数学必修 第二册简单几何体的表面积与体积优质学案设计

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▉【知识点1 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积

2．旋转体的侧面积、表面积和体积
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
▉【知识点2 球的截面、几何体与球的切、接问题】
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

▉一．棱柱的侧面积和表面积（共5小题）
1．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝1．若球O的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．2+22B．22C．3+22D．3+23
【答案】C
【解答】解：设BC，B1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，取MM1的中点O．
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BM∥B1M1，BM=B1M1=12BC，
四边形BMM1B1是平行四边形，有MM1∥AA1，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，AB＝AC＝1，所以AB⊥AC，A1B1⊥A1C1，
M，M1分别是Rt△ABC，Rt△A1B1C1的外接圆圆心．
因为AA1⊥平面ABC，所以MM1⊥平面ABC，
所以O为ABC﹣A1B1C1的外接球的球心．
连接OB，因为球O的表面积为4π，所以球O的半径为1，即OB＝1，
AB＝AC＝1，则BC=2，BM=22，可得OM=22，MM1=2，
所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S=12×1×1×2+(1+1+2)×2=3+22．
故选：C．
2．已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．40B．32+162C．64+162D．64+163
【答案】C
【解答】解：由于直观图是边长为2的正方形，
所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为42的平行四边形，
其周长是2+6+2+6＝16，面积是2×42=82，
所以直四棱柱的表面积是16×4+82×2=64+162．
故选：C．
3．高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为32cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 18 cm2．
【答案】18．
【解答】解：设正四棱柱上底面所在圆的半径为r，高为h，
则正四棱柱底面棱长为2r，
因为圆锥的底面圆半径为3，高为32，
且r3=32−h32，
得h=2(3−r)，
所以正四棱柱的侧面积为S=42r×2(3−r)=8r(3−r)=−8(r−32)2+18，
当r=32时，侧面积的最大值为18．
故答案为：18．
4．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为 48(3+3) ．
【答案】48(3+3)．
【解答】解：根据题意可知，正六棱柱的高为6，底面边长为4，
该正六棱柱的两底面面积和为2×6×34×42=483，侧面积为6×4×6＝144，
所以该正六棱柱的表面积为48(3+3)．
故答案为：48(3+3)．
5．已知圆锥的半径OB=r=3，母线长为23．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
【答案】（1）表面积9π，体积3π；（2）体积15π8，表面积9π+33π2．
【解答】解：（1）设圆锥的高为h，
由题意得：
AB=23，OB=3，AO=(23)2−(3)2=3，
所以h＝3，
所以圆锥侧面积S1=πrl=23⋅3π=6π，
圆锥的底面积S2=πr2=3π，
所以圆锥的表面积S圆锥＝S1+S2＝9π；
所以圆锥的体积为V1=13Sh=13πr2h=13π×(3)2×3=3π．
（2）因为圆柱的底面半径为r2=32，高（母线）为h2=32，
所以圆柱的体积为V2=π(r2)2h2=π×34×32=9π8，
所以剩下几何体的体积为V=V1−V2=3π−9π8=15π8，
由（1）得圆锥的表面积S圆锥＝S1+S2＝9π，
S圆柱侧=2πrl=2π×32×32=33π2，
S剩=S圆锥+S圆柱侧=9π+33π2．
▉二．棱锥的侧面积和表面积（共6小题）
6．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（ ）
A．240πB．220πC．160πD．176π
【答案】A
【解答】解：因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，
则底面圆面面积为：π×82＝64π，
因为圆柱的高为6，
所以圆柱的侧面为：2×8π×6＝96π，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，
得圆锥母线长为62+82=10，
所以圆锥的侧面为：12×10×2×8π=80π，
所以该陀螺的表面积为：64π+96π+80π＝240π．
故选：A．
7．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ）
A．33B．63C．62D．233
【答案】D
【解答】解：已知有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，
由正四面体木料知，底面为边长为2的正三角形，故底面面积为3，
因为平面平行于该木料底面，故该平面在木料上的截面也为正三角形，
设该正三角形与底面的相似比为k，则该平面在木料上的截面面积为3k2，
截下部分一部分为小四面体，一部分为正三棱台，其中小四面体部分的表面积即43k2，
正三棱台表面积为43−33k2+3k2=43−23k2，
故43k2=43−23k2，解得k2=23，所以该平面在木料上的截面面积为233．
故选：D．
8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，过点A1，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（ ）
A．24+42B．24+43C．24+82D．24+83
【答案】C
【解答】解：由题意知，过点A1，B，C的平面为平面A1BCD1，
所以这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上长方形A1BCD1的面积的2倍，
因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，所以BC＝2，A1B=22，
则正方体的表面积为22×6＝24，长方形A1BCD1的面积为2×22=42，
所以这两个几何体的表面积之和为24+82．
故选：C．
9．若正四棱锥的高为23，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ）
