人教B版高中数学选修1 2-2-1《直线及其方程课时1》教学设计

这是一份人教B版高中数学选修1 2-2-1《直线及其方程课时1》教学设计，共21页。
《直线及其方程》教学设计课时1直线的倾斜角与斜率一、本节内容分析“直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方向向量与法向量3.直线的点斜式方程与斜截式方程4.直线的两点式方程与一般式方程5.两条直线的相交、平行与重合6.两条直线的垂直7.点到直线的距离公式【教学目标设计】1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识.2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构.3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.【教学策略设计】高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性.通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.难点体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:经过平面直角坐标系中的同一个点,可以画出多少条直线?生:无数条.师:同学们能否尝试着在平面直角坐标系中画出一些过该点的直线?如何区分这些直线呢?生:直线可以看成一次函数的图像,可以通过函数的解析式来区分,不同直线对应着不同的函数解析式.师:如图(1)所示,直线,能否找到该直线对应的函数解析式呢?生:找不到.【设计意图】让学生画通过一个点的直线,找到一个共同的量来描述四条直线的区别,实质上是从“形”入手,向“数”过渡.师:再来观察图(2)中过同一点的直线,它们彼此之间的不同点是什么?你能找到一个量来描述它们的不同点吗?生:这些直线的共同点是都过同一个点,不同点是这些直线相对于坐标轴的倾斜程度不同,找一个直线与坐标轴(如轴)所形成的角度来描述它们的不同点.师:我们需要从“形”和“数”两个角度找到一个共同的量来描述上面四条直线的区别.【先学后教】让学生动手画图感受“过一个定点可以作无数条直线”这个事实.通过比较让学生自主发现直线这个几何图形的性质与方程(解析式)中的“和”是有关联的,的值影响直线的倾斜程度,以此培养学生的直观想象、数学抽象等核心素养.教学精讲探究1 直线的倾斜角师:一般地,我们选直线与轴所形成的角度来区分直线,过点与轴成角的直线有几条?【学生可能答一条或两条,投影演示结果】师:师:如何区分清楚这两条直线呢?选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢?生:直线与轴相交,将轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转得到直线,直线与轴相交,将轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转得到直线,这样看就能区分这两条直线.师:直线与轴相交,将轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转得到哪条直线？按逆时针方向旋转呢?生:得到的都是直线.师:我们只需要找到哪个量来刻画直线的倾斜程度?生:当直线与轴相交时,我们只需要找到按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角即可.师:这个最小正角就是这条直线的倾斜角.【猜想探究能力】通过作过点与轴成角的直线体会学㤵概念的严谨性,从认知冲突到探究突破,从理性分析到操作确认,提升学生的猜想探究能力和数学抽象的核心素养.【要点知识】直线的倾斜角一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与轴相交,将轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为,则称为这条直线的倾斜角.【概括理解能力】以教师提问,学生回答共同讨论的手段得出刻画直线倾斜程度的量−−−−倾斜角的概念,通过问题引导,学生分析、交流、操作,逐步深化对概念的理解,培养学生的理解概括能力,提升数学抽象的核心素养.师:平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角吗?生:是的.师:平面直角坐标系中的每一个倾斜角都会对应着唯一的直线吗?生:同一个倾斜角会对应着不同的直线,这些直线可能平行也可能重合.师:如图(1)(2)(3)(4)所示,为直线的倾斜角,请指出图中直线的倾斜角分别是什么角?生:直线的倾斜角分别为锐角、直角、钝角、角.师:倾斜角的范围是什么?生:直线倾斜角的取值范围为或.【意义学习】通过倾斜角概念的学习,能够标出图形中的倾斜角,提升学生对概念的理解和认知,同时也能找出学生理解上的误区.【要点知识】直线倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为.当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为.