高中数学人教版第一册上册数列表格教案及反思

这是一份高中数学人教版第一册上册数列表格教案及反思，共11页。
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
秋季
课题
阅读与思考 斐波那契数列
教科书
书 名：数学选择性必修第二册教材
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
1. 能通过兔子繁殖问题建立斐波那契数列的数学模型，提升数学建模素养。
2. 能通过代数运算猜想斐波那契数列的一些性质，体验通过数学抽象获得一个数学对象，并通过数学运算进行研究的过程和方法。
3. 了解斐波那契数列与黄金分割的关联，体会斐波那契数列蕴含的数学文化和美学价值。
4. 归纳总结数列的基本研究路径：事实—概念、表示—性质—应用。
5. 明确数列研究的一般观念：在代数运算中发现规律，用代数式来表达规律。
教学内容
教学重点：
1. 建立兔子繁殖问题的数学模型。
2. 探究猜想斐波那契数列的一些性质。
3. 了解斐波那契数列与黄金分割的关联。
教学难点：
1. 探究猜想斐波那契数列的一些性质。
2. 了解斐波那契数列与黄金分割的关联。
教学过程
（一）前后联系，导入新课
在前面的学习中，我们知道对数列的研究源于现实生产、生活的需要，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.古代埃及、巴比伦、中国和印度的文献中都有丰富的数列问题，中外许多著名的古算家都曾对某类数列问题进行过深入研究.其中1202年意大利数学家斐波那契就在他出版的《算盘全书》中收录了一个关于兔子繁殖的问题，从此开启了人们对于斐波那契数列的研究之路.
也是在前面的学习中，我们知道数列是一种特殊的函数，因此我们可以借鉴函数的研究路径来学习数列，即事实—概念—性质—应用.
下面就让我们通过斐波那契提出的兔子繁殖问题，认识这个有趣的数列，揭开它的神秘面纱.
设计意图：利用数学史引入课题，可以引起学生的注意，调动学生的求知欲.结合旧知点明数列与函数的关系，给出学习一类特殊数列的研究路径，为学生学习本节课的内容指明了方向，也为学生今后自主学习研究其他的特殊数列提供了指导.
（二）创设情境，建构概念
问题1：如果1对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？
师生活动：这个问题要讨论的是每个月的兔子总对数，我们不妨先一个月一个月地推算.第1个月时，只有1对小兔子；第2个月时，小兔子长大了，只有1对大兔子；第3个月时，大兔子生下1对小兔子，此时有1对小兔子和1对大兔子共2对兔子；第4个月时，大兔子又生下1对小兔子，而之前的小兔子长成大兔子，此时有1对小兔子和2对大兔子共3对兔子；依此类推，我们可以将结果记录成如下表格：

