高中人教B版 (2019)4.6 函数的应用(二)测试题

十一　函数的应用(二)

 (15分钟　30分)

1.(2020·宝鸡高一检测)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车.              (　　) 

A.1  B.2  C.3  D.4

【解析】选B.设n个小时后才可以驾车,由题得方程0.8(1-50%)n=0.2,0.5n=,

n=2,即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.

2.(2020·郑州高一检测)有一个盛水的容器,由悬在它的上方的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中,时刻t,水面高度y如图所示,图中PQ为一线段,与之对应的容器的形状是              (　　)

【解析】选B.由函数图像可判断出该容器必定有不同规则形状,并且一开始先慢后快,所以下边粗,上边细,再由PQ为一线段,容器上端必是直的一段,故排除A,C,D.

【补偿训练】

(2020·福州高一检测)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:

现有如下4个模拟函数:

①y=0.6x-0.2;②y=x2-55x+8;③y=log2x;④y=2x-3.02.

请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映这些数据的规律,应选(　　)

A.①　　　　　　　B.②

C.③     D.④

【解析】选C.根据表中数据,画出图像如图:

通过图像可看出,y=log2x能比较近似地反映这些数据的规律.

3.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是              (　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033    B.1053

C.1071    D.1093

【解析】选D.设=x=,

两边取对数lg x=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80,lg x≈93.28,所以接近1093.

4.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的______倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.(　　) 

A.e6  B.e6-1   C.e6+1   D.106-1

【解析】选B.当v=12 000米/秒时,

2 000·ln=12 000,

所以ln=6,所以=e6-1.

5.研究人员发现某种物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律是:y=2·2x+21-x(x≥0)经过______分钟,该物质温度为5摄氏度.              (　　) 

A.1  B.2  C.4  D.8

【解析】选A.某种物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律是:

y=2·2x+21-x(x≥0),

当y=5时,2·2x+21-x=5,

由x≥0,解得x=1.

所以经过1分钟,该物质温度为5摄氏度.

6.家用冰箱制冷使用的氟化物,释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始量.

(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?

(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?(提示:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)

【解析】(1)因为Q0>0,-<0,e>1,

所以Q=Q0为减函数,

所以随时间的增加,臭氧的含量是减少的.

(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失,

则Q=Q0=Q0,即=,

取对数可得:-=ln

解得x=400ln 2≈277.2.

所以278年以后将会有一半的臭氧消失.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.某企业产值连续三年持续增长,这三年年增长率分别为P1,P2,P3,则这三年的年平均增长率为              (　　)

A.

B.

C.-1

D.1+

【解析】选C.设这三年的年平均增长率为x,企业产值的基数为a,

则a=a,所以 x=-1.

2.若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩余量为y,则x,y的函数关系式是              (　　)

A.y=0.957    B.y=0.957 6100x

C.y=   D.y=1-0.042

【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的百分比为t,

则有0.957 6=1·,t=1-,

所以y==0.957 .

3.某新品牌电视机投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是              (　　)

A.y=100x

B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x

D.y=100log2x+100

【解析】选C.由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大.

对于B中的函数,当x=4时,误差也较大.

对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小.

对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大.

综上,只有C中的函数误差最小,故选C.

4.(2020·潍坊高一检测)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aen t.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有,则m的值为              (　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

【解析】选D.根据题意得=ae5n,

令=aen t,即=en t,

因为 =e5n,故=e15n,

故t=15,m=15-5=10.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3所示.你能根据图像判断下列说法错误的是              (　　)

①图2的建议为减少运营成本

②图2的建议可能是提高票价

③图3的建议为减少运营成本

④图3的建议可能是提高票价

A.① B.② C.③ D.④

【解析】选BC.根据题意和图2知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变;由图3看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,综上可得①④正确,②③错误.

6.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)              (　　)

A.6  B.9  C.8  D.7

【解析】选BC.设经过n次过滤,产品达到市场要求,

则×≤,

即≤,

nlg ≤-lg 20,

即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),

得n≥≈7.4.