A．12B．24C．32D．48
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，正四棱锥的高为23，
如图，PO是正四棱锥的高，所以PO=23，
PE是斜高，由S侧＝2S底可得4⋅12⋅BC⋅PE=2BC2，
所以BC＝PE，在Rt△POE中，PO=23，
OE=12BC=12PE，所以12+(PE2)2=PE2，所以PE＝4，
所以S底=BC2=PE2=16，S侧=2S底=2×16=32，
所以S表＝S底+S侧＝16+32＝48．
故选：D．
10．以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为 43 ．
【答案】43．
【解答】解：由题意知，以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体，表面是边长为2的8个全等正三角形，
所以该八面体的表面积为S＝8×12×(2)2×sinπ3=43．
故答案为：43．
11．如图，在棱长为3的正四面体A﹣BCD中，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别为所在棱的三等分点．
（1）求多面体E1F1G1H1﹣E2F2G2H2的表面积S；
（2）求多面体AC﹣E1F1G1H1的体积V．
【答案】（1）33+4；
（2）7212．
【解答】解：（1）由题意知，四边形E1E2H2H1是等腰梯形，四边形棱E1F1G1H1是矩形，
且E1H1＝2，E1E2＝E2H2＝H2H1＝E1F1＝1，
所以梯形E1E2H2H1的面积为S1=12×（1+2）×12−(12)2=334，
矩形E1F1G1H1的面积为S2＝2×1＝2，
所以多面体E1F1G1H1﹣E2F2G2H2的表面积为S＝4S1+2S2＝33+4；
（2）过点E1作E1M∥BC，交棱AC与点M，连接MF1，则MF1∥CD，
所以四棱锥A﹣ME1F1的体积为V1=13×12×12×32×12−(23×32)2=212，
三棱柱ME1F1﹣CH1G1的体积为V2＝3×2V1=22，
所以多面体AC﹣E1F1G1H1的体积为V＝V1+V2=212+22=7212．
▉三．棱台的侧面积和表面积（共4小题）
12．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是3，则它的侧面积为（ ）
A．6B．123C．24D．44
【答案】C
【解答】解：∵正四棱台的侧面为等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为3，
∴侧面梯形的斜高为h'=(3)2+1=2，
∴棱台的侧面积为S=4×12（a+b）h'＝4×12（2+4）×2＝24．
故选：C．
13．正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积和体积分别为（ ）
A．1621+603；263B．1621+603；523
C．2421+603；783D．2421+603；843
【答案】C
【解答】解：如图在正六棱台ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，
因为A1B1＝2，AB＝6，AA1＝5，
所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为：52−(6−22)2=21，
所以梯形ABB1A1的面积为：S=12×(2+6)×21=421，
所以该正六棱台的上底面积为：S1=6×12×2×2×sin60°=63，
同理下底面积为：S2=6×12×6×6×sin60°=543，
所以正六棱台的表面积为：6S+S1+S2=2421+603，
正六棱台的高为OO1=52−(6−2)2=3，
所以正六棱台的体积为：V=13(S1+S2+S1S2)h=13×(63+543+63×543)×3=783，
故选：C．
14．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1中，上底面边长为3，下底面边长为23，该几何体的体积为734，则该几何体的侧棱长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图：
O，O1分别为正三棱台的上、下底面的中心，
取B1C1，BC的中点D，E，连接A1D，AE，作DF∥OO1，
则AE⊥BC，A1D⊥B1C1，DF＝OO1，ED⊥BC，
设正三棱台的高为h，
由已知，正三棱台的下、上底面的面积分别为S下=12×(23)2×32=33，S上=12×(3)2×32=334，
则13(334+334×33+33)h=734，
解得h＝OO1＝DF＝1，
EF=13×23×32−13×3×32=12，
所以该正三棱台的侧面上的高为ED=DF2+EF2=12+(12)2=52，
所以在侧面等腰梯形中，侧棱BB1=(32)2+(52)2=2．
故答案为：2．
15．如图是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正四棱台构成．已知球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm．
（1）求下部分正四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积．（结果取整数，π取3）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，
则该四棱台的斜高为(15−112)2+52=29，
所以正四棱台的侧面积为4×12×（11+15）×29=5229（cm2）；
（2）因为球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，
所以球的体积为43π×43=256π3；
长方体的体积为8×6×18＝864；
正四棱台的体积为13×（112+152+112×152）×5=25553；
所以奖杯的体积为256π3+864+25553≈1972（cm3）．
▉四．棱柱的体积（共5小题）
16．已知一个底面半径为2，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（ ）
A．3227B．6427C．2732D．2764
【答案】A
【解答】解：根据题意可得所求正四棱柱体积最大为圆锥的内接正四棱柱，
设正四棱柱的底面边长为a，高为h，
则h2=2−22a2，所以h＝2﹣a，
所以正四棱柱体积为：
a2h＝a2（2﹣a）=12⋅a⋅a(4−2a)≤12×(a+a+4−2a3)3=3227，
当且仅当a＝4﹣2a，即a=43时，等号成立，
所以正四棱柱体积最大值为3227．
故选：A．
17．在如图五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3．则该五面体的体积为（ ）
A．36B．34+12C．32D．334−12
【答案】C
【解答】解：因为五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，
且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3，
所以对称补形如下：
所以三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，
侧棱长为1+3＝2+2＝3+1＝4，
