB3 ②; = 3 \* GB3 ③,并寻找这三个公式中共性的地方.把 = 1 \* GB3 ①改写成,把 = 2 \* GB3 ②改写成,把 = 3 \* GB3 ③改写成,观察,发现都有次幂的形式,而且乘号前面的数字都是所在数列的首项,乘号后面的数字都是数列的公比,所以猜想等比数列的通项公式是.
【教师】这位同学猜想得很好,那我们就来推导一下等比数列的通项公式,看看和这位同学猜想的一致吗?
探究类比等差数列通项公式的推导过程,请你写出首项为,公比是的等比数列的通项公式及其推导过程.
【教师】我们在推导等差数列的通项公式时,用过哪些方法?
【学生1】回忆用不完全归纳法和累加法推导通项公式的方法.
前面我们用了不完全归纳法得出等差数列的通项公式,现在类比等差数列的累加法推导过程,设等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义,我们有:
，
，
即.
【教师】请同学们想一想,你还有其他方法吗?
【学生2】根据等比数列的定义,我们还可以写出
，
将这个式子两边分别相乘,进而有,即.
【学生3】.亦得.
【教师】等比数列的通项公式:,注意,.
探究在等比数列的通项公式中,与的关系与以前学过的什么函数有关?
因为,
所以如果记,
则可以看出,而且
（1）当公比时,是常数函数,此时数列是常数列(因此,公比为1的等比数列是常数列);
（2）当公比时,是与的乘积,此时,的增减性既与有关,也与有关.
练习2:求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列.
（1）1,_____,9;
（2）,_____,-4;
（3）,_____,;
（4）1,_____,1.
【学生1】对于（1）,根据等比数列的定义,得出插入3后,构成等比数列.
【学生2】补充插入后,也能构成等比数列.
学生思考,得到两个答案都符合题意.
可根据 = 1 \* GB3 ①,顺利得到下面三个小题的答案.
【教师】在学习等差数列的定义后,我们也做过这样的题目,在两数中间插入一个数,使三数成等差数列,那么我们把中间这个数称为等差中项.类比等差中项的概念,我们把刚才插入的那个数称为等比中项.
3.等比中项
探究5:前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义,你能仿照等差中项,给出等比中项的定义吗?等差中项与等比中项有何差异?
【教师】类比等差中项的概念,大家给等比中项下个定义吧.
【学生】如果是等比数列,那么称为与的等比中项.
【教师】如果为与的等比中项,那么能用与表示出来吗?
【学生】根据等比中项与等比数列的定义可知,因此.由此可知.
思考:为与的等比中项的充要条件是吗?为什么?
【学生】思考后得出结论:不是,还要考虑是否为0的情况.
【教师】等差中项与等比中项有什么区别?
【学生】学生思考后得出结论:任何两个数都有等差中项,等差中项有且只有一个,而只有同号的两个数才有等比中项,而且等比中项有两个,且互为相反数.
4.等比数列的性质
探究6:设数列的通项公式为,求出,并比较它们的大小.你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗?
【学生】思考讨论后汇报:
因为,
所以.
进而得出结论:
一般地,如果是等比数列,而且正整数满足,则.
特别地,如果,则.
【教师】请给出上述猜想的证明.
证明:设等比数列的公比为,
则有,
.
因为,
所以有.
当时,即可得到.
三、典例探究
例1 判断以下数列是否是等比数列?如果是,指出公比;如果不是,说明理由.
（1）;
（2）;
（3）.
解 （1）因为,
所以是等比数列,且公比为10.
（2）因为没有意义,因此不是等比数列.
（3）因为,
所以是等比数列,且公比为.
设计意图:掌握等比数列的判定以及公比的概念.
例2 已知等比数列的首项为,公比.
（1）求.
（2）判断18是否是这个数列中的项.如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解 （1）由等比数列的通项公式可知.
（2）设18是数列中的第项,则,化简得,因为这个方程无正整数解,所以18不是数列中的项.
设计意图:通过本例题,掌握等比数列的通项公式,会求某一项以及会判断某个数是否为数列中的项.
例3 已知数列的通项公式为,判断这个数列是否是等比数列.如果是,求出公比;如果不是,说明理由.
解 因为,
所以数列是等比数列,且首项为6,公比为2.
设计意图:通过例题,掌握利用定义判定一个数列为等比数列的方法,并学会通过通项公式认识等比数列.
教师给出小结:(1)事实上,可以证明,数列是等比数列的充要条件是,其中都是不为0的常数.
（2）由任何一个非零实数的偶数次方一定是正数可知,等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号相同.
例4 已知等比数列的公比为,求证:对于任意的正整数,有.
解 设等比数列的首项为,则
两式相除,整理可得,
即.
设计意图:通过例题,使学生掌握等比数列通项公式的变形形式.
例5 已知等比数列中,,求.解设等比数列的首项为,公比为,则
解得,因此.
设计意图:通过例题,使学生学握利用解方程组思想求等比数列的通项公式的方法.
例6 如果数列中,在时恒成立,求证:是等比数列.
证明 根据题意有
因此,从第2项起,每一项与它的前一项的比都相等,所以是等比数列.
小结:通过例6得到判定等比数列的又一个方法:如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,那么这个数列一定是等比数列.
设计意图:通过本例题,使学生掌握利用等比中项证明等比数列的方法.
例7 在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.
解 方法一:依题意,,由等比数列的通项公式,得,解得.
当时,插入的3个数分别为；
当时,插入的3个数分别为；
因此,插入的3个数分别为或.
方法二:因为等比数列共有5项,即.
又因为,所以,
即.又因为要与同号,因此.
类似地,有,而且与同号.因此
当时,；
当时,；
因此,插入的3个数分别为或.
四、课堂小结
师生共同总结，本节课学习了以下内容：
1.等比数列的定义
2.等比数列的通项公式
3.等比中项
4.等比数列的性质.
五、布置作业
1.教材第34~35页练习A第1~4题2课后思考讨论，完成教材第34页“探索与研究”.
板书设计
等比数列
1.等比数列的定义
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,即恒成立,则称为等比数列,其中称为等比数列的公比
2.等比数列的通项公式:
3.等比中项
如果是等比数列,那么称为与的等比中项
4.等比数列的性质
一般地,如果是等比数列,而且正整数,满足,则
特别地,如果,则
5.例题讲解
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例7