在推算过程中，我们注意到，每1对大兔子每月都会生下1对小兔子，所以每月的小兔子对数就等于上一月的大兔子对数.每月的小兔子到下一月都会长成大兔子，所以每月的大兔子对数就等于上一月的兔子总对数.而每月的小兔子对数加上大兔子对数就等于该月的兔子总对数.按照此规律，我们可以继续得到第5个月，第6个月的数据，并且每月的兔子总对数就等于前2个月的兔子总对数之和.
我们将从第1个月开始，每月末的兔子总对数按时间顺序列出来，就得到一个数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….
这个数列就称为斐波那契数列.
按照刚刚得到的规律，若是用表示第个月的兔子的总对数，则有，并且
，
这是斐波那契数列的递推公式.
设计意图：从前几个月单纯地“数”兔子对数，到通过具体数据寻找相邻两个月兔子对数的关系，再到归纳总结连续几个月的兔子总对数之间的关系，期间借助数表这一直观工具，一步一步引导学生总结出斐波那契数列的递推性质，并运用数学符号语言表示，有助于学生形成递推意识，提升运用符号进行正确表征的能力，培养学生的数学抽象素养.
（三）类比迁移，探究性质
其实继1202年斐波那契提出兔子繁殖问题后，直到1634年吉拉德才发现了斐波那契数列的递推公式，之后18世纪初棣美佛给出它的通项公式，1834年比内证明了通项公式.由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，直到今天，对于斐波那契数列的研究还在继续.由此可见，我们的数学活动也需要不断实践和不断思考.
接下来，请同学们分小组采用代数运算的方式尝试探究斐波那契数列的一些取值规律.
师生活动：斐波那契数列的递推公式呈现的是相邻两项和或差的取值规律，大家不妨类比探究相邻两项的积或商又有什么取值规律呢？除了探究斐波那契数列相邻两项之间的数量关系，我们还可以探究它的前项的和以及平方和的取值规律.当然我们也可以沿着前人的研究足迹，尝试求解斐波那契数列的通项公式.
（学生小组探究后）在探究的过程中，同学们都很有想法，每个小组也都取得了不小的收获，接下来老师就选择三个有代表性的探究成果与大家分享.
1.通项公式
斐波那契数列的递推公式是一个包含三项的线性递推公式，所以我们考虑将中间项分出一点放到等号的左边，构造成如下形式：
， = 1 \* GB3 ①
其中为常数，且满足，.
由韦达定理知，是方程的两根，由判别式知该方程有两个不相等的实数根，所以是存在的.
将 = 1 \* GB3 ①式变形可得
，
所以
.
又因为，所以
. = 2 \* GB3 ②
因为的取值具有轮换对称性，同理可得
. = 3 \* GB3 ③
由 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③得，所以
.
因为，所以
.
解方程得，所以
.
得到了斐波那契数列的通项公式，我们就可以回答问题1中的问题，即50个月后兔子的总对数为
.
其实斐波那契数列的通项公式的推导方法远不止这一种，大家课后回去查阅相关资料了解斐波那契数列通项公式的其他推导方法，形成一份学习报告.
设计意图：学习一种新的数列，学生首先想到要解决的就是这个数列的通项公式以及前项和公式的推导，因为这是每个数列都会存在的性质.另外斐波那契数列的通项公式的推导并不简单，这里涉及到两次构造，将三阶的递推公式先降到二阶递推公式再到通项公式，每一次构造都有较大的运算量，所以引导学生采用设而不求的方法也非常重要.最后鼓励学生通过课外查阅资料了解斐波那契数列通项公式的其他推导方法，有助于拓宽学生的知识面，培养学生的自主学习能力.得到了斐波那契数列的通项公式后，由累加法可得其前项和公式与通项公式的关系，将通项公式代入即可得斐波那契数列的前项和公式.
2.相邻两项之比
我们从第一项起，计算每一项与其后一项的比值，可以得到
，，，，，，，，，，，，…
可以注意到，随着的增大，这个比值越来越接近0.618，老师用Excel软件继续往后计算，并作出比值的散点图，从图中也可以直观感受到比值趋近于某一确定的数.
于是我们可以大胆猜想，当的取值较大时，斐波那契数列的每一项与后一项的比值接近0.618.本节课后请同学们结合斐波那契数列的通项公式，尝试证明这一猜想.
设计意图：学生通过动手计算，能够发现斐波那契数列每一项与后一项的比值逐渐趋近于0.618，但要想严格证明这一结论并非易事，需要借助斐波那契数列的通项公式，运用极限相关的知识，而极限在高中数学中并不做要求，所以我借助Excel软件，用技术手段将这一结论较为直观的呈现给学生，而将这一结论的证明作为课后作业由学生自学完成.
3.前项的平方和
有同学尝试计算了斐波那契数列的前项的平方和的结果，发现其也蕴含着一定的取值规律，我们一起来看.
，
，
，
，
，
，
……
根据上述6个等式的规律，我们可以大胆作出猜想：
.
有关这个等式的证明同样留给同学们课后去完成.
其实这个等式可以用图形直观地表示.一个数的平方容易使我们联想到正方形的面积，所以可以用边长分别为斐波那契数的正方形的面积表示.
当时，用边长为的正方形的面积表示，其也可看成宽为，长为的矩形，则面积为；
当时，在的基础上加入边长为的正方形，得到宽为，长为即的矩形，则面积为；
当时，在的基础上加入边长为的正方形，得到宽为，长为即的矩形，则面积为；
……
图1
依此类推，当矩形由个以斐波那契数为边长的正方形拼成时，它的宽为，长为即，则面积为.
由此我们就用图形直观地表示出了等式.
设计意图：学生通过动手计算前几个式子，归纳猜想一般性的结论，并由式子结构联想其几何表示，利用图形给出了该等式的直观“证明”.
其实在数学中，有一个图形与图1中的矩形非常相似，那就是黄金矩形.黄金矩形的宽长比为黄金分割率0.618，它具有自我衍生性，即裁去一个最大的正方形之后，留下的小矩形也是黄金矩形，经过如此不断地衍生，就得到一个与图1的矩形形似的图形.
我们自外而内地依次连接正方形的四分之一圆弧，就会得到“黄金比例螺旋”.同样地，若我们自内而外地依次连接以斐波那契数为半径的四分之一圆弧，就会得到“斐波那契螺旋”.结合探究成果2中斐波那契数列的每一项与后一项之比趋近于黄金分割率0.618的结论，如果我们在图1上不断增加边长是斐波那契数的正方形，那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸，而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”.