所以该五面体的体积为VABC−DEF=12VABC−HIJ=12×12×1×1×32×4=32．
故选：C．
18．已知圆锥的底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的体积为（ ）
A．22B．24C．33D．19
【答案】B
【解答】解：过圆锥的顶点A和正方体底面的一条对角线FG作圆锥的截面，如图，
则△ABC是圆锥的轴截面，矩形EFGH为正方体的对角面，
设正方体的棱长为x，则EF=GH=x，FG=EG=2x，
设O是圆锥底面圆心，则AO⊥BC，AO=2，OB＝OC＝1，
由EF⊥BC，得EF∥AO，
则x2=1−22x1，
即x=2−x，
解得x=22，
所以这个内接正方体的体积为(22)3=24．
故选：B．
19．如图，正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为5，点M，N分别为线段E1E，E1D1的中点，若异面直线MN与B1C所成角的余弦值是14，则此正六棱柱的体积为（ ）
A．37532B．37532或7552
C．7552D．37532或75152
【答案】D
【解答】解：在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，连接ED1，AB1，则MN∥ED1∥AB1，
所以∠AB1C（或其补角）为异面直线MN与B1C所成的角，
即cs∠AB1C＝±14，
连接AC，
设此正六棱柱的高为h，则B1A=B1C=h2+25，
在△ABC中，由余弦定理知，AC2=BA2+BC2−2BA⋅BC⋅cs2π3=75，
在△AB1C中，由余弦定理知，cs∠AB1C=B1A2+B1C2−AC22B1A⋅B1C=±14，
所以h2+25+h2+25−752(h2+25)=±14，解得h＝5或5，
而此正六棱柱的体积V=6×34×25h=7532h，
所以V=37532或75152．
故选：D．
20．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接A1B、A1C与B1C，记三棱锥B1﹣A1CB的体积大小为3，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积大小为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：设斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，S△ABC＝S，斜三棱柱的体积为V，
所以V＝Sh，
因为VA1−ABC=VC−A1B1C1=13Sh，
所以VB1−A1CB=V−VC−A1B1C1−VA1−ABC=Sh−13Sh−13Sh=13Sh，
又因为三棱锥B1﹣A1CB的体积大小为3，
所以13Sh=3，
解得Sh＝9，
所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为9．
故答案为：9．
▉五．棱锥的体积（共4小题）
21．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．363B．366C．1083D．1086
【答案】A
【解答】解：如图，正四棱锥S﹣ABCD，BC＝6，O为底面正方形中心，E为BC中点，
由已知可得4×12×6×SE=6×6×2，所以 SE＝6，又OE＝3，
所以SO=SE2−OE2=33，所以正四棱锥的体积为V=13×6×6×33=363．
故选：A．
22．已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A．14B．24C．34D．1
【答案】A
【解答】解：由∠ACB＝120°，AC＝BC＝1，得S△ABC=12×12×sin120°=34，
且△ABC外接圆半径r=12sin30°=1，
因此球心O到平面ABC的距离d=22−12=3，
所以三棱锥O﹣ABC的体积为V=13S△ABC⋅d=13×34×3=14．
故选：A．
23．如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转、连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为（ ）
A．23+436B．203C．1033D．20
【答案】C
【解答】解：如图，把几何体补全为长方体，则A1E=A1H=12A1B1=1，AA1=3，
所以该几何体体积为VABCD−A0B1D1−4VA−A1EH=2×2×3−4×13×12×1×1×3=1033．
故选：C．
24．如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=12AC=2，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥SO的侧面积为82π
B．三棱锥S﹣ABC的体积的最大值为123
C．∠SAB的取值范围是(π4，π3)
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2(3+1)
【答案】D
【解答】解：在Rt△SOC中，SC=SO2+OC2=22，则圆锥的母线长l=22，半径r＝OC＝2，
对于A，圆锥SO的侧面积为：πrl=42π，故A错误；
对于B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC=12×4×2=4，
则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为13×S△ABC×SO=13×4×2=83，故B错误；
对于C，因为△SAB为等腰三角形，SA＝SB，又SA2+SC2＝AC2，所以∠ASC=π2，
当点B与点A重合时，∠ASB＝0为最小角，当点B与点C重合时∠ASB=π2，达到最大值，
又因为B与A，C不重合，则∠ASB∈(0，π2)，又2∠SAB+∠ASB＝π，可得∠SAB∈(π4，π2)，故C错误；
对于D，由AB=BC，∠ABC=π2，AC=4，得AB=BC=22，又SA=SB=22，
则△SAB为等边三角形，则∠SBA=π3，将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S1AB，
则△S1AB为等边三角形，∠S1BA=π3，如图可知（SE+CE）min＝S1C，
因为S1B=BC=22，∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=5π6，
S1C2=S1B2+BC2−2×S1B×BC×cs5π6=8+8+83=(23+2)2，
则(SE+CE)min=S1C=2(3+1)，故D正确．
故选：D．
▉六．棱台的体积（共4小题）
25．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，22，侧棱长为10，则该正四棱台的体积为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【答案】A
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面的边长分别为2，22，侧棱长为10，
所以作出示意图如下：
过A1作下底面的投影，垂足为M，
上底面对角线长A1C1=2×2=2，
下底面对角线长AC=2×22=4，
则AM=12(AC−A1C1)=1，可得正四棱台的高为：A1M=A1A2−AM2=10−1=3，
