高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算课后作业题

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1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a、b 、c……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).

OA=OB+OC=a+b， CB=OB−OC=a−b， OP=λa (λ∈R)
(2) 运算律
① 加法交换律:a+b=b +a ；
② 加法结合律:(a+b)+c =a+(b +c )；
③ 数乘分配律:λ(a+b)=λ a+λb ；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC1=AB+AD+AA1.
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a平行于b ，记作a//b .
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a ，b (b≠0 ) ， a// b⇒ 存在实数λ，使a=λ b .
(3) 三点共线：A、B、C三点共线⇒ AB=λ AC⇒ OC=xOA+yOB(其中 x+y=1)
(4) 与a共线的单位向量为±aa.
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量a , b 不共线，p与向量a , b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x , y)，使p=xa+yb .
(3) 四点共面
方法1 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明AP=x AB+y AC
方法2 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明 OP=x OA+y OB+z OC (其中x+y+z=1)

证明 若x+y+z=1，
则OP=x OA+y OB+z OC=x OA+y OB+1−x−yOC
=OC+xOA−OC+yOB−OC=OC+xCA+yCB，
∴OP−OC=xCA+yCB，∴CP=xCA+yCB，
即CP,CA,CB共面，即A、B、C、P四点共面.
【题型 1 空间向量的线性运算】
【例题1】已知在空间四边形ABCD中，G是△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)AG+13BE+12CA；(2)12(AB+AC−AD)；(3)13(AB+AC+AD)
【解析】(1)AG+13BE+12CA=AB+BG+13BE+12CA
=AB+23BE+13BE+12CA=AB+BE+12CA=AE+12CA =12AC+12AD+12CA=12AD=AF，
(2)12(AB+AC−AD)=AH−12AD=AH−AF=FH；
(3)13(AB+AC+AD)=13×2AH+13AD=23AH+12AD，
在三角形ADH中，DG=2GH，则AG−AD=2(AH−AG)，
即有AG=13(2AH+AD)，则有13(AB+AC+AD)=AG．
【例题2】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，
若AB=a，AD=b ，AA1=c，则CM=( )
A．12a+12b+cB．12a−12b+cC．−12a+12b+cD．−12a−12b+c
【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把CM向a , b , c靠拢)
CM=CB+BM=−b+BA+AM=−b−a+AA1+A1M=−b−a+c+12AC
=−b−a+c+12b+a =−12a−12b+c；故选：D．
巩固练习
1(★) 在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于 .(用AB，AC，AD表示)
【答案】 −12AC−12AB+23AD
【解析】在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，
所以EF=AF−AE=23AD−12AB+12AC=−12AC−12AB+23AD．
2(★) 在空间四边形ABCD中，连结AC，BD．若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB+12BC−32DE−AD的化简结果为__________．
【答案】 0
【解析】如图，延长DE交BC于点F，根据题意知F为BC的中点．
又因为E为正三角形BCD的中心，所以DE=23DF，即DF=32DE，
所以AB+12BC−32DE−AD=(AB−AD)+BF−32DE=DB+BF−DF=DF−DF=0．
3(★★) 如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN=13AC1，用a , b, c表示向量MN的结果是 .
【答案】 13a−23b−16c
【解析】∵M是D1D的中点，AN=13AC1
∴MN=MD+DA+AN=−12DDD1−AD+13AC1=−12AA1−AD+13AA1+AD+AB
=13AB−23AD−16AA1=13a−23b−16c．
4(★★★) 在三棱锥A−BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3，则AP= . (用AB，AC，AD表示)
【答案】13AB+12AC+16AD
【解析】三棱锥A−BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：
延长PB至B1，使得PB1=2PB，延长PC至C1，使得PC1=3PC，连接DB1,B1C1,C1D，
因为S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3，所以S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，
所以P为△B1C1D的重心，所以PD+PB1+PC1=0，即PD+2PB+3PC=0，
所以(AD−AP)+2(AB−AP)+3(AC−AP)=0，所以AP=13AB+12AC+16AD．
【题型2 空间向量共线共面问题】
【例题1】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC，求证：E,F,B三点共线．
【解析】设AB=a,AD=b,AA1=c
∴EB=EA1+A1A+AB=23DA−AA1+AB=a−c−23b，
∵A1E=2ED1,A1F=23FC，∴A1E=23A1D1,A1F=25A1C，
∴A1E=23AD=23b，A1F=25AC−AA1=25AB+AD−AA1=25a+25b−25c，
∴EF=A1F−A1E=25a−415b−25c=25a−23b−c，
又∵由(1)知EB=a−23b−c，∴EF=25EB，且有公共点E，
所以E,F,B三点共线．
【例题2】 已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
(1)OB+OM=3OP−OA；(2)OP=4OA−OB−OM．
【解析】(1)∵A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，
又∵对于平面ABM外的任意一点O，
若OB+OM=3OP−OA，则，