斐波那契数列还有很多有趣的性质，同学们课后可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料进一步研究.
设计意图：先由图形联想斐波那契数列与黄金分割可能的联系，再结合性质说明“斐波那契螺旋”与“黄金比例螺旋”的无限接近性，为后面用黄金分割解释斐波那契数列在自然界中的应用做铺垫.
（四）联想激活，拓展应用
通过上述性质探究，我们发现一个事实，斐波那契数列与黄金分割有着千丝万缕的联系，而黄金分割一直都是美的代名词，于是我们不免好奇美的事物中是否也蕴含着斐波那契数列呢？答案是肯定的.
比如图中这些美丽的花朵，细心观察的同学可能会发现，它们的花瓣数量都是斐波那契数，2，3，5，8，13.


再比如松塔的鳞片排列成两组交错的螺旋，从内往外看，顺时针方向的螺旋有13条，逆时针方向的有8条，8和13恰为斐波那契数列的相邻两项.

同样的还有向日葵的管状小花的排列，顺时针方向的螺旋有55条，逆时针方向的有34条，34和55也为斐波那契数列的相邻两项.
那究竟为什么会有这种现象呢？原来植物器官原件的生长会以黄金角137.5°的角度旋转它的生长方向，这可以使得植物的种子堆积效率达到最大化，是长期自然选择的结果.
在我们的自然界中，还有很多斐波那契数列存在的身影，让我们用发现美的眼睛，去寻找它们吧.
设计意图：寻找斐波那契数列在一些美的事物中的应用，再用黄金分割去解释这些现象.这种感官上的美所蕴含的深度与内涵就是美的至高体验，这些体验能呼唤着学生去发现，去重复，去探寻数学之路上属于自己的独特风景.
（五）归纳路径，小结提升
本节课我们从兔子繁殖问题入手，建立相应数学模型，得到斐波那契数列和它的递推公式.再通过代数运算的方式探究获得了斐波那契数列的一些性质，包括通项公式，相邻两项之比以及前项的平方和等.其中前项的平方和公式可以用图形直观表示，从而得到一条“斐波那契螺旋”，并从中揭示了斐波那契数列与黄金分割的紧密联系.最后我们探寻身边美的事物，感受斐波那契数列的广泛应用.由事实到概念，由概念到性质，由性质到应用是我们研究数列的一个基本路径.
斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而黄金分割则解释了这一现象背后的数学本质.在遥隔两千多年的时空里，斐波那契数列与黄金分割相遇之后会产生如此奇妙的关联，美得让人沉醉，但这就是数学！
设计意图：老师引导学生依据一个数学对象的基本研究路径进行归纳总结，从而构建完整的认知结构，培养学生提炼、总结、概括的能力.