所以正四棱台的体积V=13(2+2×8+8)×3=14．
故选：A．
26．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB＝10，A1B1＝2，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的34时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ）
A．112B．4963C．18509D．496
【答案】B
【解答】解：如图，
延长棱台的四条侧棱交于一点P，设正四棱台的高为h，则水的高为34h，
因为AB＝10，A1B1＝2，所以由相似可知，四棱锥P﹣A1B1C1D1的高为14h，
设四棱锥P﹣A1B1C1D1的体积为V，正四棱台的体积为V1，
则VV+84=(14)3，解得V=43，
又VV+V1=(15)3，解得V1=4963．
故选：B．
27．已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为 2823 ．
【答案】2823
【解答】解：由题意作出正四棱台图像，如下图所示：
ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝AA1＝2，A1B1＝4，
连接AC，A1C1得AC=22，A1C1=42，
过A作AG⊥A1C1，过C作CH⊥A1C1，
则AC=GH=22，A1G=HC1=2，
在直角三角形AA1G中，得AG=(AA1)2−(A1G)2=22−(2)2=2，
所以正四棱台的高h=2，又正四棱台上下底面积为4和16，
所以体积V=13×2×(16+16×4+4)=2823．
故答案为：2823．
28．如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，B1C1＝2AB＝2AA1＝2．
（Ⅰ）求证：BB1⊥AC；
（Ⅱ）求正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积；
（Ⅲ）求正三棱台ABC﹣A1B1C1内能容纳的最大球的体积．
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；
（Ⅱ）7212；
（Ⅲ）6π27．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长B1B，A1A，C1C交于点P，如图，
因为B1C1＝2AB＝2AA1＝2，
所以三棱锥P﹣A1B1C1是所有棱长均为2的正三棱锥，
设P在底面A1B1C1内的射影为O1，则O1为底面A1B1C1的中心，
连接O1P，O1B1，则O1P⊥A1C1，O1B1⊥A1C1，
又O1P∩O1B1＝O1，O1P，O1B1⊂平面PO1B1，所以A1C1⊥平面PO1B1，
又PB1⊂平面PO1B1，所以PB1⊥A1C1，即BB1⊥A1C1，
又AC∥A1C1，所以BB1⊥AC；
（Ⅱ）设底面A1B1C1的中心为O1，连接O1P，O1B1，易知O1B1=233，
则PO1=4−43=263，则正三棱台ABC﹣A1B1C1的高h=63，
所以V正三棱台ABC−A1B1C1
=13×(34×4+34×4×34×1+34×1)×63=7212；
（Ⅲ）如图，
设正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面的中心为O2，AB的中点为G，A1B1的中点为H，
连接O1O2，O2G，O1H，GH，
则当球最大时，其球心O在线段O1O2上，易知O2G=36，O1H=33，
正三棱台的高O1O2=63，斜高GH=32，
因为O2G+O1H＝GH，所以球O最大时球面与正三棱台的上、下底面及侧面均相切，
此时球O的半径R=12O1O2=66，体积V=43πR3=43π×(66)3=6π27．
▉七．圆柱的侧面积和表面积（共4小题）
29．若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为λ，表面积之比为μ，则（ ）
A．λ＝μB．λ＜μ
C．λ＞μD．λ，μ的大小不确定
【答案】A
【解答】解：由题意可设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，
则λ=πr2⋅2r43πr3=32，μ=2πr⋅2r+2πr24πr2=32，
∴λ＝μ．
故选：A．
30．如图，圆锥PO的底面直径为2，高为4，过线段PO上的一点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（ ）
A．2πB．8π3C．5π2D．4π
【答案】B
【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
由三角形相似可得r1=4−h4，
即h＝4﹣4r，令h＞0，结合r＞0，则0＜r＜1，
圆柱的表面积S＝2πr2+2πr（4﹣4r）＝﹣6πr2+8πr，0＜r＜1，
当r=23时，该圆柱表面积的最大值为−6π×49+8π×23=8π3．
故选：B．
31．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为26的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）
A．45πB．(8+63)πC．103πD．(10+45)π
【答案】D
【解答】解：设球的半径为R=6，圆柱的底面所在的圆的半径为r，
则r=R2−(12×2)2=5．
所以圆柱的表面积S＝2πr2+2×2πr＝10π+45π＝（10+45）π．
故选：D．
32．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的35，则圆柱部分的侧面积为（ ）
A．6726πcm2B．9136πcm2C．6762πcm2D．9163πcm2
【答案】C
【解答】解：由题可得整体的高为115cm，
所以陀螺圆柱部分的高为35×115=69cm，
故圆柱部分的侧面积为98π•69＝6762πcm2．
故选：C．
▉八．圆锥的侧面积和表面积（共4小题）
33．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ）
A．12B．23C．34D．45
【答案】B
【解答】解：设圆锥母线长为l，底面圆半径为r，
由圆锥的侧面展开图为半圆，可得2πr＝πl，解得l＝2r，
所以该圆锥侧面积与其表面积的比为πrlπrl+πr2=2r22r2+r2=23．
故选：B．
34．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．8πB．12πC．16πD．24π
【答案】C
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的母线长为l＝6，侧面展开图的圆心角为2π3，
根据圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，得2πl3=2πr，解得r＝2，
所以该圆锥的表面积为S=π×22+12×2π3×62=16π．
故选：C．
35．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．23B．13C．15D．215
【答案】D
【解答】解：由题意正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，
