高中数学人教B版 (2019)必修 第一册集合的基本运算教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册集合的基本运算教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，核心素养，教学重点，教学难点，课前导读，自主思考，新课讲授，思考与讨论等内容，欢迎下载使用。
1.1.3集合的基本运算
集合的基本运算包括两个集合的交集、并集、补集。集合的基本运算比较能考察学生的核心素养，也是集合章节的重难点，本课时内容较抽象，需要结合数轴、维恩图等，在与子集、真子集、空集考察时学生会感到混淆和难以下手，教师要进行认真梳理分析。值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算．
【教学目标】
1、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。
2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
3、能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用
【核心素养】
数学抽象：集合的描述具有空间图形，结合集合的基本运算进行考核。
逻辑推理: 集合的基本运算。
数学建模: 通过生活的例子，建立相应地补集模型。
直观想象: 对交集、并集、全集、补集的描述建立Venn图、数轴。
数学运算: 对给出的两个或两个以上集合能写出其交集、并集、补集。
数据分析: 对给出对应集合的元素进行分析，求其交集、并集、补集。
【教学重点】
交集、并集、全集、补集的概念。
集合的基本运算性质。
【教学难点】
结合函数、图形、数轴等进行考察，需要学生具有扎实的数学基础。
对补集的描述建立维恩图，能正确辨析补集。
教师对前面两节内容进行课前复习，让学生先弄懂弄通集合里的数字、符号指的是什么，形象教授子集、真子集的概念，把易混淆的知识点举例出来，集合是一个联系的有机整体，学生彻底掌握前面两节知识才好讲授这一章节。
一、交集
【课前导读】
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：
（1）中考的物理成绩不低于80分；
（2）中考的数学成绩不低于70分。
如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？
【自主思考】
谈谈你对交集的理解与认识。
★教师可以提问学生，交集是一个集合还是元素，还是其他东西，可以多举生活的例子来加深学生对交集的理解。
【新课讲授】
可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M.
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作
A∩B，
读作“A交B”.两个集合的交集可用图1所示的阴影部分形象地表示.

因此，上述新课导入中的问题中的集合满足P∩M=S.
例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为
{（x，y）|y=0}∩{（x，y）|x=0}=
从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算。
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：
（1）A∩B=B∩A；
（2）A∩A=A；
（3）A∩∅=∅∩A=∅；
（4）如果A⊆B，则A∩B=A，反之也成立.
【思考与讨论】
如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？
【典型例题】
例1 求下列每对集合的交集：
（1）A={1，-3}，B={-1，-3}；
（2）C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8}；
（3）E=（1，3]，F=[-2，2）.
解：（1）因为A和B的公共元素只有一3，所以
A∩B={-3}
因为C和D没有公共元素，所以C∩D=∅.
（3）在数轴上表示出区间E和F，如下图所示，

如图可知
E∩F=（1，2）.
例2 已知A={x|x是菱形}，B={x|x是矩形}，求A∩B.
解：A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}.
我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解.例如，平面直角坐标系中的点（x，y）在第一象限的条件是：横坐标大于0且纵坐标大于0，用集合的语言可以表示为
{（x，y）|x>0}∩（（x，y）|y>0}={（x，y）|x>0，y>0}，也就是说，为了保证点（x，y）在第一象限，条件横坐标大于0与纵坐标大于0要同时成立。
二、并集
【课前导读】
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
【新课讲授】
可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N.
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作
A∪B，
读作“A并B”.两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表示.由A，B构造出A∪B，通常称为并集运算。
因此，上述情境与问题中的集合满足M∪N=P.
例如，
{1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6}.
注意，同时属于A和B的元素，在A∪B中只能出现一次。
【尝试与发现】
类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：
A∪B= ；
A∪A= ；
（3）A∪∅=∅∪A= ；
（4）如果A⊆B，则A∪B= ，反之也成立.
【典型例题】
例3已知区间A=（-3，1），B=[-2，3]，求A∩B，A∪B.
解：在数轴上表示出A和B，如图所示。

由图可知
A∩B= ，A∪B=
我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解.例如，x≥0的含义是x>0或x=0，这可以用集合语言表示为
{x|x≥0}={x|x>0或x=0）={x|x>0}∪{x|x=0}，
也就是说，为了保证x≥0，条件x>0与x=0只要有一个成立即可。
【探索与研究】
（1）设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card（∅）=0.已知A={x|x是外语兴趣小组的成员}，B={x|x是数学兴趣小组的成员}，且card（A）=20，card（B）=8，card（A∩B）=4，你能求出card（A∪B）吗？
（2）设A，B为两个有限集，讨论card（ A），card（ B），card（A∩B），card（A∪B）之间的关系.
补集
【课前导读】
如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系？
（2）如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？
【新课讲授】
可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果x∈S且x∉M，则一定有x∈F.
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作
UA，
读作“A在U中的补集”.由全集U及其子集A得到 UA，通常称为补集运算.
集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，
如右图所示.
因此，上述情境与问题中的集合满足
sF=M，sM=F.
例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则
UA={2，4，6}.
注意，此时UA仍是U的一个子集，因此U（UA）也是有意义的，此例中的
U（UA）={1，3，5}=A.
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：
A∪（UA）=U；
A∩（UA）=∅；
U（UA）=A.
【思考与讨论】
补集的性质是否可以借助维恩图来直观理解？
【典型例题】
例4已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x²≤7}，B={x∈U|0