高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列的概念教案设计，共8页。教案主要包含了以典引趣，激发探究，来源生活，创设情境，合作交流，整合结果，典例分析，深化理解，梳理小结，承前启后，布置作业，巩固新知.等内容，欢迎下载使用。
“大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从花瓣的朵数到树木的生长模式……它们各有其发展的方式和特点”.
教师用课件展示大自然中具有数学规律的图形，再用文字说明来揭示图形的这种规律与数列之间的关系，并通过视频欣赏神奇的斐波那契数列.
设计意图：激发学生学习和探究的兴趣，使原本枯燥无味的课堂变得生动活泼，让学生在贴近生活的实际问题中探索新知识，体会数学是生动的，数学是源于生活的.
二、来源生活，创设情境
1.生活中的数列
如图，拉面在制作过程中由2根依次变为4根、8根16根……
2.体育中的数列
我国体育健儿从1988年汉城奥运会到2016年里约热内卢奥运会获得的金牌数如下图：
设计意图：从生活中的不同领域让学生感受到数列的丰富多彩、大量存在，体会数列是刻画事物发生、发展规律的数学模型（有序性），同时通过两个实例为引入数列的相关概念做好铺垫.
三、合作交流，整合结果
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列.
2.数列中的几个概念
（1）数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项…
（2）组成数列的数的个数称为数列的项数.
问题：前面提到的两个数列各有什么特点？我们可以将它们如何进行分类？
学生讨论后回答.
3.数列的分类
按数列的项数是有限或无限，可分为有穷数列或无穷数列.
4.数列的通项和通项公式
因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成,其中表示数列的第项(也称为的序号,其中为正整数,即),称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为,这里的小写字母也可以换成其他小写英文字母.
教师让学生识记数列通项的概念,之后给出2个练习题.
（1）如果用表示由正整数的倒数排成的数列,那么数列的前三项分别是多少?
（2）如果用表示当分别等于时,的值排成的数列,那么数列的前三项分别是多少?
学生完成这2个练习题后,教师继续提问:你能写出（1）中的与的关系出?（1）中的与的关系呢?
学生小组讨论后,得出答案:.
教师提问:观察这两个式子,像我们之前学过的哪个内容?
有的学生会说像函数,说不出来的,教师要给出提示,随后教师给出通项公式的概念.
一般地,如果数列的第项与之间的关系可以用来表示,其中是关于的不含其他末知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
教师提问：有了数列的通项公式，我们可以求数列的哪些项了？如何求？
学生思考后回答：有了数列的通项公式后，数列中的任何一项就都可以求了.求第几项，就把n换成几代入到通项公式中计算即可.
设计意图：通过对给定数列的前几项的观察、归纳、类比、联想，分析出项an和项数n之间的关系，这对学生的能力要求比较高，也是教学的难点，解决难点的关键就是在教师的指导下，采用从特殊到一般的思维模式，通过特殊的实例，充分发挥学生的主体作用，在观察比较中揭示数列中的项an和项数n之间对应关系的变化规律，明确研究数列通项公式的意义，本部分最后提出通项公式和函数相似性的内容，为接下来探究数列与函数的关系做了铺垫
5.数列与函数的关系
教师出示2个思考问题：
（1）已知函数,你能根据这个函数构造出一个数列吗?
（2）你能总结出一般数列与函数的关系吗?学生小组讨论后派代表回答,教师订正,给出正确答案.
在函数中,分别令,,就可以得到数列,即这个数列的通项公式是.
事实上，数列可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.
教师提问：你能根据上述内容，写出上面（1）中数列的直观表示吗？试试看！
生独立完成，全班核对答案（答案如下图）.
教师提问：我们发现了数列与函数的关系，那么函数函数和减函数，对于数列也有类似的概念吗？如果个例子吗？
生仿照函数中的增函数和减函数的概念，试着总结类似的数列中的概念：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列
教师提出思考问题：除了递增数列和递减数列，还有没有其他类型的数列呢？你能举出具体例子吗？学生尝试写出非递增数列和递减数列类型的数列组把写出的数列汇总，再进行分类，教师最后总结各项都相等的数列称为常数数列，如1,1,1,1个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项，这样的数列称为摆动数列，如12,1,2….
