人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教案，共12页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
1. 理解数列及其有关概念，了解数列的分类和表示方法.
2. 能根据数列的通项公式写出它的具体项，并会推导简单数列的通项公式.
3. 体会数列与函数的联系，会用函数的思想研究数列.
教学重难点
教学重点：数列的概念、数列的通项公式.
教学难点：用函数的思想研究数列.
教学过程：
课堂导入
教师：①我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
学生翻译：一尺长的木棍，每天截去一半，永远也截不完.
教师：“万世不竭”的意思指的是上面的每一个数都不可能为0.庄子以此表达对事物无限可分性的认识，体现了古代哲学家对微观世界的深入思考。哲学与数学在历史上有着深厚的联系，二者相辅相成，共同推动了人类对真理和知识的探索。你能用一列数来表达这句话的含义吗？
【设计意图】选取庄子名言引出数列，通过跨学科融合，激发学生学习兴趣，体现数学的德育功能。
新知探究
1.数列及其相关概念.
学生：如果木棍初始长度为1，则每天截去一半之后木棍的长度分别是：
12，14，18，…
教师继续展示例子：
②2 016年至2 021年，我国每年的专利申请受理数（精确到万）分别为：
346，370，432，438，519，524.
③为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，如所示是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对应的付款总金额数分别为：
3 000，3045，3 090，3 180，3 360.
教师：请观察上述几组数据，它们有什么共同特征？
学生：均是一列数，还有一定的顺序.
教师：①②③中的数字能否交换位置？
学生：不能交换位置，若交换则与问题的实际意义不相符.
教师：你能用简洁的语言描述这些数据吗？
学生讨论，组织语言，教师揭示数列的定义：像这样，按照一定次序排列的一列数，称为数列.
教师继续引导学生认识数列中项的相关概念：（1）数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项……
（2）组成数列的数的个数称为数列的项数.
（3）一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列，有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项.
教师：现在认识了数列，你能举出几个关于数列的例子吗？
学生独立思考后讨论，进行汇报交流后，教师举例：
（1）班上50名同学由轻到重的体重数依次表示出来就是数列.
（2）正整数数列：1，2，3， 4，5，…
（3）从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是：
3，4，5，6，7，8，9.
（4）假设一张纸厚度为 1，对折一次变 2，对折两次变 4…可以得到数列：
1，2，4，8，16，32， 64，…
【设计意图】从具体情境出发，让学生直观感知“按顺序排列”这一数列的核心特征，感受数列的广泛存在，体会学习数列的必要性.
2.数列的一般表示方法.
教师：数列中的项和它的序号是什么对应关系？能否用式子表示？一起来用最后一个例子为例来研究这一问题。
学生：因为数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以
写成a1， a2，… a3 ，…an， …，
其中an表示数列的第n项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即(anϵN+)，称为数列的通项，此时，一般将整个数列简记为{an}，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母.
教师追问：在数列中，符号的{an}与an所表示的意义是否相同？
学生：{an}表示数列，an仅表示数列中的第n项这一个数值.
教师：数列的表示方法{an}和集合很相似，二者有没有什么联系或区别呢？展示课件：思考：数列与集合有什么区别？
引导学生从概念和性质出发，借助表格、举例清晰地辨析数列和集合的区别：
【设计意图】通过辨析和对比，明确数量的概念，进一步强化“顺序性”这一数列的关键特征，避免学生把与已学的集合概念混淆，提升学生的概念辨析能力.
3.数列的通项公式
思考：（1）用an表示由正整数1，2，3，…的倒数排成的数列
1，12， 13，…，
则a1 =1， a2=12， a3 =_____
（2）如果用{bn}表示当n分别等于1，2，3，…时，(−1)n的值排成的数列
−1，1，−1，…，
则b1 =−1，b2 =1，b3 =________.
教师提问：你能写出数列an表示中an与n的关系吗？数列bn 中bn与n的关系呢？
学生：an是n的倒数，即an=1n；bn是−1的n次方，bn=(−1)n.
教师归纳：一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。
教师：根据两个数列的通项公式，你能否写出后面的项？
学生：当n=6时，an=1n=16 ；当n=6时，bn=(−1)n=(−1)6=1.
教师总结：根据数列的通项公式，能够写出这个数列的任意一项.
【设计意图】通过具体数列的项与序号的对应关系，让学生自主发现规律，进而抽象出通项公式的概念，体现“从特殊到一般”的思维过程.
典例分析
例1 根据以下数列的通项公式，写出对应数列的第2项和第5项.
（1）an=n2−12n−1；（2）bn=sinnπ2.
解： （1）由通项公式可知
a2=22−12×2−1=1，a5=52−12×5−1=249 =83.
（2）由通项公式可知
b2=sin2π2=sinπ=0，b5=sin5π2=sinπ2=1.
例2 写出以下各数列an的一个通项公式.
（1）2，4，6，8，10 ，…； （2）1，3，5，7，9，…；
（3）0，2，0，2，0，…； （4）−23，415，−635，−863，−1099 ，….
解：（1）每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an=2n；
（2）数列每一项都比（1）中数列的对应项小1，数列的一个通项公式为an=2n−1；
（3）因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，所以它的一个通项公式为an=0，n为奇数，2，n为偶数. 或看作由数列−1，1，−1，…与
数列1，1，1，…的对应项相加得到的，可以写成an=(−1)n+1.
（4）忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10 ，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，所以它的一个通项公式为an=(−1)n 2n4n2−1.
教师：所有数列都能写出通项公式吗？试着写一写下面数列的通项公式.
