人教B版 (2019)必修 第二册函数的应用(二)表格教案及反思

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课题
4.6函数的应用（二）
学校
课型
新授
授课人
时间
课时
教材
学生
分析
函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。
本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价，发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
教学
目标
1.会通过实例了解指数函数、对数函数、幂函数在复利计算、增长率等实际问题中的应用，进一步培养数学建模能力；
2.初步体会选择合适的函数模型解决实际问题的过程与方法；
3.通过实际问题的解决，逐步培养分析问题、解决问题的能力。
核心
素养
数学建模：指数函数模型的运算
数学运算：指数函数的运算
逻辑推理：对数函数模型的应用、拟合函数模型的选择
重点
难点
教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的实际应用
教学难点：函数模型的建立与指数对数运算
教法
教具
讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，通过交流与合作，共同解决运算、逻辑推理和建模中的问题，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。
实践法：通过课堂练习和课后作业，让学生亲自实践本节知识的运用，提高学生的实际操作能力，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。
评价
任务
评价任务1检测目标1、2的达成
评价任务2检测目标1、2、3的综合达成
评价
量规
评价要点
评价标准
评价层级
不达标预判与
补救措施
1.课堂参与度；
2.知识的掌握程度；
3.小组合作能力。
1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。
2.评价任务对题率达到80%及以上。
优秀
预判：
措施：
1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。
2.评价任务对题率达到60%以上。
达标
1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。
2. 评价任务对题率低于60%。
不达标
教 学 活 动 设 计
环节1：情景导入，展示目标
设计意图与反思
导语
我们知道,函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画,面临一个实验问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?
情境激疑，引入新课！
环节2：任务一：常见的几种函数模型
设计意图与反思
教师
活动
问题：应用函数模型解决问题的基本过程是什么?
提示：(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模——求解数学模型,得出数学模型.
(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
知识梳理常见的几种函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)=blgax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)=axα+b(a,b为常数,a≠0)
反思感悟
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数;
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题;
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式的两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
学生
活动
1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨；
2.完成评价任务1，并进行自我评价.
评价任务1.
1.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a,则需经过的天数为 ( )
A.125 B.100 C.75 D.50
2.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 .
评价结果
优秀
达标
不达标
学以致用，学用然后知不足！
环节3：任务二：师生共研，走素养之路
设计意图与反思
教师
活动
类型一 利用已知函数模型解决问题
例1.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：
R（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400）,80 000（x>400）))，其中x为月产量．
（1）将利润表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
eq \a\vs4\al()规律方法：理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题．
类型二 构造函数模型解决问题
例2.目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万．（精确到1年）
eq \a\vs4\al()规律方法：建立函数模型应把握的三个关口
（1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．
（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．
类型三 拟合函数模型解决问题
例3.某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下：
投资A种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）．
通过典型例题和题型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。
反思感悟
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
学生
活动
1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨；
2.完成评价任务3，并进行自我评价.
评价任务2.
1.Lgit模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Lgit模型:I(t)=K1+e−0.24(t−53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时,标志着已初步得到遏制,则t*约为(注:e为自然对数的底数,ln 9≈2.2)( )
A.60 B.62 C.66 D.69
2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
评价结果
优秀
达标
不达标
学以致用，学用然后知不足！
环节4：板书设计与课堂小结
设计意图与反思
1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示；
2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。
培养学生的语言表达和对知识的构建和理解。
环节5：训练巩固评价提升
设计意图与反思
1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=lg2t
2.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足( )
A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x
3.(多选)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
4.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为 .
5.据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只,并以平均每年8%的速度增加.
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;
(3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上?(结果为整数)(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
6.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表:
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=algbt;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。
环节6：回扣目标
设计意图与反思
1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？
2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评
3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。
结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。
环节7：迁移应用及作业设计
设计意图与反思
1.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞,正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L,可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高,则需进一步探查原因,进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现,在特定实验环境下的某段时间内,可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位:109/L)与随用药量m(单位:mg)的变化规律,其中W0为初始白细胞计数对应值,K为参数.已知W0=20,用药量m=50时,在规定时间后测得白细胞计数W=14,要使白细胞计数达到正常值,则需将用药量至少提高到(参考数据:e15≈1.221)( )
A.58 B.59 C.60 D.62
2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A.16 h B.20 h C.24 h D.26 h
3.光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的110,要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下,至少需要这样的玻璃板的块数为 .(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
4.科学家发现某种特殊物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律满足关系式:y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0).
(1)若m=2,求经过多少分钟,该物质的温度为5摄氏度;
(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.
因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。