高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念学案

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最新课程标准
1.理解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．
2．掌握数列的通项公式及应用．(难点)
3．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
[教材要点]
知识点一 数列的概念及一般形式
数列的项与项数一样吗？
[提示] 不一样．
知识点二 数列的分类
知识点三 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个函数式________来表示，那么这个________叫做这个数列的通项公式．
eq \x(状元随笔) 数列一定有通项公式吗？
[提示] 不一定．
知识点四 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
eq \x(状元随笔) 数列所对应的图像是连续的吗？
[提示] 不连续．
[基础自测]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n2＋n)，那么eq \f(1,10)是它的( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
2．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项( )
A．380 B．392
C．321 D．232
3．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．
题型一 数列的概念及分类
例1 已知下列数列：
①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；
②1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
③1，－eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，eq \f(－1n－1·n,2n－1)，…；
④1,0，－1，…，sineq \f(nπ,2)，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
eq \x(状元随笔) 紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解．
方法归纳
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
跟踪训练1 给出下列数列：
①2011～2018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
②无穷多个eq \r(3)构成数列eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)， eq \r(3)，….
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
题型二 由数列的前几项求通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式：
(1)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)，…；
(2)9,99,999,9 999，…；
(3)eq \f(22－1,1)，eq \f(32－2,3)，eq \f(42－3,5)，eq \f(52－4,7)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，….
eq \x(状元随笔) 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
方法归纳
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1eq \f(1,2)，2eq \f(2,3)，3eq \f(3,4)，4eq \f(4,5)，…；
(4)1,11,111,1 111，….
题型三 数列的单调性及应用
eq \x(状元随笔)
1．数列eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？eq \f(255,256)是否为该数列中的一项？为什么？
[提示] 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝eq \f(2n－1,2n)，当n＝7时，a7＝eq \f(27－1,27)＝eq \f(127,128)，若eq \f(255,256)为该数列中的一项，则eq \f(2n－1,2n)＝eq \f(255,256)，解得n＝8，所以eq \f(255,256)是该数列中的第8项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
例3 已知函数f(x)＝x－eq \f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
eq \x(状元随笔) 先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．
方法归纳
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法；
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数k的取值范围．
在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
跟踪训练3 已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前三项；
(2)判断数列{an}的单调性．
题型四 数列的最大(小)项的求法
例4 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
方法归纳
求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1,ak≥ak＋1))对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．
跟踪训练4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
教材反思
1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．
2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．
易错点 要注意以下两个易错点：
1．并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
eq \x(温馨提示：请完成课时分层作业一)
第五章 数列
5．1 数列基础
5．1.1 数列的概念
新知初探·自主学习
知识点一
每一个数 第一位 {an}
知识点二
有限 无限 大于 小于 相等 大于
知识点三
n an＝f(n) 公式
知识点四
从小到大依次取正整数值 列表 图像
[基础自测]
1．解析：设eq \f(1,10)是数列中的第n项，则eq \f(1,10)＝eq \f(2,n2＋n)，解得n＝4或n＝－5.∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4.
答案：A
2．解析：因为19×20＝380，
所以380是数列{n(n＋1)}中的第19项．应选A.
答案：A
3．解析：当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：A
4．解析：因为{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，所以①错误；②正确；数列1,2,3,4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．
答案：②
课堂探究·素养提升
例1 解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
答案：①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
跟踪训练1 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．
答案：① ②③ ① ② ③
例2 解析：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以，它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)(n∈N＋)．
(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝eq \f(n＋12－n,2n－1)(n∈N＋)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·eq \f(1,nn＋1)(n∈N＋)．
跟踪训练2 解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为eq \f(n,n＋1)，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n2＋2n,n＋1)(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为eq \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1,9)(10n－1)(n∈N＋)．
例3 解析：(1)∵f(x)＝x－eq \f(1,x)，f(an)＝－2n，
∴an－eq \f(1,an)＝－2n，即aeq \\al(2,n)＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±eq \r(n2＋1)，
∵an>0，∴an＝eq \r(n2＋1)－n.
(2)法一(作差法)
∵an＋1－an＝eq \r(n＋12＋1)－(n＋1)－(eq \r(n2＋1)－n)
＝eq \r(n＋12＋1)－eq \r(n2＋1)－1
＝eq \f([\r(n＋12＋1)－\r(n2＋1)][\r(n＋12＋1)＋\r(n2＋1)],\r(n＋12＋1)＋\r(n2＋1))－1
＝eq \f(n＋1＋n,\r(n＋12＋1)＋\r(n2＋1))－1，
又eq \r(n＋12＋1)>n＋1, eq \r(n2＋1)>n，
∴eq \f(n＋1＋n,\r(n＋12＋1)＋ \r(n2＋1))<1.
∴an＋1－an<0，即an＋1法二(作商法)
∵an>0，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋12＋1)－n＋1,\r(n2＋1)－n)
＝eq \f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)<1.
∴an＋1跟踪训练3 解析：(1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
例4 解析：法一：∵an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n·eq \f(9－n,11)，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
即a9＝a10＝eq \f(1010,119).
法二：设ak是数列{an}的最大项．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))k≥k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))k－1，,k＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))k≥k＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))k＋1，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10k＋10≥11k，,11k＋11≥10k＋20，))
得9≤k≤10，
所以k＝9或10，
即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝eq \f(1010,119).
跟踪训练4 解析：(1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，可知对称轴方程为n＝eq \f(5,2)＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二：设第n项最小，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an＋1，,an≤an－1，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，,n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.))
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
类别
含义
按项的
个数
有穷数列
项数________的数列
无穷数列
项数________的数列
按项的
变化趋
势
递增数列
从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
常数列
各项都________的数列
摆动数列
从第2项起，有些项________它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量______________时对应的一列函数值
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)________法；(3)________法