高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册曲线与方程教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册曲线与方程教学设计，共15页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
一、本节内容分析
“曲线与方程”这节,揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一,为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础,由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容,因而学生用解析法研究几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何学习的入门之径.求曲线与方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该认识到,本节内容是解析几何的重点内容之一.本节中提出的曲线与方程的概念,既是对以前学过的函数及其图像、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又是学习圆锥曲线的理论基础,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程的对应关系,通过研究方程来研究曲线的几何性质,使几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本节中得到了充分体现.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
学生已经学习了直线和圆的知识,对于用方程表示直线和圆已经有了感性认识,现在要进一步研究平面内曲线和二元方程之间的关系,是由直观表象上升到抽象概念的过程,对学生有一定的难度.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.曲线的方程与方程的曲线.
2.求曲线方程与根据方程研究曲线的性质.
【教学目标设计】
1.结合已经学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的对应关系.
2.理解曲线的方程与方程的曲线的概念.
3.了解两条曲线交点的求法.
4.了解用坐标法研究解析几何问题的基本思想.
5.掌握求曲线方程和由方程研究曲线性质的方法.
【教学策略设计】
根据高二学生乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过教师不断提问,让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过解决问题过程中发现的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本章主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念,通过具体实例体会根据方程研究曲线性质的方法.为了突破难点,本课设置了“独立思考—小组讨论—交流总结”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.
【教学方法建议】
演示教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
曲线的方程、方程的曲线的概念,初步掌握求曲线方程的方法.
难点
曲线与方程的对应关系、求曲线方程.
【教学材料准备】
1.常规教材:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:大家回忆一下我们前面学习的直线与圆的方程,想一想在平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是什么？
生:点的坐标满足直线或圆的方程.
师:我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系.不难想到,借助方程,应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其几何性质.
【设计意图】
通过具体的情境,帮助学生回顾已经学习过的直线与圆的方程,为下一步归纳抽象出曲线与方程的关系打下基础.
教学精讲
师:笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”,是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事,笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式.
【情境设置】
与曲线方程有关的数学背景
你知道r=a(1-sinθ)是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数,图形是心形线,是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹,因其形状像心形而得名.同学们,你能说出这条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？
【设情境 巧激趣】
利用多媒体,展示学生熟知的科学家笛卡尔的故事,激发学生用方程研究曲线的兴趣.
师:这节课我们就一起来研究曲线和它对应的方程的关系.
探究1 求曲线方程与根据方程研究曲线的性质
师:从直线、圆以及上述的内容中可以看出,得到曲线的方程之后,可以借助方程来研究曲线的性质以及曲线之间的关系等.因此,如何得到曲线的方程是解决问题的第一步.
师:请同学们看下面的问题,并尝试自己解决.
【自主学习】
借助教材上的问题,鼓励学生自己思考、分析、讨论、交流,发挥学生自主学习的主观能动性,提升学生数学思维的发展.
【情境设置】
探究求曲线方程的步骤
已知l1,l2是平面内两条相互垂直的直线,且曲线C是到l1,l2的距离的乘积等于1的点组成的集合.
(1)建立适当的平面直角坐标系,写出曲线C的方程.
(2)根据曲线的方程,说出曲线具有的性质,然后作出曲线C.
【学生思考、分析、交流,老师适时给予点拨】
生:(1)在求方程之前,必须首先建立坐标系,否则,曲线不能转化为方程.在具体问题中有两种情况:一是所研究的问题已经给定了坐标系,此时在给定的坐标系中求方程即可;二是原题中没有确定坐标系,此时必须首先选取适当的坐标系.坐标系选取适当,可使运算过程简单,所得的方程也较简单.
师:在此问题中,原题中没有确定坐标系,我们可以怎样建立坐标系？
生:以给定两直线的交点为原点,以这两条互相垂直的直线分别为x轴和y轴建立坐标系.
师:只能这样建立坐标系吗？
生:不一定,但是这是使运算和方程都最简单的一种建立方式.
师:说得非常好！为了简单,我们通常选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等.
师分析:(2)根据已知条件求出表示平面曲线的方程,通过方程研究平面曲线的性质以及它们之间的相互关系,是平面解析几何研究的主要问题.有了曲线的方程之后,我们可以从以下几个方面研究曲线的几何性质.
①研究曲线与坐标轴是否相交.如果相交,求出交点的坐标.曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点.这里也可以研究曲线的组成和范围.
②研究曲线的对称性.
③研究曲线的变化趋势.即y随x的增大或减小的变化情况.
师:如何利用曲线的方程研究曲线的对称性？
【少教精教】
以教师提问,学生回答共同探讨的手段解决问题,培养学生分析问题、解决问题的能力.
【学生经过讨论后归纳出如下结论】
生:由已知曲线的方程讨论曲线的对称性.
设曲线C的方程为F(x,y)=0,一般有如下规律:
(1)如果以-y代替y,方程保持不变,那么曲线关于x轴对称;
(2)如果以-x代替x,方程保持不变,那么曲线关于y轴对称;
(3)如果同时以-x代替x,以-y代替y,方程保持不变,那么曲线关于原点对称.
师:如何利用曲线的方程画出曲线？
生:可以根据已经研究出的对称等性质,先作出曲线在第一象限的部分,然后根据对称性作出其他部分.
师:第一象限的部分怎么作？
生:用描点法作图作出.
【情境学习】
用教师提问学生回答的方式,创造情境进行承上启下,引导学生一步一步解决问题,激发学生的学习兴趣,培养逻辑推理的核心素养.
师:求出曲线方程是|x||y|=1后,我们可以研究曲线的性质.
(1)x=0或y=0时,方程|x||y|=1不可能成立,这说明曲线C与两坐标轴都没有交点.
(2)如果(x,y)是方程|x||y|=1的一组解,则(-x,y)也是方程|x||y|=1的一组解,又因为(-x,y)与(x,y)关于y轴对称,这说明曲线C关于y轴对称.类似地,可知曲线C关于x轴以及原点都对称.
(3)由于|y||x|=1,所以|x|越来越大时,|y|越来越小且接近于0;|x|越来越小且接近于0时,|y|越来越大.
为了作出曲线C,根据上述性质(2),可以先作出曲线C在第一象限内的部分,然后根据对称性作出其他部分,而第一象限内的部分可以由描点作图作出,如下表和下图所示.
【以学论教】
通过根据几何条件求出曲线的方程,再由方程研究曲线的几何性质,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
【教师总结根据曲线的方程画曲线要注意的问题】
师:(1)对于这类问题,往往要把方程进行同解变形.注意方程的附加条件和x,y的取值范围,有时要把它看作y=f(x)的函数关系,利用作函数图像的方法画出图形.
(2)对于变形过程一定要注意其等价性,否则作出的曲线与方程不符.
(3)注意方程隐含的对称性特征,并充分予以运用,从而减少描点量.
师:下面看一道例题.
【典型例题】
根据方程研究曲线的性质
例1 讨论方程(1-x)y2=x2(x≥0)表示的曲线的性质,并画出图像.
分析:先由方程研究①变量x,y的取值范围;②曲线与坐标轴的交点;③曲线的对称性;④曲线的变化趋势.根据以上性质,画出曲线.
【简单问题解决能力】
通过例题让学生初步了解根据方程研究曲线性质的方法,提升简单问题的解决能力.
【师生互动,教师出示答案】
【典例解析】
根据方程研究曲线的性质
解:(1)范围:∵y2≥0,x≥0,∴1-x>0,解得x