2，3，5，7，11，13，17，19，23 ，…
学生尝试得出结论：不能写出通项公式.
教师：我们在课本上学到的那些有规律、能写出漂亮公式的数列，在数学的浩瀚海洋中其实只是 “凤毛麟角”。绝大多数数列是杂乱无章的，或者其规律极其复杂，无法用初等函数（加减乘除、三角函数、指数对数等）组合成一个简单的公式来表达。上面的例子就是最著名的 “无法写出通项公式” 的例子之一——质数数列（素数数列） 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， ...数学家们研究了几千年，至今没有找到一个能直接计算出第 n 个质数的简单公式。我们只能通过 “筛法” 一个一个地找出来，而不能通过公式 “算” 出来。
归纳：通项公式的形式不是唯一的，不是所有数列都能写出通项公式.
【设计意图】应用迁移，能根据数列的通项公式写出它的具体项，会根据数列的项推导简单数列的通项公式，通过具体实例理解通项公式的形式不是唯一的，不是所有数列都能写出通项公式.
新知探究
4.数列与函数的关系.
教师：通项公式在数列研究中的桥梁作用—— 它将 “位置” 与 “数值” 紧密地联系在了一起。数列的通项公式揭示了项aₙ与序号n之间的对应关系，我们知道，函数是定义域到值域的对应关系，数列中的项aₙ与序号n之间的对应关系，是否符合函数的定义？如果符合，数列的定义域、值域分别是什么？
思考：（1）已知函数fx=−12x+52，你能根据这个函数构造出一个数列吗?
（2）你能总结出一般数列与函数的关系吗？
解：（1）在函数fx=−12x+52中，分别令x=1，2，3，…，n，…，就可以得到数列
2，32，1，…，−12n+52，…，
即这个数列的通项公式是aₙ= fn=−12n+52.
归纳：数列aₙ可以看成定义域为正整数集的子集的函数；
数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值；
数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
教师：类比函数的表示方法，你知道数列有哪些表示方法吗？
学生1：数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.
学生2：函数常用的表示方法有列表法、图像法、解析式法，数列也应该有类似的表示方法。
教师：数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示.
教师：画出数列aₙ= fn=−12n+52的图像，你有什么发现？
学生：数列的图象是一列孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在?轴右侧；点的个数取决于数列的项数；从图象中可以直观看出数列的项随着序号由大到小变化而变化的趋势.
教师：从图象上看，这个数列各项是递减的，我们称它是一个递减数列，类比函数的单调性，如何定义数列的单调性？
学生讨论组织语言汇报：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；
各项都相等的数列称为常数数列（简称为常数列），
常数数列的通项公式为an=C.
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列称为摆动数列.
教师举例阐释数列的单调性，提问：如何把文字语言转化为数学的符号语言？
【设计意图】联系旧知，将数列与已学的函数概念关联起来，帮助学生理解数列的函数本质，实现知识的迁移与整合。抓住知识本质，平面直角坐标系的直观展示，能让学生清晰看到数列的离散性特征，区分数列与连续函数的差异，突破教学难点. 同时也通过从函数的视角研究数列，类比函数的单调性研究数列的单调性.
典例分析
例3 已知函数f(x)=x−1x，设数列an的通项公式为an= f(n)，其中n∈N+·
（1）求证：0≤an≤1;
（2）判断an是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解：（1）由题意可知， an= fn=n−1n=1−1n，
又n∈N+，所以0n≥1，所以1n(n+1)>0，从而an+1−an >0，即an+1>an.
因此an是递增数列.
（教师提示：判断数列的单调性需要回归数列单调性的定义，判断数列的单调性的常用方法有作差法. ）
方法二（函数法）：设x1和x2 ∈(0，+∞)， x1an对任意n∈N+都成立，即an是递增数列.
方法二：∵an=2nn+1>0
∴an+1an=2n+1n+22nn+1=n+12n(n+2)=n2+2n+1n2+2n>1，
∴an+ 1>an，对任意n∈N+都成立，即{an}是递增数列.
学生小组互助订正，教师指导进行讲解.
【设计意图】练习题目分层设计，从数列的基本概念和通项公式的简单应用，判断题强化概念辨析，融合函数视角和数列视角判断数列的单调性，提升学生的归纳概括能力。小组互助订正的形式，能充分发挥学生的主体作用，培养合作交流能力。
课堂总结
师生活动：回顾数列的概念及其表示方法的学习过程，包括本节课的主要内容和主要思想方法.
数列的概念
1. 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列是特殊的函数.
2. 数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项……有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项.
3.组成数列的数的个数称为数列的项数.
4.数列的分类：（1）按项数分：有穷数列和无穷数列.
（2）按项与项之间的大小关系（单调性）：递增数列、递减数列、常数数列（常数列）、摆动数列.
5.判断数列的单调性的方法：作差法；作商法；函数法.
【设计意图：总结本节课的主要内容及思想方法.】
布置作业
课后A组、B组习题
【设计意图】 巩固课堂所学的基础知识和基本技能.
板书设计
对数的概念
1.数列的有关概念
2.数列的符号表达
3.数列与集合、函数的关系
4.数列的通项公式
5.数量的单调性及判断方法
【设计意图】清晰呈现本节课的知识框架，帮助学生快速梳理核心内容，构建系统的知识体系.
教学反思
本课重视学生学习数列的概念及其表示方法，关注学生在对数列概念与其表示方法中对所呈现的问题情境是否充满兴趣.在新知探究部分，注重联系旧知，类比函数、集合，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象法等表示数列，了解数列是一种特殊的函数.