高中数学等差数列教案

这是一份高中数学等差数列教案，共9页。
板书设计
教学环节
教学过程
学生活动
设计意图
创设情境
1.多媒体展示场景
一个小探险家在古墓中寻宝，来到宝藏门外，发现门上有四个0~9刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，门才能打开.门上还有四组数字如下：
（1）1,3,5,（ ）,9；
（2）15,12,（ ）,6,3
（3）48,53,58,（ ）68；
（4）8,（ ）,8,8,8.
2.分析场景，渐进式提问
问题1：你能找出打开宝藏之门的密码吗？
问题2：这四列数有何共同特点？
尝试寻找线索，打开宝藏之门.
思考片刻后，请两位同学回答两个问题，若学生回答不到位，其他同学可以补充.
创设学生比较感兴趣的情境，激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏中加入等差数列的内容，让学生初步感知等差数列的特点，同时培养学生的观察和归纳能力.
新知探究
师:我们把这样的数列称为等差数列,今天我们就来认识这一典型数列一一等差数列(板书课题).
师:请同学们根据等差数列的特征,尝试给等差数列下个定义.
1.等差数列的定义
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,即恒成立,则称为等差数列,其中称为等差数列的公差.
问题1 定义中为什么要说从第2项起?能不能将同一个常数改为常数?为什么?
问题2 上述定义能否转化为符号语言?
(板书:或
问题3 刚才引例中四个数列的公差分别是什么?
师点评:可见公差可正,可负,也可为0,且公差一定是每一项与它前一项的差而非后一项的差.
问题4公差大于0、小于0、等于0时等差数列分别有何特点?
师:说明等差数列要么是递增数列,要么是递减数列,要么是常数列.等差数列在生活中应用非常广泛,比如衣服鞋子的尺寸、打车费用等.
概念辨析:
师:请大家判断以下数列是否为等差数列?
(PPT展示)判断下列各组数列中哪些是等差数列,
哪些不是?如果是,写出首项和公差;如果不是,说明理由.
（1）(1);
（2）;
（3）;
（4）.
师点评:判断一个数列是不是等差数列,主要是由定义进行判断,即看是不是同一个常数.
由,所以也可以通过检查是否恒成立来判断数列是否是等差数列.
问题:数列是不是等差数列?
师:等差数列至少有三项(引出等差中项的概念).
2.等差中项
如果在与中间插入一个数,使成等差数列,那么称为与的等差中项.
问题5 等差中项与之间有怎样的关系?
问题6 下列两个数的等差中项分别是什么?
（1）2，（ ），4;
（2），（ ）0.
问题7 是不是任意两数都存在等差中项?存在几个?
师点评:任意两数的等差中项即为两数的平均值.
问题8 等差数列中,与之间有怎样的关系?为什么?
师点评:反之亦成立,由此我们可以得到判断等差数列的又一方法.
师:若一个等差数列的首项和公差确定,那么这个数列中的每一项是否唯一确定?
3.等差数列的通项公式
问题9 数列中,是多少?呢?
问题10 等差数列中,公差为,那么通项是什么?如何推导?
师点评:刚才我们是通过等差数列的前几项归纳得出通项公式,后面我们会知道由这种方法得到的结论还需要进行证明才可以使用.
问题11 还有没有其他的推导方法?
师PPT展示:由等差数列的定义得:
，
，
，
.
将这个式子相加得.
问题12 从第几项开始归纳的?
(第2项,所以)
问题 时呢?
(当时,等式也是成立的,因而等差数列的通项公式为
师点评:这种求通项的方法称为累加法,它是求数列通项的常见方法之一.根据这个通项公式,只要已知首项和公差,便可求得等差数列的任意项.
思考 在等差数列的通项公式中,与的关系与以前所学过的什么函数有关?
结论:因为,所以,如果记,则可以看出,而且有
（1）当公差时,是常数函数,此时数列是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);
（2）当公差时,是一次函数,而且的增减性依赖于公差的符号,因此,当时,是递增数列;当时,是递减数列.
这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.
4.等差数列的性质
思考 已知数列是等差数列,那么:
（1）是否成立?呢?为什么?