【补偿训练】

如图某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,以下叙述中正确的是 (　　)

A.这个指数函数的底数是2

B.第5个月时,浮萍的面积超过30 m2

C.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月

D.浮萍每个月增加的面积都相等

【解析】选AB.对于A,由图像知,t=2时,y=4,所以a2=4,故a=2,故A正确;

对于B,当t=5时,y=25=32>30,故B正确;

对于C,当y=4时,由=4,知t1=2,

当y=12时,由=12,知t2=log212=log24+log23=2+log23,则t2-t1=log23≠1.5,故C错误;

对于D,浮萍每月增加的面积不相等,实际上增长速度越来越快,故D错误.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,计划3年后全年植树12.5万棵.若植树的棵数每年的增长率均为a,则a=________. 

【解析】由题意可知6.4(1+a)3=12.5,

所以(1+a)3=,所以1+a=,

故a==25%.

答案:25%

8.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=,若l=6.05,则最大车流量为______辆/时. 

【解析】当l=6.05时,

F==,

因为v+≥2=22,当且仅当v=,

即v=11时取等号.所以F≤=2 018.

答案:2 018

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2020·吉林高一检测)我国加入WTO时,根据达成的协议,某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)=(其中t为关税的税率,且t∈[0,),x为市场价格,b,k为正常数).当t=时的市场供应量曲线如图所示.

(1)根据图像求b,k的值.

(2)当关税的税率t=时,求市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为多少?

【解析】(1)由图可知,,

解得k=6,b=5,

(2)由(1)可得P(x)=,

设m=(1-6t)(x-5)2,

当t=时,m=(x-5)2,

因为市场供应量P不低于1 024时,

所以2m≥1 024,解得m≥10,

所以(x-5)2≥10,解得x≥10.

故市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为10.

10.为了预防新冠病毒疫情,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后满足y=,如图所示,现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg,请按题中所供给的信息,解答下列各题.

(1)求y关于x的函数解析式;

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病毒,那么此次消毒是否有效?为什么?

【解析】(1)当0≤x≤8时,

设y=λx,代入(8,6),

解得λ=,

所以y=x(0≤x≤8).

当x≥8时,将(8,6)代入y=,

可得k=48,

所以y=,所以y=

(2)当x∈[0,8]时,x=3,解得x=4,

当x>8时,=3,解得x=16.

所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16-4=12(min)>10,所以此次消毒有效.

1.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae-k t(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.

(1)求a的值.

(2)求k的值.

(3)设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述试验中糖块的溶解过程.

【解析】(1)由题意,t=0,S=a=7.

(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,

所以3.5=7e-5k,解得k=.

(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示.

溶解过程,随着时间的增加,逐渐溶解,溶解的速度越来越慢.

2.(2020·上海高一检测)从金山区走出去的陈驰博士,在《自然——可持续性》杂志上发表的论文中指出:地球正在变绿,中国通过植树造林和提高农业效率,在其中起到了主导地位.已知某种树木的高度f(单位:米)与生长年限t(单位:年,tÎN*)满足如下的逻辑斯蒂函数:f=,其中e为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0.

(1)需要经过多少年,该树的高度才能超过5米?(精确到个位)

(2)在第几年内,该树长高最快?

【解析】(1) 令f=>5,解得t>4+2ln 5≈7.2,

即需要经过8年,该树的高度才能超过5米;

(2)当t∈N*时,

f-f=-

=

设e-0.5t+2=u,

则u∈,

f-f=.

令g=,

则g=.

上式当且仅当e0.5u=时,g取得最大值,

此时,u=e-0.25,即e-0.5t+2=e-0.25,解得t=4.5.

由于要求t为正整数,故树木长高最快时的t可能为4或5,又f-f=3-,

f-f=-3=3-,

所以,该树在第四年内或第五年内长高最快.