设计意图：用函数与数列进行类比，包括从定义域、增减性和图像这几个角度进行，让学生体会数列与函数之间的关系通过熟悉的知识来理解新知识，降低学习的难度，增加学生的学习兴趣，同时也能提升学生的数学抽象核心素养.
四、典例分析，深化理解
例1 根据以下数列的通项公式，写出对应数列的第2项和第5项.
（1）;(2).
解 （1）由通项公式可知
（2）由通项公式可知
.
教师利用课件出示题目,找学生口答.
设计意图:通过利用通项公式求数列中的指定项,加深对数列通项公式的认识,提升数学运算核心素养.
例2 写出以下各数列的一个通项公式.
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
解 （1）观察数列的前5项可知,每一项都是序号的2倍,因此数列的一个通项公式为.
（2）因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1,因此数列的一个通项公式为.
（3）因为数列的第项都是0,而第项都是2,因此它的一个通项公式为
（4）忽略正负号时,数列每一项的分子构成的数列是,其中每一个数都是序号的2倍;数列每一项的分母都是分子的平方减去1.又因为负号、正号是交替出现的,因此它的一个通项公式为.
完成例2后教师提问:你能写出(3)中数列其他形式的通项公式吗?试着写一写.
学生小组讨论,完成解答,如也符合条件.由此发现有的数列的通项公式不是唯一的.
设计意图：通过例题对刚才所讲的概念进行及时巩固与消化，尤其是第（3）题，学生可能不会将几种情况都写出来，教师可以根据不同学生的书写情况进行展示、点评、总结与补充，在本环节，以小组合作学习为主，学生同伴互助，教师个别指导，学生上台表述，生生之间分享成果，将知识与方法进行升华，做到了将课堂还给学生.
例3 已知函数,设数列的通项公式为,其中.
（1）求证:;
（2）判断是递增数列还是递减数列,并说明理由.
解 （1）由题意可知,
又因为,所以,
因此,即.
（2）因为,
又因为,所以,
从而,即.
因此是递增数列.
学生完成本题后教师提问:第(2)题还有没有其他的解法?
提示学生还可以从在上是增函数来进行说明.
设计意图:通过本题的解答体会数列与函数的关系以及数列单调性的证明方法，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
五、梳理小结，承前启后
教师提问：本节课学习了哪些知识？
学生讨论后回答：本节课学习了数列的概念、数列的通项和数列与函数的关系这三部分内容.其中求数列的某项和根据规律写出数列的通项公式是重点内容.
设计意图：引导学生回顾整堂课的结构和知识的脉络，使学生逐步养成整理知识和提炼思想方法的习惯，不断提高运用数学语言的能力，增强数学反思、质疑的意识.
六、布置作业，巩固新知.
教材第7~8页练习A第1~5题.
板书设计
教学研讨
1.本节课是一节数列的概念课，通过概念课的教学，力求使学生明确：（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等，目前，课时不足是数学新课程教学的突出问题，这会使概念教学受到严重冲击，个别教师把更多的精力放到了大量的练习中，对概念教学不够重视，这是十分不可取的，因为只有理解并掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学的思想和本质，进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力，所以在概念教学中多花一些时间是值得的.
2.让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学定义的严谨性”是对事物的感性认识的升华和提高，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
3.教学是通过丰富的实例展开的，这一方面可以使学生体会数列与现实世界的联系；另一方面，活生生的例子也会增强学生学习数列的兴趣，使他们产生学习数学的积极情感，感受到数列离自己很近，数列是有用的.
51.1数列的概念
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列
2.数列中的几个概念
（1）数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项……
（2）组成数列的数的个数称为数列的项数
3数列的分类
按数列的项数是有限或无限，可分为有穷数列或无穷数列
4.数列的通项和通项公式
因为数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以写成其中a表示数列的第n项（也称n为的序号，其中n为正整数，即，称为数列的通项此时，一般将整个数列简记为，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母
一般地，如果数列的第n项与n之间的关系可以用来表示，其中是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式
5.数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；各项都相等的数列称为常数数列
6.例1
例2
例3