人教B版高中数学选修1 第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（含答案）

这是一份人教B版高中数学选修1 第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（含答案），共10页。
《空间向量与立体几何》单元测试(一)一、选择题1.以下命题中,不正确的个数为( )①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;②若a//b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;③若a·b=0,b·c=0,则a=c;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底;⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|.A.2B.3C.4D.52.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于( )A.a+b-cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c3.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a//b,则( )A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分别与,垂直,则向量a为( )A.(1,1,1)B.(-1,-1,-1)C.(1,1,1)或(-1,-1,-1)D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)5.已知A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sin〈,〉等于( )A.-B.C.D.-6.若三点A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )A.不等边的锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形7.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( )A.α//βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确8.若两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值等于( )A.19B.-C.D.9.如图所示,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角B-AP-C的余弦值为( )A.B.C.D.10.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为( )A.B.C.D.2二、填空题11.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=______.12.如图所示,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为______.13.平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为______.14.如图所示,已知二面角α-l-β的平面角为θ,θ∈(0,),AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为______.三、解答题15.已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).求证:四边形ABCD是一个梯形.16.(北京东城区高三二模)如图①,四边形ABCD中,AD//BC,CD⊥BC,BC=CD=1,AD=2,E为AD的中点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图②.(1)求证:平面A1EB⊥平面A1ED;(2)若∠A1ED=90°,求A1C与平面A1BD所成角的正弦值.17.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;(2)证明:AF⊥平面A1ED;(3)求二面角A1-ED-F的正弦值.答案解析1.答案:C解析:只有命题④正确.2.答案:D解析:如图,=-=--=--=b-a-c.3.答案:D解析:∵a//b,∴存在实数λ,使∴4.答案:C解析:设a=(x,y,z),∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),又|a|=,a⊥,a⊥,∴∴或∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).5.答案:C解析:∵=(1,0,0),=(-2,-2,1),∴cos〈,〉==-,∴sin〈,〉=.6.答案:A解析:=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1),·>0,得∠A为锐角;·>0,得∠C为锐角;·>0,得∠B为锐角,所以△ABC是锐角三角形且||=,||=,||=.7.答案:A解析:∵v=-3u,∴v//u.故α//β.8.答案:C解析:=(1-x,2x-3,-3x+3),则||===.故当x=时,||取最小值.9.答案:C解析:如图所示,作BD⊥AP于D,作CE⊥AP于E,设AB=1,则易得CE=,EP=,PA=PB=,可以求得BD=,ED=.∵=++,∴=+++2·+2·+2·.∴·=-,∴cos〈,〉=-,即二面角B-AP-C的余弦值为.10.答案:B解析:建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2).=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2),设平面ACE的法向量n=(x,y,z),则即令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d==||=.11.答案:解析:∵a-2b=(8,-5,13),∴|a-2b|==.12.答案:解析:因为四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心,所以有BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为4,则·=(+)·(+)=0+·+·+0=4×1×cos120°+1×4×cos120°=-4,||=||==,所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为cosθ==.13.答案:或解析:设n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),则cos〈n1,n2〉==-,∴〈n1,n2〉=.因为平面α与平面β所成的角与〈n1,n2〉相等或互补,所以α与β所成的角为或.14.答案:解析:因为=++,所以2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ.所以||=,即AD的长为.15.答案:见解析解析:因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),==,所以和共线,即AB//CD.又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),因为≠≠,所以与不平行,所以四边形ABCD为梯形.16.答案:见解析解析:(1)因为四边形ABCD中,AD//BC,CD⊥BC,BC=1,AD=2,E为AD的中点,∴BC//DE且BC=DE,则四边形BCDE为矩形,所以BE⊥AD,即BE⊥DE,BE⊥AE.在图②中,BE⊥DE,BE⊥A1E,又因为A1E∩DE=E,所以BE⊥平面A1DE.又因为BE⊂平面A1EB,所以平面A1EB⊥平面A1DE.(2)由∠A1ED=90°得A1E⊥DE,又A1E⊥BE,BE⊥DE,以点E为坐标原点,EB,ED,EA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E-xyz.由A1E=CD=DE=1,得A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),=(1,0,-1),=(0,1,-1).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得x=y=1,可得n=(1,1,1),又=(1,1,-1),设直线A1C与平面A1BD所成角为θ,所以sinθ=|cos〈n,〉|===.因此,直线A1C与平面A1BD所成角的正弦值为.17.答案:见解析解析:(1)如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz,点A为坐标原点.设AB=1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E(1,,0).易得=(0,,1),=(0,2,-4),于是cos〈,〉==-.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)易知=(1,2,1),=(-1,-,4),=(-1,,0),于是·=0,·=0.因此,AF⊥EA1,AF⊥ED.又EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.(3)设平面EFD的一个法向量u=(x,y,z),则即不妨令x=1,可得u=(1,2,-1),由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量,于是cos〈u,〉==,从而sin〈u,〉=.所以二面角A1-ED-F的正弦值为.