人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念导学案，共8页。学案主要包含了知识讲解，随堂练习，本课小结等内容，欢迎下载使用。
学习目标
1. 理解数列及其有关概念，了解数列的分类和表示方法.
2. 能根据数列的通项公式写出它的具体项，并会推导简单数列的通项公式.
3. 体会数列与函数的联系，会用函数的思想研究数列.
引入课题
我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之捶，日取其半，万世不竭.”
问题：如果木棍初始长度为1，则每天截去一半之后木棍的长度分别是多少？

二、知识讲解
1.数列的概念
（1）如果木棍初始长度为1，则每天截去一半之后木棍的长度分别是：
_____12，14，18，…
（2）2 016年至2 021年，我国每年的专利申请受理数（精确到万）分别为：
346，370，432，438，519，524.
（3）为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，如所示是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对应的付款总金额数分别为：
3 000，3045，3 090，3 180，3 360.
问题1：这些例子有什么共同特征？这些例子中的数字能否交换位置？
均是一列数，还有一定的顺序；
不能交换位置，若交换则与问题的实际意义不相符。
知识点：按照一定次序排列的一列数，称为 数列 .
（1）数列中的每一个数都称为这个数列的 项 ，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项……
（2）组成数列的数的个数称为数列的 项数 .
（3）一般地，项数有限的数列称为 有穷数列 ，项数无限的数列称为 无穷数列 ，有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 末项 .
问题2：你能举出几个关于数列的例子吗？
2.数列的一般表示方法.
假设一张纸厚度为 1，对折一次变 2，对折两次变 4…可以得到数列：
1，2，4，8，16，32， 64，…
问题1：数列中的项和它的序号是什么对应关系？能否用式子表示？
知识点：因为数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以
写成 a1， a2，… a3 ，…an， …，
其中 an 表示数列的第n项（也称n为an 的序号，其中n为正整数，即(anϵN+)，称为数列的 通项 ，此时，一般将整个数列简记为 {an} ，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母.
注意： {an} 表示数列， an 仅表示数列中的第n项这一个数值.
问题2：数列与集合有什么区别？（列表整理）
3.数列的通项公式
问题1：（1）用an表示由正整数1，2，3，…的倒数排成的数列
1，12， 13，…，
则a1 =1， a2=12， a3 =_____
（2）如果用{bn}表示当n分别等于1，2，3，…时，(-1)n的值排成的数列
-1，1，-1，…，
则b1 =-1，b2 =1，b3 =________.
问题2：你能写出数列an表示中an与n的关系吗？数列bn 中bn与n的关系呢？
an是n的倒数，即an=1n；bn是-1的n次方，bn=(-1)n.
知识点：一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用 an=f(n) 来表示，其中 f(n) 是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个 通项公式 .
问题3：根据两个数列的通项公式，你能否写出后面的项？
当n=6，an=1n=16 ；当n=6，bn=(-1)n=(-1)6=1.
小结： 根据数列的通项公式，能够写出这个数列的任意一项.
例1 根据以下数列的通项公式，写出对应数列的第2项和第5项.
（1）an=n2-12n-1；（2）bn=sinnπ2.
解： （1）由通项公式可知
a2=22-12×2-1=1，a5=52-12×5-1=249 =83.
（2）由通项公式可知
b2=sin2π2=sinπ=0，b5=sin5π2=sinπ2=1.
例2 写出以下各数列an的一个通项公式.
（1）2，4，6，8，10 ，…； （2）1，3，5，7，9，…；
（3）0，2，0，2，0，…； （4）-23，415，-635，-863，-1099 ，….
解：（1）每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an=2n；
（2）数列每一项都比（1）中数列的对应项小1，数列的一个通项公式为an=2n-1；
（3）因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，所以它的一个通项公式为an=0，n为奇数，2，n为偶数. 或看作由数列-1，1，-1，…与
数列1，1，1，…的对应项相加得到的，可以写成an=(-1)n+1.
（4）忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10 ，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，所以它的一个通项公式为an=(-1)n 2n4n2-1.
小结：通项公式的形式不是唯一的，不是所有数列都能写出通项公式.
4.数列与函数的关系.
问题1：（1）已知函数fx=-12x+52，你能根据这个函数构造出一个数列吗?
（2）你能总结出一般数列与函数的关系吗？
解：（1）在函数fx=-12x+52中，分别令x=1，2，3，…，n，…，就可以得到数列2，32，1，…，-12n+52，…，
即这个数列的通项公式是aₙ= fn=-12n+52.
归纳：数列aₙ可以看成定义域为 正整数集的子集 的函数；
数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的 函数值 ；
数列的通项公式也就是相应函数的 解析式 .
问题2：类比函数的表示方法，数列有哪些表示方法？
通项公式法、列表法、图象法
问题3：画出数列aₙ= fn=-12n+52的图像，你有什么发现？
数列的图象是一列孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在?轴右侧；点的个数取决于数列的项数；
从图象中可以直观看出数列的项随着序号由大到小变化而变化的趋势.
5.数列的单调性
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；
各项都相等的数列称为常数数列（简称为常数列），常数数列的通项公式为an=C.
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列称为摆动数列.
把文字语言转化为数学的符号语言：
递增数列： anan+1(n∈N+)
常数数列：an=an+1(n∈N+)
例3 已知函数f(x)=x-1x，设数列an的通项公式为an= f(n)，其中n∈N+·
（1）求证：0≤an≤1;
（2）判断an是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解：（1）由题意可知， an= fn=n-1n=1-1n，
又n∈N+，所以0n≥1，所以1n(n+1)>0，从而an+1-an >0，即an+1>an.
因此an是递增数列.
（教师提示：判断数列的单调性需要回归数列单调性的定义，判断数列的单调性的常用方法有作差法. ）
方法二（函数法）：设x1和x2 ∈(0，+∞)， x1an对任意n∈N+都成立，即an是递增数列.
方法二：∵an=2nn+1>0
∴an+1an=2n+1n+22nn+1=n+12n(n+2)=n2+2n+1n2+2n>1，
∴an+ 1>an，对任意n∈N+都成立，即{an}是递增数列.
四、本课小结
我的收获：