数学选择性必修 第三册等差数列教学设计

这是一份数学选择性必修 第三册等差数列教学设计，共8页。教案主要包含了创设情境,引入新课，观察归纳,形成定义，举一反三,巩固定义，利用定义,导出通项，深化概念,研究性质，应用通项,解决问题，归纳总结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
一、创设情境,引入新课
有下面三个问题:
（1）从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,得到的数列是什么?
（2）水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为,自然放水每天水位降低,最低降至.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位单位:组成一个什么数列?
（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加人本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和本金利率存期).按活期存人10000元钱,年利率是计算,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:元)组成一个什么数列?
教师:以上三个问题中分别䔆涵着三个数列,你能写出来吗?
学生:（1）0,;
（2）;
（3）.
设计意图:从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般,激发学生学习探究知识的自主性,培养学生的归纳能力.
二、观察归纳,形成定义
观察上述三个数列:
（1）;
（2）;
（3）.-144,10
思考1 上述数列有什么共同特点?
思考2 根据上数列的共同特点,你能给出等差数列的一般定义吗?
思考3 你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?
教师引导学生思考这三个数列具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出等差数列概念.
学生分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律,这些数都是按照一定顺序排列的,等等,只要合理教师就要给予肯定.
师生共同归纳完善等差数列的定义:
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,即恒成立,则称为等差数列,其中称为等差数列的公差.
另外,教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.
设计意图:通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性,使学生体会到等差数列的规律和共同特点.一开始㧓住“从第2项起,每一项与它的前一项之差等于同一常数",落实对等差数列定义的准确表达.
三、举一反三,巩固定义
判定下列数列是否为等差数列?若是,指出公差;如果不是,说明理由.
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题:
公差等于每一项(从第2项起)与它的前一项之差,要防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数、负数,也可以是.
设计意图:强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用.
四、利用定义,导出通项
问题1 已知等差数列:,如何求第200项?
问题2 已知一个等差数列的首项是,公差是,如何求出它的任意项呢?
教师出示问题，放手让学生分组探究，然后选择列式具有代表性的学生上黑板板演或投影展示.根据学生在课堂上的其体情况进行评价,引导、总结推导方法,让学生体会归纳思想以及累加求通项的方法,初歩尝试解决数列问题的常用方法.
对于问题2,求解方法如下.
方法一:一般地,奴果等差数列的首项是,公差是,那么根据等差数列的定义有,即,从而
，
，
，
由此可归纳出等差数列的通项公式为1).
方法二：注意到由等差数列的定义可得
，
，
将这个式子两边分别相加,则有1),因此同样可以得到等差数列的通项公式为.
教师指出等差数列的通项公式并说明：只要确定了等差数列的首项与公差，就可以写出等差数列中的每一项.
设计意图:引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定，赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.同时鼓励学生自主解答，培养学生的运算能力.
思考 在等差数列的通项公式中, 与的关系与以前所学过的什么函数有关?
教师给出思考问题,学生先独立思考,然后小组讨论汇报:
因为,所以，如果记,则可以看出,而且有
（1）当公差时,是常数函数.此时数列是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);
（2）当公差时,是一次函数,而且的增减性依赖于公差的符号,因此,当时，是递减数列.
这也说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.
设计意图：引导学生思考等差数列与函数的关系，让学生尝试从函数的角度来理解等差数列，提高学生对等差数列的认识,完善对知识间内在联系的认知,发展逻辑推理核心素养.
五、深化概念,研究性质
1.等差中项
导学:如果在与中间插入一个数,使成等差数列,那么应满足什么条件?
由定义得,即.
反之,若,则,
由此可得成等差数列.
我们来给出等差中项的概念:
如果是等差数列,那么称为与的等差中项.
小结:根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列:中,5是3与7的等差中项,也是1和9的等差中项;9是7和11的等差中项,也是5和13的等差中项.
2.性质
思考:设数列的通项公式为,求出,并比较它们的大小.你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗?
教师给出思考问题,学生小组讨论并汇报:
因为,
,
所以.
结论:一般地,如果是等差数列,而且正整数,满足,则.特别地,如果,则.
教师将这个结论的证明作为练习让学生完成.
六、应用通项,解决问题
例1 判断以下数列是否是等差数列?如果是,指出公差;如果不是,说明理由.
（1）;
（2）;
（3）.
解 （1）因为,所以是等差数列,且公差为6.
（2）因为,所以,因此不是等差数列.
（3）因为,所以是等差数列,且公差为一2.
小结:由,所以也可以通过检查是否恒成立来判断数列是否是等差数列.
设计意图:掌握利用等差数列的定义判断等差数列的方法,以及公差的概念.
例2 已知等差数列,
（1）求这个数列的第10项，
（2）是不是这个数列中的项?呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解 （1）记数列为,则由题意知,因此数列的通项公式为
当时,有,因此第10项为.
（2）设是数列中的第项，则,解得,所以是数列的第23项.
设是数列中的第项，则,解得,可知不差数列中的项.
设计意图：巩固掌握等差数列的通项公式
例3 已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列.如果是，求出公差；如果不是，说明理由.
解 因为.所以数列是等差数列.且公差为3.
设计意图:巩固等差数列的函数特性.
教师引导得出：数列是等差数列的充要条件是,其中是常数.
例4 已知等差数列的公差为，求证：对于任意的正整数,有.
证明 设等差数列的首㞺为,则
两式相减,整理可得,即.
思考 当时，由例4可得，据此你能找出的几何意义吗？
小结：事实上，d的几何意义是一次函数图像上两点连线的斜率.
设计意图：主要是熟悉通项公式及其变形，使学生从中体会公式与方程之间的联系，初步认识用“基本量法”解决等差数列问题.
例5 已知等差数列中，，求.
解 设等差数列的首项为,公差为,则解得.因此.
问题 对于例5，你还有其他解法吗？
例6 已差数列中,在时恒成立,求证:是等差数列.
证明 因为,所以,因此,从第2项起,每一项与它的前一项的差都相等,所以是等差数列.
小结:如果一个数列中,中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项,那么这个数列一定是等差数列.
例7 如图所示,已知某梯子共有5级,从上往下数,第1级的宽为,第5级的宽为,且各级的宽度从小到大构成等差数列,求其余3级的宽度.
解 方法一:依题意,.
设公差为,则,解得.
因此.
因此,其余3级的宽度分别为.
方法二:因为等差数列为,共5项.又因为,所以,即.
类似地,有,所以.因此,其余3级的宽度分别为.
七、归纳总结
1.一个定义：等差数列的定义及定义表达式
2.一个公式：等差数列的通项公式
3.两个应用：定义和通项公式的应用
4.两个性质：等差中项和等和性质
教师让学生思考整理，找几个学生代表发言，最后教师给出补充
设计意图：引导学生联想本节课所涉及的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念及性质，并灵活运用基本概念和性质.
八、作业布置
教材第21页练习A第1~5题.
板书设计
教数学研讨
本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象、由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发引导方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高了课堂教学效率.
等差数列
1.等差数列的定义
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,即恒成立,则称为等差数列,其中称为等差数列的公差
2.通项公式:
3.等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项
4.等差数列的性质
一般地，如果是等差数列，而且正整数s,t,p,q满足，则，特别地，如果，则
5.例1~例7
6.小结
7.作业