∵13+13+13=1，故点P与A,B,M共面，
(2)∵A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，
又对于平面ABM外任意一点，
若OP=4OA−OB−OM，则4−1−1=2≠1，
故点P与A,B,M不共面．
【例题3】 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E,F,G,H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．试用向量法证明E,F,G,H四点共面．
【解析】 分别延长PE,PF,PG、PH，交对边于M,N,Q,R点，因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心，所以M,N,Q,R为所在边的中点，顺次连接M,N,Q,R得到的四边形为平行四边形，且有PE=23PM,PF=23PN,PG=23PQ,PH=23PR；如图所示，
∴MQ=MN+MR=PN−PM+PR−PM =32(PF−PE)+32(PH−PE)=32(EF+EH)；
又∵MQ=PQ−PM=32PG−32PE=32EG，
∴32EG=32(EF+EH)，∴EG=EF+EH
由共面向量定理知：E,F,G,H四点共面．
巩固练习
1.已知向量a，b且AB=a+2b,BC=−5a+6b,CD=7a−2b，则一定共线的三点为( )．
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】因为BD=BC+CD=−5a+6b+7a−2b=2a+4b=2AB，所以AB与BD共线，即A，B，D三点共线．
2. 在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．OM=OA−OB−OCB．OM=15OA+13OB+12OC
C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0
【答案】C
【解析】在C中，由MA+MB+MC=0，得MA=−MB−MC，则MA,MB,MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面；对于A，由OM=OA−OB−OC，得1－1－1=－1≠1，不能得出M、A、B、C四点共面；
对于B，由OM=15OA+13OB+12OC，得15+13+12≠1，所以M、A、B、C四点不共面；
对于D，由OM+OA+OB+OC=0，得OM=−(OA+OB+OC)，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面．故选：C．
3. (多选题)在以下命题中，不正确的命题有( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．若a//b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
C．对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C，若OP=2OA+2OB−3OC，
则P,A,B,C四点共面
D．若两个非零空间向量AB,CD，满足AB+CD=0，则AB//CD
【答案】 AB
【解析】 当b=0，满足a与b共线，b与c共线，而a与c不一定共线，故A错误；
当a与b均为零向量时，能够保证a//b，则存在无数多的实数λ，使得a=λb，故错误；
∵OP=2OA+2OB−3OC，即OP−OA=(OA−OC)+2(OB−OC)，∴AP=CA+2CB，
由平面向量基本定理可得P,A,B,C四四点共面，故C正确；
∵非零空间向量AB,CD满足AB+CD=0，∴AB=−CD，∴AB//CD，故D正确．故选：AB．
1．对于空间向量a＝（1，2，3），b＝（λ，4，6）.若，则实数λ＝
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【分析】根据向量，知它们的坐标对应成比例，求出的值．
【详解】因为空间向量，若，则，所以,故选D.
2．设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由 ，
当“A、B、C、D四点在同一条直线上时， A, B, C, D四点不共圆，
若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时.故选: D
3．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】如图，连接，因为点，分别是，的中点，所以.
因为点是的中点，所以.
因为点是的中点，所以，则.故选：D.
4．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：，
又与过同一点B，∴ A、B、D三点共线．故选：C．
5．设为向量, 则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】为向量, ,向量的夹角为或则“”是 ”的充分必要条件.此类问题解答要注意掌握好命题条件和向量共线的基本知识.
6．对于向量和实数，下列命题中真命题是( )
A．若，则或B．若，则或
C．若，则或D．若，则
【答案】B
【分析】根据数量积的性质判断A，C，D，根据数乘向量的运算的定义判断B.
【详解】对于选项A，C，D，设，，，则，但且， A错，
， 但且，C错，由，但 ，D错，由可得或，B对，
故选：B．
7．设，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
一、单选题
1．已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2B．-9C．D．2
【答案】D
【分析】结合空间向量的数量积的应用即可.
【详解】因为，所以，
又，所以.故选：D
2．已知，，，为空间中的任意四点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】已知，，，为空间中的任意四点，则．故选：．
3．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.
【详解】
由点M满足，所以M为中点，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点,
所以，所以.故选：C
二、填空题
4．化简：______．
【答案】
【分析】由向量的线性运算可直接得到结果.
【详解】．故答案为：.
5．已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.
【答案】2．
【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．
三、解答题
6．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
7．已知､､是不共面的向量，且，，，.
(1)判断P､A､B､C四点是否共面；
(2)能否用､､表示？并说明理由.
【答案】(1)不共面(2)能，理由见解析
【分析】（1）利用反证法判断出四点不共面.
（2）结合平面向量的线性运算，用､､表示出.
(1)假设P､A､B､C四点共面，则存在实数x､y､z，使，且，
即.
比较对应的系数，得到关于x､y､z的方程组，解得，这与矛盾，
故P､A､B､C四点不共面；
(2)能用､､表示，理由如下：
若､､共面，则存在实数m､n，使，
同（1）可证，､､不共面，即是向量､与的线性组合，
令，，，
由，得，
所以.