高考数学第二轮复习专题练习专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）（学生版），共11页。试卷主要包含了瞬时速度，抛物线切线的斜率，函数的平均变化率，函数在某点处的导数的几何意义，导函数的定义等内容，欢迎下载使用。

1．瞬时速度
(1)平均速度
设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限
是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.
2．抛物线切线的斜率
(1)抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.
(2)抛物线切线的斜率
一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋
近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.
3．函数的平均变化率
函数平均变化率的定义
对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x
的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
4．函数在某点处的导数的几何意义
(1)切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.
(2)函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-).
5．导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.
【题型1 瞬时速度、平均速度】
【方法点拨】
根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为S=S(t)，其中S表示路程，t表示时间．则S'(4)＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数st=t2+t+1表示，则该物体在t=1s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
【变式1-2】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9B．-10.9C．5D．-5
【变式1-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+2t，设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1，在t=2时的瞬时速度为v2，则v1v2=（ ）
A．76B．73C．67D．37
【题型2 平均变化率】
【方法点拨】
根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.
【例2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知函数fx=x2+2，则该函数在区间1,3上的平均变化率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）函数fx=-x3+1在区间-1,2上的平均变化率为（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
【变式2-2】（2022·陕西·高二阶段练习（理））若函数f(x)=x2-t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则m等于（ ）
A．5B．2C．3D．1
【变式2-3】（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在t2,t3这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在t1,t2，t2,t3两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【题型3 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
【例3】（2022·新疆·高二阶段练习（理））已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为2，则limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=（ ）
A．0B．12C．1D．2
【变式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定义在R上的可导函数，若lim△x→0f(2)-f(2+Δx)2Δx=12，则f'(2)=（ ）
A．-1B．-14C．1D．14
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数y=fx在x=x0处的导数为1，则limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=（ ）
A．2B．3C．－2D．－3
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知函数fx的定义域为R，若limΔx→0f1+Δx-f1Δx=4，则f'1=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型4 导数的几何意义】
【方法点拨】
根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.
【例4】（2023·上海·高三专题练习）limx→2f(5-x)-3x-2=2,f(3)=3，f(x)在(3,f(3))处切线方程为（ ）
A．2x+y+9=0B．2x+y-9=0
C．-2x+y+9=0D．-2x+y-9=0
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数y=fx的图像在点M3,f3处的切线方程是y=13x+23，则f3+f'3的值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式4-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1，则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=（ ）
A．4B．2C．1D．12
【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）如图，函数y=fx的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则limΔx→0f5+Δx-f5-ΔxΔx=（ ）
A．-12B．2C．-1D．-2
【题型5 函数图象与导函数的关系】
【方法点拨】
结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知f'x是fx的导函数，f'x的图象如图所示，则fx的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2022·北京高二期末）已知函数fx=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图像如图所示，则函数fx的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数fx的导函数为f'x，若y=f'x的图象如图所示，则函数y=fx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 导数的几何意义的应用】
【方法点拨】
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线
升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.
【例6】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数fx的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A．0f'x3>f'x2
【变式6-2】（2022·广东·高二期中）如图，函数fx的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．f'1f3'x0>f2'x0>f4'x0
C．f4'x0>f1'x0>f3'x0>f2'x0
D．f1'x0>f3'x0>f4'x0>f2'x0