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      高考数学第二轮复习专题练习专题4.15 数列 全章综合测试卷(提高篇)(教师版)

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      高中数学人教版第一册上册数列一课一练

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      这是一份高中数学人教版第一册上册数列一课一练,共15页。
      1.(5分)(2022·上海市高三阶段练习)用数学归纳法证明1+2+22+⋅⋅⋅+25n-1(n∈N*)能被31整除时,从k到k+1添加的项数共有( )项
      A.7B.6C.5D.4
      【解题思路】分别写出n=k与n=k+1时相应的代数式,对比观察求解.
      【解答过程】当n=k时,则1+2+22+⋅⋅⋅+25k-1
      当n=k+1时,则(1+2+22+⋅⋅⋅+25k-1)+(25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4)
      ∴从k到k+1添加的项数共有5项
      故选:C.
      2.(5分)(2022·广东·高二阶段练习)下列说法正确的是( )
      ①数列1,3,5,7与数列7,3,5,1是同一数列;②数列0,1,2,3...的一个通项公式为an=n-1;
      ③数列0,1,0,1…没有通项公式;④数列nn+1是递增数列
      A.①③B.②④C.②③D.②③④
      【解题思路】根据数列的概念即可判断A项;代入可判断B项;根据数列中前几项的特点写出通项可说明C项错误;作差法求an+1-an与0的关系可判断D项.
      【解答过程】数列有顺序,①错误;逐个代入检验,可知数列前几项满足通项公式,②正确;
      an=1--1n2就是③的一个通项公式,③错误;
      设an=nn+1,则an+1-an=n+1n+2-nn+1 =n+12-nn+2n+1n+2=1n+1n+2>0,
      所以,an+1>an,所以④正确.
      故选:B.
      3.(5分)(2022·河北·高二期中)数列an满足a1=2,an+1=an-1an+1,则数列an的前2022项的乘积为( )
      A.-1B.-13C.23D.1
      【解题思路】根据递推公式求得数列的周期,结合数列的周期即可求得结果.
      【解答过程】根据题意可得a1=2,a2=13,a3=-12,a4=-3,a5=2,⋯,
      故该数列是以4为周期的数列,且a1a2a3a4=1,
      故数列an的前2022项的乘积为a1a2=23.
      故选:C.
      4.(5分)(2022·江苏省高二期中)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》,1852年,英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲,1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,此定理讲的是关于整除的问题,现将1到2022这2022个数中,能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则该数列共有( )
      A.145项B.146项C.144项D.147项
      【解题思路】由已知可得能被2除余1且被7除余1的数即为能被14除余1,进而得通项及项数.
      【解答过程】由已知可得an-1既能被2整除,也能被7整除,故an-1能被14整除,
      所以an-1=14n-1,n∈N*,
      即an=14n-13,
      故1≤an≤2022,即1≤14n-13≤2022,解得1≤n≤145514,故共145项,
      故选:A.
      5.(5分)(2022·江西·高三阶段练习(理))已知an是等比数列,Sn为其前n项和,给出以下命题:
      ①an+an+1是等比数列;②an⋅an+1是等比数列;③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列;
      ④lgan是等比数列,⑤若Sn=a⋅qn+b,则a+b=0.其中正确命题的个数为( )
      A.5B.4C.3D.2
      【解题思路】根据题意找到反例说明命题错误,或者利用等比数列的定义或前n项和公式证明命题正确.
      【解答过程】设等比数列an的公比为q,
      若an+an+1=0,数列an+an+1不是等比数列,
      例如数列1,-1,1,-1,…,相邻项相加所构成的数列不是等比数列,
      故①不正确;
      因为anan+1an-1an=q2是定值,故②正确;
      与第1个相仿,若相加和为零,不能构成等比数列,
      例如数列1,-1,1,-1,…,S2,S4-S2,S6-S4,…不能构成等比数列,
      故③不正确;
      例如an=(-1)n,lgan=0,则lgan不是等比数列,故④错误;
      由Sn=a⋅qn+b知q≠1,
      Sn=a1(1-qn)1-q=a11-q-a11-qqn(q≠1),
      所以a=a11-q,b=-a11-q,则a+b=0,⑤正确.
      故选:D.
      6.(5分)(2022·江西·高三阶段练习(理))已知数列an满足a1=1,a2n=a2n-1+(-1)n,a2n+1=a2n+3nn∈N*,则数列an的前2023项的和( )
      A.31011-2023B.31011-2025C.31012-2023D.31012-2025
      【解题思路】利用累加法得到a2n-1=3n2+(-1)n-12-1,代入得到a2n=3n2+12(-1)n-1,再利用分组求和法计算得到答案.
      【解答过程】因为a2n=a2n-1+(-1)n,a2n+1=a2n+3nn∈N*,
      所以a2n+1=a2n+3n=a2n-1+(-1)n+3n,即a2n+1-a2n-1=(-1)n+3n,
      所以a2n-1=(a2n-1-a2n-3)+(a2n-3-a2n-5)+⋯+(a3-a1)+a1
      =(-1)n-1+3n-1+(-1)n-2+3n-2+⋯+-1+3+1
      =3n-32-1-(-1)n-12+1
      =3n2+(-1)n-12-1,
      所以a2n=a2n-1+(-1)n=3n2+(-1)n-12-1+(-1)n=3n2+12(-1)n-1.
      所以S2023=(a1+a3+⋯a2023)+(a2+a4+⋯a2022)
      =312+(-1)02-1+322+(-1)12-1+⋯+310122+(-1)10112-1+32+12(-1)-1+322+12(-1)2-1+⋯+310112+12(-1)1011-1
      =3×1-310111-3+310122-12-2023
      =31012-2025.
      故选:D.
      7.(5分)(2022·河南·模拟预测(文))设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,若S4=S8,则下列说法错误的是( )
      A.若a1a6
      C.若a4+a11>0,则d>0D.对任意正整数n,有Sn≤S6
      【解题思路】根据已知条件求得a1,d的关系,然后对选项逐一分析,从而确定正确答案.
      【解答过程】由于等差数列an满足S4=S8,
      所以4a1+6d=8a1+28d,4a1+22d=0,a1+112d=0,a1=-112d.
      A选项,若a1=-112d0,所以an是递增数列,A选项正确.
      B选项,若d≠0,a9=a1+8d=52d,a6=a1+5d=-12d,
      a9=52d,a6=12d,a9-a6=2d>0,a9>a6,B选项正确.
      C选项,a4+a11=2a1+13d=2d>0,C选项正确.
      D选项,当d>0时,a7=a1+6d=12d>0,
      所以S61,a2019a2020>1,a2019-1a2020-1S2020B.T2020是数列Tn中的最大值
      C.a2019a2021-11,则有a2019a2020=(a2019)2q>1,必有q>0,
      又由a2019-1a2020-1

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      数列

      版本:人教版

      年级:第一册上册

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