【推测解释能力】让学生考虑如何根据直线上的两点的坐标求直线的倾斜角,问题直指直线的要素之间的关系,即如何用两点的坐标刻画直线的倾斜程度.在思考过程中提升推测解释能力.探究2 直线的斜率师:平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线,那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角.如图所示,分别写出以下直线的倾斜角,并总结出一般的结论.(1)经过的直线.(2)经过的直线.(3)经过的直线.生:因为两点的纵坐标相同而横坐标不同,所以直线的倾斜角为;因为,两点的横坐标相同而纵坐标不同,所以直线的倾斜角为;对于来说,如果过点作轴的垂线且为垂足,则可以看出是等腰直角三角形,因此的倾斜角为.【深度学习】增加了两条倾斜角不是特殊角的直线,引导学生在求出的倾斜角之后,考虑直线,让学生经历从特殊到一般的思维过程,可以培养学生思维的缜密性,促进数学核心素养的发展.一般地,如果是直线上两个不同的点,直线的倾斜角为,则(1)当时(此时必有.(2)当时(此时必有),.师:如何确定以下直线的倾斜角?(1)经过的直线.(2)经过的直线.生:倾斜角不是特殊角,倾斜角可以用学过的三角函数值来表示.师:一般地,在平面直角坐标系中,已知直线上两点,且,用的坐标能否表示直线倾斜角的正切值?生:在平面直角坐标系下过两点画直线,设直线倾斜角为,当直线方向向上时,过点作轴的平行线,过点作轴的平行线,两线相交于点,则点为.具体情况如图(1)(2)所示.【发现创新能力】结合直线的图形,引进倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度,让学生体会数形结合和分类讨论的思想,以问题为载体来培养学生的数学思维品质和发现创新能力.生:(1)当为锐角时,,在Rt中,.(2)当为钝角时,,,在Rt中,,∴.同理,当直线方向向下时,无论为锐角或钝角,也有.师:当且时,满足吗?生:当且时,倾斜角为,也满足.师:当倾斜角是时,情况如何?生:倾斜角是时,,分母为0,没有意义.【活动学习】设计合理的活动提高学生的参与度,自然地引出斜率的定义,过程流畅,活动指向性明确,学生的操作性强,容易参与,积极性高【要点知识】直线的斜率一般地,如果直线的倾斜角为,则当时,称为直线的斜率;当时,称直线的斜率不存在.师:如何计算直线的斜率?生:若是直线上两个不同的点,则当时,直线的斜率为.当时,直线的斜率不存在.【概括理解能力】以教师提问,学生回答共同讨论的手段得出刻画直线倾斜程度的量—斜率的概念,培养学生的概括理解能力.【要㤐知识】已知两点求直线的斜率若是直线上两个不同的点,则当时,直线的斜率为.【推测解释能力】通过问题串的设置,得到已知两点的直线斜率公式,以学生在学习过程中需要解决的问题来推动教学,提高了学生的推测解释能力师:运用上述公式计算直线的斜率时,与两点的顺序有关吗?生:没有关系,即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.师:斜率和倾斜角一样,都可以反映直线的倾斜程度,每一条直线都有倾斜角,每一条直线都有斜率吗?生:并不是每一条直线都有斜率,直线平行于轴或与轴重合时,倾斜角是的直线就没有斜率.师:当直线平行于轴或与轴重合时,上述公式适用吗?生1:当直线与轴平行或重合时,,所以.生2:当直线与轴平行或重合时,倾斜角,所以,公式适用.师:当直线平行于轴或与轴重合时,上述公式适用吗?生当直线与轴平行或重合时,,所以不存在.生2:当直线与轴平行或重合时,倾斜角,因为的正切值不存在,所以不存在,公式不适用.师:请同学们补充下面斜率与倾斜角的对应关系表.【整体学习】让学生利用已经学过的三角函数的知识,直接讨论倾斜角的取值范围与斜率的符号的关系,渗透分类讨论的思想,以问题为载体来培养学生的数学思维品质,让学生从整体上理解直线的倾斜角与斜率的关系【归纳总结】斜率与倾斜角的对应关系【学生完成斜率与倾斜角的对应关系表,教师补充】生:【深度学习】通过填表培养学生的问题意识,关注学生思维过程,探究直线的倾斜角与斜率的对应关系,深度理解直线的斜率师:倾斜角与斜率都能刻画直线“数”的倾斜程度,倾斜角能从“形”的角度刻画倾斜程度,而斜率是比值,实质是数值,它能从“数”的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微,直线相对于轴的倾斜程度,可以通过直线上两点的坐标的代数式来表示,因而可以使用代数方法研究直线的性质.下面看一道例题.【典型例题】直线的倾斜角与斜率例1判断下列说法是否正确.(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在㪴率.( )(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )(3)一个倾斜角不能确定一条直线.( )(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( )(5)直线的斜率随着倾斜角的增大而增大.( )【意义学习】通过围绕直线上的两点、直线的倾斜角、直线的斜率这三个核心要素进行判断对错,帮助学生更好地理解刻画直线倾斜度的两个量—倾斜角和斜率(5)(1)当时,随的增大,斜率在范围内增大;(2)当时,斜率不存在;(3)当时,随的增大,斜率在范围内增大.