高中空间向量的应用一课一练

这是一份高中空间向量的应用一课一练，文件包含人教A版选择性必修第一册高二数学上册同步题型专练第06讲空间向量的应用---线面位置关系的证明原卷版docx、人教A版选择性必修第一册高二数学上册同步题型专练第06讲空间向量的应用---线面位置关系的证明解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
2.空间中线与面的位置关系：线面平行、线在面内、线面相交.
3.空间中面与面的位置关系：面面平行、面面相交.
1 直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线 l 的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
(2)平面的法向量
若向量n所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，向量n叫做平面α的法向量.
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
① 建立适当的坐标系；
② 设平面α 的法向量为 n=(x, y, z)；
③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3) ；
④ 根据法向量定义建立方程组n⋅a=0n⋅b=0
⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.
2 判定空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线l1, l2的方向向量分别是a, b，则要证明 l1|| l2，只需证明a|| b，即a=k b(k∈ R).
(2)线面平行
设直线 l 的方向向量是 a，平面α的法向量是n ，则要证明l||α，
只需证明a⊥ n，即 a⋅ n=0.
(3)面面平行
若平面α 的法向量为n1，平面β的法向量为n2,要证α||β ，只需证n1||n2 ，即证n1=λn2.
3 判定空间的垂直关系
(1)线线垂直:
设直线l1, l2的方向向量分别是a, b，则要证明l1⊥ l2 ，只需证明a⊥b，即a⋅ b=0 .
(2)线面垂直
①(法一)设直线 l的方向向量是a,平面α 的法向量是n ，则要证明l⊥α ，只需证明a||n，即 a=λ n.
②(法二)设直线 l的方向向量是a，平面α 内的两个相交向量分别为m, n ，
若 a⋅m=0a⋅n=0 ,则 l⊥α.
(3)面面垂直
若平面α的法向量为 n1 ，平面β的法向量为 n2 ，要证α⊥β，
只需证n1 ⊥n2 ，即证n1 ⋅n2 =0.
【题型 】线面、面面位置关系的证明
【典题1】 若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,−3)，b=(−1,2,2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
【典题2】 如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1A1'、AA1'于点B1、P，作CC1∥AA1，分别交A1A1'、AA1'于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A'A1'与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1．
(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，求证：AB⊥平面BCC1B1；
(2)试判断直线AQ是否与平面A1C1P平行，并说明理由．
【典题3】 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，D，E分别是棱BC，CC1上的点，且AD⊥BC．
(1) 求证:直线A1F∥平面ADE；
(2) 若∆ABC是正三角形,E为C1C中点，能否在线段B1B上找一点N，使得A1N∥平面ADE？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．
【典题4】 如图，四棱锥S－ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=3．E为CD上一点，且CE=3DE．
(1)求证：AE⊥平面SBD；
(2)M、N分别在线段SB、CD上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．
巩固练习
1. 已知n=(1,2,−1)为平面α的一个法向量，a=(−2,λ,1)为直线l的方向向量．若l∥α，则λ= ．
2. 已知平面α的法向量是a=(3x−1,−1,x+5)，平面β的法向量是b=(x+1,x2+3,−x)，且α⊥β，则实数x的值为 ．
3. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D为BC的中点．
(1)证明：A1B∥平面ADC1；(2)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．
4 . 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

一、单选题
1．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
2．已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．直线与直线共面B．不垂直于
C．直线与直线的所成角为60°D．三棱锥的体积为
3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，截面与直线平行，与交于点E，则下列说法错误的是（ ）

A．平面
B．E为的中点
C．三棱锥的外接球的体积为
D．与所成角的正弦值为
4．已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知，，是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（ ）

A．平面
B．球的体积为
C．球被平面截得的截面面积为
7．如图，在三棱柱中，平面，是棱上的一个动点，则（ ）

A．直线与直线是异面直线
B．周长的最小值为
C．存在点使得平面平面
D．点到平面的最大距离为
三、填空题
8．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④m，n是两条异面直线，若，则．
上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）
9．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若，则m平行于平面内的任一条直线；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）
10．已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面最长边长为，最短边长为，则________.

一、单选题
1．设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．B．或
C．D．
2．直线l的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行C．相交D．平行或直线在平面内
4．在正方体中,平面 的一个法向量为( )
A． B． C． D．
5．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（ ）
A．，，且，
B．，，且
C．，，且
D．，，且
6．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7.已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是，的中点，点满足，下列选项正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，为锐角D．当时，平面
三、填空题
9．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是________．
10．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是___________.
①(-1，1，1)，②(1，-1，1)，③(-，-，-)，④(，，-).
11．在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.
①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得平面；
③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；
④对任意的点P，的面积都不等于.
12．如图，在直角梯形中，E为的中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的序号为______．
①；
②；
③平面；
④存在某折起位置，使得平面平面．
四、解答题
13．已知，，.求平面的一个法向量；
14．如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；
15．四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）为中点，在四边形所在的平面内是否存在一点，使得平面，若存在，求三角形的面积；若不存在，请说明理由.
16．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.