（2）是否成立?据此你能得到什么结论?
（3）是否成立?你又能得到什么结论?
结论:(性质)一般地,如果是等差数列,而且正整数满足,则.特别地,如果,则.
学生代表尝试给出等差数列的定义其他同学补充修正.
生解释.
问题2，3生口答.
生口答.
生口答.
齐答.
生口答.
齐答.
齐答.
齐答.
学生分组讨论，3分钟后选一小组代表投影展示小组讨论成果，小组成员补充.
师生共同归纳等差数列的通项公式.
另选一个小组展不同方法.
齐答.
学生小组讨论后回答.
学生思考后小组讨论回答.
学生思考讨论后回答.
由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的抽象概括能力.
通过定义的剖析，让学生体会知识的形成过程，感受学习数学的成就感，进一步培养学生的抽象概括能力.
进一步熟悉等数列的特点和性质.
让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在实例的数学模型.
进一步理解等差数列的定义，掌握等差数列的判断方法.
引出等差中项的概念.
概括等差中项的概念，总结等差中项公式，并发现等差数列的性质.
典例解析
例1 （1）求等差数列的第20项.
解 由题意可知,给出的等差数列的首项为8,公差为.由等差数列的通项公式得
,所以等差数列的第20项是.
师点评:等差数列的通项公式中共有四个变量,,知道其中任意三个,便可求出剩余一个,即“知三求一”.
（2）是不是等差数列的项?如果是,是第几项?
解 由,可知这个数列的通项公式为,由题意知,得,即是这个数列的第100项.
教师追问:呢?(不是)
师点评:要判断一个数是不是数列中的某项,就是看它是否满足该数列的通项公式,即代入通项公式看解出来的是否为正整数.
1分钟后让两个学生分别对这两小题加以分析（已知什么？要求什么？怎么求？），同时教师PPT展示解题过程.
通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题和解决问题的能力.
巩固练习
在等差数列中,已知,求.
解 ,解得,故.
师根据学生回答适时给出公式:.
师点评:这种根据已知量与已知量的关系列出方程求解已知量的思想方法称为方程思想.
问题14 还有没有其他做法?
问题15 从结果来看,之间有怎样的关系?这种关系是必然还是偶然?你能利用这种关系解题吗?
2分钟后请一名学生先尝试展示自己的结果.其余学生可以各抒己见.
齐答:由可求得
.
进一步使学生熟练掌握通项公式及等差数列的性质，并灵活应用公式及性质解决问题.
实际应用
例2 第15届奥运会于1952年在芬兰赫尔辛基举行.奥运会每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算.
（1）首届奥运会是在哪一年举行的?
（2）2008年北京奥运会是第几届?
（3）2050年举行奥运会吗?
解 (1)根据题意可得,解得,故首届奥运会是在1896年举行的.
（2）,解得,故2008年北京奥运会是第29届.
（3）由于无整数解,故2050年不举行奥运会.
师点评:用数列解决实际问题的步骤:审题一建模一解模一还原.
例3 已知为等差数列,,求.
解 由已知得
,所以,所以.所以.
1~2分钟后学生分析并阐述例2（1）的解答过程，其他同学可陈述自己的观点.
（2）（3）分组竞技.
学生独立完成例3的解答，小组内交流是否有不同的解法.
学以致用，结合了奥运会，不仅可以扩充学生的课外知识，也可以加深学生学习的兴趣，体会数学在生活中的应用同时渗透数学建模这一核心素养.
课时小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
师生共同回顾本节知识内容的生成过程，从中提炼知识与思想方法.
使学生对自己所学知识有更深刻的认识.
作业布置
教材第21页练习A第3~5题，练习B第1，2题.
学生课下独立完成.
作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究思考.
等差数列
1.等差数列的定义
一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,即恒成立,则称为等差数列,其中称为等差数列的公差
2.等差中项
如果在与中间插入同一个数,使成等差数列,那么称为与的等差中项
3.通项公式:
4.等差数列的性质
一般地,如果是等差数列,而且正整数满足,则.特别地,如果,则
5.例1
例2
例3
6.小结
7.作业