师:回答正确！我们下面进行巩固练习.【巩固练习】直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角为( )A.B.C.D.2.已知直线经过第一、三象限,则直线的倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.生:(1)因为直线与轴垂直,所以倾斜角为,答案B.(2)直线倾斜角的取值范围是,又直线经过第一、三象限,所以直线的倾斜角的取值范围是,答案A.师(强调):(1)当直线与轴平行或重合时,倾斜角为;当直线与轴垂直时,倾斜角为.(2)直线倾斜角的取值范围为.【深度学习】帮助学生进一步理解倾斜角、斜率和坐标三者之间的关系,做完练习之后,教师总结求直线的倾斜角的注意事项,加深学生的学习效果师:下面我们利用直线斜率的求倾斜角.【典型例题】求直线的斜率与倾斜角例2已知直线经过点与,求直线的斜率与倾斜角.生解:因为两点的横坐标不相等,所以斜率因此,由可知倾斜角.【简单问题解决能力】例2进一步深化了学生对直线的倾斜角与斜率之间关系的认识,同时,也为下一步探究三,点共线的充要条件提供思维基础,还可以让学生复习已经学过的正切函数的单调性,巩固对基本知识点的掌握.提升简单问题解决能力.师:下面我们看几组例2的变式训练.【巩固练习】直线斜率的应用变式1已知是两两不相等的实数,分别求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角:(1);(2);(3).变式2已知直线经过.(1)直线的斜率为3,求的值;(2)直线的倾斜角为锐角,求的取值范围;(3)求直线的斜率.生解:变式1(1)因为两点的纵坐标相等,所以斜率,倾斜角为.(2)因为两点的横坐标相等,所以斜率不存在,倾斜角为.(3)因为两点的横、纵坐标都不相等,所以斜率,倾斜角为.生解:变式2(1)因为斜率为3,所以直线的斜率存在,即,由解得,满足题意.(2)因为直线的倾斜角为锐角,所以斜率存在且大于0,由解得.(3)当时,直线的斜率不存在;当时,直线的斜率.师:当点为动点时,如何求过动点的直线斜率取值范围呢?【分析计算能力】例2的变式1和2,可以帮助学生进一步理解倾斜角、斜率和坐标三者之间的关系,提高学生的分析计算能力.【巩固练习】直线斜率的应用变式3已知线段两个端点的坐标分别为,直线经过点且与线段有公共点,分别在下列情况下,求直线斜率的取值范围.(1);(2).【师生互动,教师讲解,学生听讲】师解:(1)由图(1)可知,.直线经过点且与线段有公共点,只需要直线绕点按逆时针从转到,倾斜角逐渐变大,但没有超过,所以直线斜率的取值范围是.(2)由图(2)可知,.直线经过点且与线段有公共点,只需要直线绕点按逆时针从转到,倾斜角由锐角增大到,再从增大到钝角,根据正切函数的性质,所以直线斜率的取值范围是或.师:能否从利用点坐标求解直线斜率和倾斜角的过程中提炼出求解问题的一般思想方法?【学生归纳总结,教师补充整理并展示】【综合问题解决能力】例2的变式3利用已经学习过的直线的倾斜角与斜率来解决k的取值范围问题,通过解题提高学生分析问题和综合问题解决能力.【归纳总结】利用点坐标求直线的斜率和倾斜角的方法1.求直线的斜率和倾斜角的方法(1)当两点的横坐标相等时,斜率不存在,倾斜角为.(2)当两点的横坐标不相等,纵坐标相等时,,倾斜角为.(3)当两点的横坐标不相等,纵坐标也不相等时,,再结合倾斜角的取值范围求出倾斜角.2.注意点(1)当坐标为字母求斜率时,注意分类讨论.(2)当倾斜角含时,注意斜率的范围.【深度学重推理】通过归纳概括用坐标求直线的斜率和倾斜角的方法和注意点,深化学生对直线的倾斜角与斜率之间关系的认识,构建知识网络.师:下面请看例3.【典型例题】直线斜率的应用例3已知平面直角坐标系中的四条直线如图所示,设它们的倾斜角分别为,而且斜率分别为.分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列.【教师引导学生从倾斜角的定义和正切函数的单调性思考问题,并解决问题】生解:按照倾斜角的定义,从图上可以看出.因为,又因为正切函数在递增且函数值大于0,在递增且函数值小于0,所以.师:同学们,能否总结出直线的斜率随着倾斜角变化的规律?【观察记忆能力】例3借助于直观图形,让学生进一步理解直线的倾斜角与斜率的关系,培养学生的观察能力和记忆能力,同时也为下一步探究三点共线的充要条件提供思维基础,还可以让学生复习已经学过的正切函数的单调性,巩固对基本知识点的掌握.提升观察记忆能力.生:当直线的倾斜角为时,直线的斜率为0;当直线的倾斜角为锐角时,直线的斜率为正数,此时直线的斜率随着倾斜角的增大而增大;当直线的倾斜角为时,直线的斜率不存在;当直线的倾斜角为锐角时,直线的斜率为负数,此时直线的斜率随着倾斜角的增大而增大,同样,直线的斜率也可以反映倾斜角的范围.师:我们再结合正切函数的单调性,就能更好地理解“直线斜率会随着倾斜角的增大而增大”这句话的错误原因了.师:下面请同学们试着从直线的倾斜角与斜率的角度思考在平面直角坐标系中三点共线的充要条件是什么?【情景设置】如图①②中,对于.(1)求直线和直线的斜率;(2)求直线和直线的斜率.生:(1),(2).