可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为r＝2，
设扇形半径为R，则有π2R=2πr，解得R＝8，因此圆锥的母线长为R＝8，
所以圆锥的高h=R2−r2=64−4=215．
故选：D．
36．在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，5），C（4，m）．
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若∠BAC＝90°，以△ABC的边AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为A（1，2），B（3，5），C（4，m），所以AB→=(2，3)，AC→=(3，m−2)，
因为A，B，C三点共线，所以AB→∥AC→，
所以2（m﹣2）﹣3×3＝0，
解得m=132，即实数m的值为132；
（2）由（1）知AB→=(2，3)；AC→=(3，m−2)，
由∠BAC＝90°，得AB→⊥AC→，
所以AB→⋅AC→=2×3+3(m−2)=0，解得 m＝0．
所以AC→=（3，﹣2），|AB→|=13，|AC→|=13，|BC|=26，
以△ABC的边AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径为r=13，高为h=13，母线l=26的圆锥，
所以该几何体的表面积为S＝π×（13）2+π×13×26=13π+132π=13（2+1）π．
▉九．圆台的侧面积和表面积（共4小题）
37．已知某圆台轴截面的周长为10，面积为33，圆台的高为3，则该圆台的表面积为（ ）
A．6πB．10πC．11πD．12π
【答案】C
【解答】解：由题意圆台轴截面的周长为10，面积为33，圆台的高为3，
可设圆台上下底面半径分别为r，R且R＞r，则圆台轴截面腰长为(R−r)2+3，
所以2(R+r)+2(R−r)2+3=10，3(R+r)=33，即R+r＝3，
所以（R﹣r）2＝1，可得R﹣r＝1，故R＝2，r＝1，
综上，圆台的表面积为πR2+πr2+π(R+r)⋅(R−r)2+3=4π+π+3π×2=11π．
故选：C．
38．已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为π3，则该圆台的侧面积为（ ）
A．334πB．32πC．332πD．3π
【答案】B
【解答】解：球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为π3，
作出示意图如图所示：
设球的半径为OA＝OB，由题意可得∠OAB=π3，所以OAB是等边三角形，
所以∠AOB=π3，所以∠O1OB=π6，
因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1，
所以O1B=12OB=12，
所以圆台的侧面积为12(2π×1+2π×12)×1=3π2．
故选：B．
39．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（ ）
A．(40+1211)π7cm2B．(80+2411)π7cm2
C．(40+2411)π7cm2D．(80+1211)π7cm2
【答案】B
【解答】解：将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，
可得圆台体积V=43πR3=32π3cm3，
如图所示，设圆台较大的底面半径为O1A＝2r，则较小的底面半径为O2B＝r，
于是V=13(πr2+4πr2+2πr2)⋅2=32π3，解得r=47cm，
过点B作BB1⊥O1A，垂足为B1，由圆台的结构特征得BB1⊥底面O1，
母线l=AB12+BB12=(47)2+22=2117，
圆台表面积S=π[(47)2+(87)2+(47+87)⋅2117]=(80+2411)π7(cm2)．
故选：B．
40．如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体．某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（ ）
A．45π克B．90π克C．110π克D．120π克
【答案】B
【解答】解：设r＝2，R＝4，l＝3，
由圆台的侧面积公式得S＝π （r+R）l＝18π，
又每平方分米需要消耗5克涂层材料，
所以该伊丽莎白圈需要消耗90π克涂层材料．
故选：B．
▉十．圆柱的体积（共5小题）
41．如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线AA1＝4，若母线AA1放置在水平地面上时，水面恰好过OA的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为（ ）
A．23−3πB．43−3πC．23+3πD．43+3π
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意圆柱母线AA1＝4，若母线AA1放置在水平地面上时，
水面恰好过OA的中点，
可设圆柱底面半径为r，则当母线AA1水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形BAC为底，AA1为高的柱体，
因为水面过OA的中点，则∠BOC=2∠BOA=2π3，
则弓形BAC的面积为S1=12⋅2π3r2−12⋅r2sin2π3=πr23−3r24，
当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为S2=πr2，设水面高为h，
当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为S2=πr2，设水面高为h，
则由水的体积不变可得：S1•AA1＝S2•h，即（πr23−34r2）•AA1＝πr2•h，
解的：h=43−3π．
故选：B．
42．小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为8cm的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ）
A．256π3，63πB．128π3，63πC．128π3，36πD．256π3，36π
【答案】B
【解答】解：由馒头可以看作一个底面直径为8cm的半球，
的馒头的体积为12×43×π×(82)3=1283π；
由图可知，火腿肠可看作底面半径为3，高为4的圆柱与底面半径为3，高为6的半圆柱的组合体，
则火腿的体积为4×π×32+(10−4)×π×32×12=36π+27π=63π．
故选：B．
43．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径R＝2，圆柱的底面半径r＝1，且圆锥侧面展开图的圆心角为π，则该几何体的体积为 53π3 ．
【答案】53π3．
【解答】解：设圆锥的高为h1，母线长为l，圆柱的高为h2，
因为圆锥侧面展开图的圆心角为π，
所以πl＝2πR＝4π，所以l＝4，圆锥的高h1=l2−R2=23，
则h1−h2h1=rR=12，解得h2=3，
所以该几何体的体积为13πR2h1−πr2h2=13π×4×23−π×1×3=53π3．
故答案为：53π3．
