人教B版高中数学选修1 第一章《空间向量与立体几何》单元测试题（含答案）

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《空间向量与立体几何》单元测试一、选择题1.空间四个点O,A,B,C,,,为空间的一个基底,则下列说法不正确的是( )A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线C.O,A,B,C四点中任意三点不共线D.O,A,B,C四点不共面2.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉等于( )A.30°B.60°C.90°D.45°3.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若=+x+y,则x,y的值分别为( )A.x=1,y=1B.x=1,y=C.x=,y=D.x=,y=5.设E,F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面A1ECF成60°角的对角线的条数是( )A.0B.2C.4D.66.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④//.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.47.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足⋅=0,⋅=0,⋅=0,则∆BCD是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定8.正三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°9.若向量a=(2,3,λ),b=(-1,1,)的夹角为60°,则λ等于( )A.B.C.D.-10.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当⋅取得最小值时,点Q的坐标为( )A.(,,)B.(,,)C.(,,)D.(,,)二、填空题11.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)⋅(2b)=-2,则x= .12.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x:y:z= .13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为 .14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=2,点D是A1C1的中点,则异面直线AD和BC1所成角的大小为 .三、解答题15.(10分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为2a的菱形,且SA=SC=2a,SB=SD=a,点E是SC上的点,且SE=λa(00,∴∠B为锐角,同理,∠C,∠D均为锐角,∴∆BCD为锐角三角形.8.答案:C解析:建系如图,设AB=1,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1).∴=(-1,0,1),=(0,1,1)∴cos⟨,⟩===.∴⟨,⟩=60°,即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.9.答案:C解析:∵a=(2,3,λ),b=(-1,1,),∴a⋅b=λ+1,|a|=,|b|=,∴cos〈a,b〉===.∴λ=.10.答案:A解析:∵Q在OP上,∴可设Q(x,x,2x),则=(1-x,2-x,3-2x),=(2-x,1-x,2-2x).∴⋅=6x2-16x+10,∴x=时,⋅最小,这时Q(,,).11.答案:2解析:∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2).∴(c-a)⋅(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.12.答案:2:3:(-4)解析:=(1,-3,-),=(-2,-1,-),由a⋅=0,a⋅=0,得解得x:y:z=y:y:(-y)=2:3:(-4).13.答案:解析:以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则=(-1,1,-1),=(-1,1,1).可以证明A1C⊥平面BC1D,AC1⊥平面A1BD.又cos⟨,⟩=,结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.14.答案:解析:建立如图所示坐标系,则=(-1,1,-2),=(0,2,-2),∴cos⟨,⟩==,∴⟨,⟩=,即异面直线AD和BC1所成角的大小为.15.(1)求证:对任意的λ∈(0,2],都有BD⊥AE;(2)若SC⊥平面BED,求直线SA与平面BED所成角的大小.答案:见解析解析:(1)如图,连接BD,AC,设BD与AC交于O.由底面是菱形,得BD⊥AC.∵SB=SD,O为BD中点,∴BD⊥SO.又AC⋂SO=O,∴BD⊥平面SAC.又AE⊂平面SAC,∴BD⊥AE.(2)由(1)知BD⊥SO,同理可证AC⊥SO,∴SO⊥平面ABCD.取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系,设SO=x,则OA=,OB=.∵OA⊥OB,AB=2a∴(4a2-x2)+(2a2-x2)=4a2,解得x=a.∴OA=a,则A(a,0,0),C(-a,0,0),S(0,0,a).∵SC⊥平面EBD,∴是平面EBD的一个法向量.=(-a,0,-a),=(a,0,-a).设SA与平面BED所成角为α,则sinα===,即SA与平面BED所成的角为.16.答案:见解析解析:(1)如图,以A为原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则依题意可知A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2).∴=(0,4,-2),=(-2,0,0),=(0,0,-2).设平面PDC的一个法向量为n=(x,y,1),则⇒⇒∴平面PCD的一个法向量为n=(0,,1).∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,PA⋂AD=A,∴AB⊥平面PAD.∴平面PAD的法向量为=(2,0,0).∵n⋅=0,∴n⊥∴平面PDC⊥平面PAD.(2)由(1)知平面PCD的一个单位法向量为=(0,,)∴|∙|=|(0,4,0)⋅(0,,)|=,∴点B到平面PCD的距离为.17.答案:见解析解析:(1)连接BD,设AC交BD于点O,由题意知SO⊥平面ABCD,以O点为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.设底面边长为a,则高SO=a.于是S(0,0,a),D(-a,0,0),C(0,√a,0),B(a,0,0)=(0,a,0),=(-a,0,-a)∴⋅=0∴OC⊥SD,即AC⊥SD.(2)由题意知,平面PAC的一个法向量=(a,0,a),平面DAC的一个法向量=(0,0,a),设所求二面角为θ,则cosθ==,故所求二面角P-AC-D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量,且=(a,0,a),=(0,-a,a),=(-a,a,0)设=t,则=+=+t=(-a,a(1-t),at).由⋅=0,得t=,即当SE:EC=2:1时,⊥,而BE不在平面PAC内,故BE//平面PAC.