【自主学习】通过具体的实例,让学生自己独立完成并掌握三点共线的充要条件,达到自主学习的目标要求师:从倾斜角和斜率的角度出发,分析和是否三点共线?生:(1)因为,从而直线与直线的倾斜角也相等,因此三点共线.(2)因为,从而直线与直线的倾斜角也不相等,因此三点不共线.师:注意到平面直角坐标系中每一条直线的倾斜角都是唯一的,因此可以看出,平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件,从倾斜角考虑,是任意两点确定的直线的倾斜角都相等;从斜率考虑,是任意两点确定的直线的斜率,要么都不存在,要么都相等.下面通过一道例题进行说明.【典型例题】平面直角坐标系中三点共线的充要条件例4已知,则共线吗?呢?生解:因为,所以,因此共线,而不共线.师:请大家思考可不可以用向量共线来解决此类问题?生:因为,所以,所以与共线.又因为与有公共点,所以三点共线.而,所以与不共线,即三点不共线.【深度学习】让学生从向量的角度进行思考解决问题,发散学生的思维,有利于学生建构更加完善的知识和方法体系师:同学们回顾一下,本节课都学习了哪些知识,用到的主要思想方法是什么?【课堂小结】直线的倾斜角与斜率师:倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,倾斜角能从“形”的角度刻画倾斜程度,而斜率是从“数”的角度反映倾斜的程度,在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想,同时也体现了解析几何的基本思想和基本方法【设计意图】通过直线的倾斜角和斜率的学习,不仅从“形”和“数”的角度刻画了直线的倾斜程度,同时体会了解析几何的重要思想方法(坐标法)以及数形结合和分类讨论的思想方法通过形式多样、生动有效的教学方法点燃学生学习的激情,通过深度学习、自主学习、活动学习、整体学习等学习方式的展开促进学生观察记忆能力、概括理解能力、推测解释能力、简单问题和综合问题解决能力等各方面能力的提高.教学评价直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是( )A.B.C.D.点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图像可得.解析:因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.故.答案:【分析计算能力】解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数图像的性质,利用几何法解题要比解析方法简捷,提升分析计算能力.2.已知直线与互相平行,则的值是_______.点拨:本题考查两条直线的平行与系数的关系,两条直线平行,则;两条直线垂直,则.解析:直线与互相平行,∴,整理得,解得或5.当时,直线,两条直线平行;当时,直线,两直线平行.因此,或5.答案:3或5【简单问题解决能力】通过学习及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升,锻炼简单问题解决能力.教学反思在本节的教学中,主要采用启发引导式教学方式,以学生所熟悉的情境导入课堂,以此激发学生探究的欲望;同时,运用多媒体平台辅助教学,让学生更直观地理解变化过程,使数学学习有趣味,更直观凸显知识的形成过程;进一步引导学生观察、思考、分析、归纳,化解问题,逐步培养各方面的数学能力,从而充分体现以教师为主导、学生为主体的教学理念.本节课通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力.点到直线的距离的证明过程,含有大量的字母运算而比较抽象,如果没有整体步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了两种思想.让学生在明确步骤的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读;学生在练习中的“错误体验”将有助于加深记忆,所以在学生应用公式中容易忽略的环节,教师在补充的例题、习题中给予了设置,以达到强化训练的目的.【以学论教】理解解析几何的研究方法——坐标法,掌握数形结合思想方法,从学生已有的知识引导学生层层分析推导公式,鼓励学生克服心理的障碍和对字母计算的恐惧心理,逐步培养学生的推测解释和分析计算等学科能力.必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】1.掌握确定直线位置的几何要素2.掌握直线方程的五种形式3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离【考查题型】填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模核心知识1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.两条直线的位置关系4.点到直线的距离直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养图形倾斜角(范围)斜率(范围)图形倾斜角(范围)斜率(范围)不存在