44．2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧lg是一个正方形，新lg可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新lg．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 223π+32 ．
【答案】223π+32．
【解答】解：因为旧lg是一个正方形，新lg可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新lg，
类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，
又将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个“小米正方体”，
所以小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，
12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体．
剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为32，
所以“小米正方体”的体积为43π×13+3×π×12×2+32=223π+32．
故答案为：223π+32．
45．如图所示，在四边形ABCD中，AB→=2DC→，AB→⋅BC→=0，|AB→|=43，|AD→|=4，E为AB的中点，连接DE．
（1）将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
（2）将四边形ABCD绕着线段BC所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积．
【答案】（1）(83+12)π，3233π；
（2）(60+243)π，56π．
【解答】解：（1）依题意四边形ABCD中，AB→=2DC→，AB→⋅BC→=0，
|AB→|=43，|AD→|=4，E为AB的中点，
可得四边形ABCD是直角梯形，
所以AE=BE=CD=23，BC=DE=AD2−AE2=2．
将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，
几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱．
表面积为π×2×4+2π×2×23+π×22=(83+12)π．
体积13×π×22×23+π×22×23=3233π．
（2）将四边形ABCD绕着线段BC所在的直线旋转一周，所得几何体为圆台，
上底面半径为CD=23，下底面半径为AB=43，高为2，
体积为V=13(12π+48π+48×12π)×2=56π．
表面积为S=12π+48π+(23+43)×4π=60π+243π=(60+243)π．
▉十一．圆锥的体积（共3小题）
46．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为（ ）
A．833πB．8πC．12πD．83π
【答案】A
【解答】解：由题知，如图，
△PAB为圆锥的轴截面，边长均为4，
则圆锥的高PO＝4×32=23，
底面半径r＝4×12=2，
故圆锥体积为：V=13πr2•h=13π×22×23=833π．
故选：A．
47．若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ）
A．23πcm3B．833πcm3C．433πcm3D．8πcm3
【答案】B
【解答】解：由圆锥筒是用半径为4cm的半圆形纸片卷成，
可得圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，
圆锥的底面周长为12×2×4π=4πcm，
所以圆锥的高为42−22=23cm，故圆锥筒的体积为13×23×4π=833πcm3．
故选：B．
48．已知Rt△ABC，分别以直角边AC，以直角边BC，以斜边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的三个几何体的体积为V1，V2，V，则V1，V2，V的关系为（ ）
A．V＝V1+V2B．1V=1V1+1V2
C．1V2=1V12+1V22D．V2=V12+V22
【答案】C
【解答】解：以直角边AC所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为V1=13×b×πa2=13πa2b，
以直角边BC所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为V2=13×a×πb2=13πab2，
以斜边AB所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为V=13×c×π(abc)2=13cπa2b2，
所以1V12+1V22=(3πa2b)2+(3πab2)2=9(a2+b2)π2a4b4=9c2π2a4b4=1V2，
所以1V2=1V12+1V22．
故选：C．
▉十二．圆台的体积（共4小题）
49．降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）．气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量．某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为410cm的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量．某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的12，则本次降雨的日降水量是（ ）
A．29.6mmB．46.3mmC．63.5mmD．82.2mm
【答案】A
【解答】解：如图所示如下：
根据题意可知AB＝20cm，CD＝12cm，BD=410cm，
过点D作DP⊥AB于点P，则DP＝EF，EP＝DF＝6cm，
所以BP=20−122=4cm，
所以桶的深度为DP=(410)2−42=12cm，
所以雨水的高度为DH＝6cm，
又易知HN=12BP=2cm，
所以GN＝GH+HN＝6+2＝8cm，
雨水的体积为V=13(π⋅82+π⋅62+π⋅82⋅π⋅62)⋅6=296πcm3，
又圆台型水桶的上口直径为20cm，其面积为100πcm2，
所以本次降雨的日降水量是296π100π=2.96cm．
故选：A．
50．已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环AB﹣A1B1，且A1B1，AB的弧长分别为2π，4π．若A1A＝3，则该圆台的体积是（ ）
A．723πB．733πC．1423πD．1433π
【答案】C
【解答】解：设圆台的上下底面半径分别为r，R，
由A1B1，AB的弧长分别为2π，4π，
得2πr＝2π，2πR＝4π，可得r＝1，R＝2，
又圆台的母线长l＝A1A＝3，
∴圆台的高h=32−12=22．
∴该圆台的体积是V=13πh(r2+rR+R2)=13π×22×(1+2+4)=1423π．
故选：C．
51．若圆台上下底面半径分别为1和2，高为3，则此圆台的体积为 73π3 ．
【答案】73π3．
【解答】解：因为圆台上下底面半径分别为1和2，高为3，
所以圆台的体积为13×(π+4π+2π)×3=73π3．
故答案为：73π3．
52．已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为15π2的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为 6427 ．
【答案】6427．
【解答】解：要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球．
如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为O1，O2，
设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为r1，外圆半径为r2，（r2＞r1），
则12πr22−12πr12=152π，化简得r22−r12=15，又圆台母线长为3＝r2﹣r1，
联立r2−r1=3r22−r12=15，解得r1＝1，r2＝4．
设圆台上、下底面圆半径分别为r3，r4（r3＜r4），则2πr3＝πr1，2πr4＝πr2，
解得r3=12，r4=2．
如图2，在Rt△AO1D中，cs∠ADO1=r3r1=12，又∠ADO1为锐角，则∠ADO1=π3．
可得圆台的轴截面等腰梯形的底角为π3，圆锥轴截面△ABC为正三角形，
故圆台的高h=O1O2=CDsinπ3=3×32=332．
则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为OO2=13AO2=13r22−r42=1342−22=233，
正三角形内切圆直径O2E=2OO2=2×233=433＜332=O1O2，
故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为433．
设正方体的棱长为a，得3a=433，解得a=43，
此时正方体的体积最大，最大为a3=6427．
故答案为：6427．
▉十三．球的表面积（共4小题）
53．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，直线AB1与平面ABC所成角为45°，且四棱锥A﹣BB1C1C的体积为433，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．16πB．40π3C．28π3D．8π
【答案】C
【解答】解：设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2t，由直线AB1与平面ABC所成角为45°，
可得正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2t，
所以四棱锥A﹣BB1C1C的体积为13×4t2×3t=433，解得t＝1，
设该三棱柱的外接球的球心为O，中点O为上下底面正三角形的中心连线的中点，
设球O的半径为R，则根据勾股定理可得：
R2=(23×2t×32)2+t2=43+1=73，
所以该三棱柱的外接球的表面积 S=4πR2=28π3．
故选：C．
54．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ）
A．42π3B．4mC．6πD．8π
【答案】C
【解答】解：因为半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，
且这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，
所以大圆直径2R=22，所以R=2，
所以这个半球的表面积是2πR2+πR2＝3π×2＝6π．
故选：C．
55．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论不正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为4πR2
B．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
C．圆锥的侧面积为5πR2
D．圆柱的侧面积与球表面积相等
【答案】B
【解答】解：根据题意可得圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A选项正确；
所以圆柱的表面积为4πR2+2πR2＝6πR2，
又圆锥的高为R2+(2R)2=5R，
所以圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2，所以C选项正确；
所以圆锥的表面积为πR2+πR×5R=(5+1)πR2，
又球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球表面积相等，所以D选项正确；
综合可得三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小，所以B选项错误．
故选：B．
56．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π．
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆锥的内切球的表面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则r＝3，
∴圆锥的侧面积为πrl＝3πl＝15π，∴l＝5，
∴h=l2−r2=25−9=4，
∴圆锥的体积为13πr2h=13×π×9×4=12π；
（2）根据题意可得圆锥的内切球的半径即为圆锥的轴截面的内切球的半径，设其为R，
又圆锥的轴截面为等腰三角形，腰为5，底边长为6，底边上的高为4，
∴根据等面积法可得：12×6×4=12×(5+5+6)×R，∴R=32，
∴圆锥的内切球的表面积为4πR2＝9π．
▉十四．球的体积（共4小题）
57．已知正四面体ABCD（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）的表面积为π6，设能装下正四面体ABCD的最小正方体的体积为V1，正四面体ABCD的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）的体积为V2，则V1•V2＝（ ）
A．316πB．68πC．328πD．32π
【答案】A
【解答】解：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S=4×34a2=3a2，
由题设底面△ABC的外接圆半径r1，
则asinπ3=2r1，∴r1=33a．
∴正四面体的高为a2−(33a)2=63a，
其体积为V=13×34a2×63a=212a3，
设正四面体ABCD内切球球心为O，半径为r2，
V=VO−ABC+VO−ABD+VO−BCD+VO−ACD=4×13⋅Sr=4×13×34a2r=212a3，
解得r2=612a，
4πr22=4π(612a)2=π6，
解得a＝1，
将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，
此时即为能装下正四面体ABCD的最小正方体，
正四面体ABCD的最小正方体的棱长为b，如下图，即2b2＝a2＝1，∴b=22，
体积为V1=b3=24，设正四面体的外接球半径为R，
则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为2R=3b=62，
R=64，
∴外接球的体积为V2=43π×(64)3=68π，
V1：V2=24⋅68π=316π．
故选：A．
（多选）58．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=22，M，N分别为AD，BC的中点．现将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥A′﹣BCD，则在△ABD翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为439
B．三棱锥A′﹣BCD外接球半径为3
C．存在某个位置使CM⊥DN
D．直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长的取值范围为(2213，23)
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，当平面A′BD⊥平面BCD时，点A′到平面BCD的距离最大，
又S△BCD=12×2×22=22，所以此时三棱锥A′﹣BCD的体积最大，
在△A′BD中，由等面积法可得高h=2×2223=263，
所以三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为13×22×263=839，故选项A错误；
对于选项B，在△ABD翻折的过程中，△ABD和△BCD都是直角三角形，
所以两个三角形的外接圆圆心都在BD的中点处，
故三棱锥外接球球心为BD的中点，半径为12BD=3，故选项B正确；
对于选项C，如图，在矩形ABCD中连接CM，
由MDCD=CDBC=22，
所以△MDC∽△DCB，则CM⊥BD，
假设存在某个位置使CM⊥DN，又DN，BD⊂平面BCD，且DN∩BD＝D，
所以CM⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
所以CM⊥BC，又BC⊥CD，CM，CD⊂平面ACD，CM∩CD＝C，
所以BC⊥平面ACD，
又AC⊂平面ACD，故BC⊥AC，即∠ACB=π2，
这与AB=2＜BC=22矛盾，故CM⊥DN不成立，故选项C错误；
对于选项D，因为球心为BD的中点O，连接ON，所以OM＝ON＝1，
又因为直线MN被三棱锥A′﹣BCD外接球截得的线段长为d=2R2−OH2=23−OH2，
其中OH为球心O到直线MN的距离，
所以OH的长度和二面角A﹣BD﹣C的大小有关，夹角越大，线段越长．
当二面角A﹣BD﹣C大小接近180时，直线MN被球O截得的线段长最长，趋于直径23，
当二面角A﹣BD﹣C大小接近0时，直线MN被球O截得的线段长最短，
如图翻折后，此时∠OBN+∠BON＝∠NOH+∠BON＝90°，则∠OBN＝∠NOH，
所以△BON∽△ONH，
则OHBN=ONBO，又BN=2，BO=3，
则OH2=13，
所以OH=63，
所以此时直线MN被球O截得的线段长d=23−OH2=2213，
综上，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是(2213，23)，故选项D正确．
故选：BD．
59．已知正四面体的棱长为a，球O1与正四面体六条棱相切，球O2与正四面体四个面相切，则两个球的体积比VO1VO2= 33 ．
【答案】33．
【解答】解：将四面体补成正方体，则四面体的棱长全是该正方体的面对角线，
球O1与正四面体六条棱相切，则球O1为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点，
正四面体的棱长为a，
设正方体的棱长为x，则xa=sin45°=22，
则x=22a，
故正方体内切球的半径R1=x2=24a，
正四面体的棱长为a，
设底面三角形的高为d，则da=sin60°=32，
即d=32a，
底面三角形的面积S=12⋅a⋅32a=34a2
顶点在底面的投影位为底面三角形高的23处，
设正四面体的高为h，
由勾股定理得h=a2−(23d)2=a2−(33a)2=63a，
则正四面体的体积为V=13⋅S⋅63a=13⋅34a2⋅63a=212a3，
球O2与正四面体四个面相切，
则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径R2，
则正四面体的体积为V=13S表⋅R2=13×4⋅34a2⋅R2=33a2⋅R2，
则由等体积法得V=33a2⋅R2=212a3，
可得R2=612a，
则VO1VO2=4π3R134π3R23=R13R23=(24a)3(612a)3=33．
故答案为：33．
60．（1）已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球底面上，且A，B，C，D四个顶点都在此半球面上，求此半球的体积．
（2）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，该四棱台的体积为2833，求这个四棱台的表面积．
【答案】（1）326π；（2）44．
【解答】解：（1）如下左图，设半球的球心为O，半径为R，连接OA，
由题易知半球的球心是底面正方形A1B1C1D1的中心，
且|OA1|=22×4=22，|AA1|＝4，
在Rt△OAA1中，R2=|OA|2=42+(22)2=24，
得到R=26，
故半球的体积为V=12×43π(26)3=326π；
（2）如上右图所示，设J，L分别为上、下底面的中心，M，K分别为BC，B1C1的中点，
且有KN⊥ML，JL⊥ML，
设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上底面面积、下底面面积、
侧面积分别为S1，S2，4S3，
由AB＝2A1B1＝4，即得AB＝4，A1B1＝2，
所以S1=(A1B1)2=4，S2=AB2=16．
因为V=2833，
所以13(4+16+4×16)⋅JL=2833，
解得JL=KN=3，
由勾股定理可得斜高KM=KN2+MN2=(3)2+12=2，
所以S3=12(B1C1+BC)⋅KM=6，
从而四棱台表面积S＝S1+S2+4S3＝4+16+4×6＝44．
多面体
图形
侧面积与表面积
体积
棱柱
直棱柱的侧面展开图是矩形，
S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积)
V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高)
棱锥
正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积)

( S底为底面面积，h为高)
棱台
正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积)

(S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)
旋转体
图形
侧面积与表面积
体积
圆柱
圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆锥
圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l)
体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆台
圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，
表面积
体积
(S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)
球
半径为R的球的表面积S=4πR2
半径为R的球的体积